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复数代数形式的四则运算(教学设计)(2)


复数代数形式的四则运算(教学设计)(2) §3.2.2 复数代数形式的乘除运算 一、复习回顾,新课引入: 1、复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2、复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 4、复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 二、师生互动、新课讲解: 1.乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i2 换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个 复数的积仍然是一个复数. 例 1(课本 P58 例 2)计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i) 例 2(课本 P59 例 3)计算: (1)(3+4i) (3-4i) ; (2) (1+ i)2. 解: (1)(3+4i) (3-4i) 3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于 0 的两个共 轭复数也叫做共轭虚数
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通常记复数 z 的共轭复数为 z 。 =(11-2i) (-2+i)= -20+15i. =32-(4i)2=9-(-16)=25; (1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 4. 复数除法定义: 满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 记为: (a+bi) ? (c+di) 或者

a ? bi c ? di

5.除法运算规则: ①设复数 a+bi(a,b∈R),除以 c+di(c,d∈R),其商为 x+yi(x,y∈R),

∴(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2

例 3 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i)

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例 4 计算

(1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i 3 ? 4i

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课堂练习: (课本 P60 练习 NO:1;2;3)
1

三、课堂小结、巩固反思: 复数的乘法法则是:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,不必去记 公式. 复数的除法法则是:

a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i(c+di≠0). c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,再把结果 化简
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?

(1 ? 2i)(3 ? 4i) 3 ? 8 ? 6i ? 4i ?5 ? 10i 1 2 ? ? ?? ? i 2 2 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 3 ?4 25 5 5

解:

(1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i 1 ? 4 ? 3i ? 2 ? 4i 7 ? i (7 ? i)(3 ? 4i) ? ? ? 3 ? 4i 3 ? 4i 32 ? 42 3 ? 4i
? 21 ? 4 ? 3i ? 28i 25 ? 25i ? ? 1 ? i. 25 25

四、布置作业: A 组: 1、 (课本 P61 习题 3.2 A 组:NO:4) 2、 (课本 P61 习题 3.2 A 组:NO:5) 3、 (课本 P61 习题 3.2 B 组:NO:1)

2

B 组: 1.【2012 高考安徽文 1】复数 z 满足 ( z ? i)i ? 2 ? i ,则 z = (A) ? 1 ? i (C) ? 1 ? 3i 【答案】B (B) 1 ? i (D) 1 ? 2i

【解析】 ( z ? i )i ? 2 ? i ? z ? i ?

2?i ? 1? i 。 i

-3+i 2.【2012 高考新课标文 2】复数 z= 的共轭复数是 2+i (A)2+i 【答案】D 【解析】 z ? (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i

? 3 ? i (?3 ? i)(2 ? i) ? 5 ? 5i ? ? ?1 ? i ,所以其共轭复数为 z ? ?1 ? i ,选 D. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5

3.【2012 高考山东文 1】若复数 z 满足 z (2 ? i) ? 11 ? 7i(i 为虚数单位),则 z 为 (A)3+5i 【答案】A 【解析】 z ? (B)3-5i (C)-3+5i (D)-3-5i

11 ? 7i (11 ? 7i)(2 ? i) 15 ? 25i ? ? ? 3 ? 5i .故选 A. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5
3?i = 1? i
D 1+2i

4.【2012高考浙江文2】已知i是虚数单位,则 A 1-2i 【答案】D B 2-i C 2+i

【解析】

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i . 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2


2 5.【2012 高考上海文 15】若 1 ? 2 i 是关于 x 的实系数方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则(

A、 b ? 2, c ? 3 C、 b ? ?2, c ? ?1 【答案】D 【解析】因为 1 ?

B、 b ? 2, c ? ?1 D、 b ? ?2, c ? 3

2i 是实系数方程的一个复数根,所以 1 ? 2i 也是方程的根,则 1 ? 2i ? 1 ? 2i ? 2 ? ?b ,

(1 ? 2i)(1 ? 2i) ? 3 ? c ,所以解得 b ? ?2 , c ? 3 ,选 D.
6.【2012 高考陕西文 4】设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3

b 为纯虚数”的( i



【答案】B. 【解析】? ab ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 ,而复数 a ? 故选 B. 7.【2012 高考辽宁文 3】复数 (A)

b b ? a ? bi 是纯虚数 ? a ? 0且b ? 0 ,? ab ? 0 ? a ? 是纯虚数, i i

1 ? 1? i
(C)

1 1 ? i 2 2

(B)

1 1 ? i 2 2

1? i

(D) 1 ? i

【答案】A 【解析】

1 1? i 1? i 1 i ? ? ? ? ,故选 A 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2

【点评】本题主要考查复数代数形式的运算,属于容易题。复数的运算要做到细心准确。
2 8.【2012 高考江西文 1】若复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数 , 则 z + z ? 的虚部为

?

?

A 0 B -1 C 1 【答案】A

D -2
2

【解析】因为 z ? 1 ? i ,所以 z ? 1 ? i ,所以 z 2 ? z ? (1 ? i)2 ? (1 ? i)2 ? 2i ? 2i ? 0 ,选 A. 9.【2012 高考湖南文 2】复数 z=i(i+1) (i 为虚数单位)的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】 A 【解析】由 z=i(i+1)= ?1 ? i ,及共轭复数定义得 z ? ?1 ? i . 【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念,考查基本运算能力.先把 Z 化成标准的 a ? bi(a, b ? R) 形式,然后由共轭复数定义得出 z ? ?1 ? i . 10.【2012 高考湖北文 12】.若 【答案】3 【解析】因为 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位) ,则 a+b=____________.

3 ? bi ? a ? bi ,所以 3 ? bi ? ? a ? bi ??1? i ? ? a ? b ? ?b ? a ? i .又因为 a , b 都为实数,故由复数的相等的充要 1? i

条件得 ?

?a ? 0, ?a ? b ? 3, 解得 ? 所以 a ? b ? 3 . ?b ? 3, ?b ? a ? b,

【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化,也可以求解,但较繁琐一些.来年 需注意复数的几何意义,基本概念(共轭复数) ,基本运算等的考查. 11.【2012 高考广东文 1】设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i 【答案】D 【解析】法一: B. ?4 ? 3i

3 ? 4i ? i C. 4 ? 3i

D. 4 ? 3i

3 ? 4i (3 ? 4i) ? (?i) ? ? 4 ? 3i . i i ? (?i )

4

3 ? 4i (3 ? 4i) ? i 3i ? 4i 2 ? ? ? 4 ? 3i 法二: i i ?i ?1
12.【2102 高考福建文 1】复数(2+i)2 等于 A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i 【答案】A. 【解析】 (2 ? i) 2 ? (4 ?1) ? (2 ? 2)i ? 3 ? 4i ,故选 A. 13.【2102 高考北京文 2】在复平面内,复数

10i 对应的点的坐标为 3?i

A. (1 ,3) B.(3,1) C.(-1,3) D.(3 ,-1) 【答案】A 【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面,实部虚部的概念。

10i 10i(3 ? i) 30i ? 10i 2 10 ? 30i ? ? ? ? 1 ? 3i ,实部为 1,虚部为 3,对应复平面上的点为(1,3),故选 A. 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 9 ? i2 10
14.【2012 高考天津文科 1】i 是虚数单位,复数 (A)1-i (C)1+I 【答案】C 【解析】复数 (B)-1+I (D)-1-i
5 ? 3i 4?i

=

5 ? 3i (5 ? 3i)(4 ? i) 17 ? 17i ? ? ? 1 ? i ,选 C. 4?i (4 ? i)(4 ? i) 17
11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 ▲ . 1 ? 2i

b ? R , a ? bi ? 15.【2012 高考江苏 3】 (5 分)设 a ,
【答案】8。 【考点】复数的运算和复数的概念。 【分析】由 a ? bi ?

11 ? 7i ?11 ? 7i ??1 ? 2i ? 11 ? 15i ? 14 11 ? 7i b=3 , a ? b =8 。 得 a ? bi ? = = =5 ? 3i ,所以 a =5, 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 1? 4 1 ? 2i

16.【2012 高考上海文 1】计算: 【答案】 1 ? 2i 【解析】复数

3?i ? 1? i

( i 为虚数单位)

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i 。 1 ? i (1 ? i )(1 ? i) 2

a,b ? R )

5


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