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昌平区 2014年高三年级第二次统一练习数学(理科)试卷参考答案及评分标准


昌平区 2014 年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科)参考答案及评分标准 2014.4

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选 项中,选出符合题目要求的一项.)
题 号 答 案 (1) B (2) A (3) C (4) D (5) C (6) A (7) C (8) D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 1 (9) (10) 3 8 5 (11) 2 (12) 4 ; 2
(13) 240 (第一空 2 分,第二空 3 分) (14)

2? 2? ? 2 2 ; 16 16

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? cos2 x ? sin x ? 1

? 1 ? sin 2 x ? sin x ? 1 ? ? sin 2 x ? sin x
1 1 ? ?(sin x ? ) 2 ? , 2 4 7? 7? 1 2 1 1 1 1 3 ) ? ?(sin ? ) ? ? ?( ? ? ) 2 ? ? ? 所以 f ( 6 6 2 4 2 2 4 4
(或 f (

………1 分

………3 分 . ………6 分

7? 3 1 3 ) ? (? ) 2 ? ? 1 ? ? 6 2 2 4

………3 分)

(Ⅱ)因为 x ? [ ?

] 3 1 所以 sin x ? [ ? ,1] . 2 1 1 所以 sin x ? ? [ ?1, ] . 2 2 1 2 所以 (sin x ? ) ? [0,1] . 2 6

? 2?
,

………8 分

………10 分

1 2 2 1 2 1 3 1 所以 ?(sin x ? ) ? ? [ ? , ] . 2 4 4 4 3 1 所以 f ( x ) 的取值范围为 [? , ] . 4 4
所以 ?(sin x ? ) ? [ ?1, 0] . (16)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为 ? , 则 ? 的取值分别为 1, 2,3 .

………12 分 ………13 分

………1 分

P(? ? 1) ?

1 2 C4 C2 1 ? ; 3 C6 5 2 1 C4 C2 3 ? ; 3 C6 5

P(? ? 2) ?

3 0 C4 C2 1 P(? ? 3) ? ? ; 3 C6 5

………3 分

考生甲正确完成题数 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

1 5

3 5

1 5

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 5 5 5
设乙正确完成面试的题数为 ? ,则? 取值分别为 0,1, 2,3 .

………………4 分 ………………5 分

1 0 1 3 ( ) ? P(? ? 0) ? C3 ; 3 27 6 1 2 1 1 2 P(? ? 1) ? C3 ( )( ) ? , 3 3 27 12 2 2 2 1 P(? ? 2) ? C3 ( ) ( )? , 3 3 27 8 3 2 3 P(? ? 3) ? C3 ( ) ? . 3 27 考生乙正确完成题数? 的分布列为:

………………7 分

?

0

1

2

3

P

1 27

6 27

12 27

8 27

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 2. ………………8 分 27 27 27 27 1 3 1 2 2 2 2 (Ⅱ)因为 D? ? (1 ? 2) ? ? (2 ? 2) ? ? (3 ? 2) ? ? , ……………10 分 5 5 5 5 1 6 12 8 2 D? ? (0 ? 2) 2 ? ? (1 ? 2) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (3 ? 2) 2 ? ? . ……12 分 27 27 27 27 3 2 (或 D? ? npq ? ). 3 E? ? 0 ?
所以 D? ? D? . (或:因为 P (? ? 2) ?

3 1 12 8 ? ? 0.8 , P(? ? 2) ? ? ? 0.74 , 5 5 27 27

所以 P(? ? 2) ? P(? ? 2) . ) 综上所述, 从做对题数的数学期望考查,两人水平相当; 从做对题数的方差考查,甲较稳定; 从至少完成 2 道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. (说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.) ……………13 分

(17)(本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ)因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正四棱柱, 所以 AA1 ? 平面 ABCD ,且 ABCD 为正方形. 因为 BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? AA1 , BD ? AC . 因为 AA1 ………2 分 ………1 分

AC ? A ,
………3 分

所以 BD ? 平面 A 1 AC . 因为 AC ? 平面 A1 AC , 1 所以 BD ? AC 1 .

………4 分

(Ⅱ) 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .则

D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), A1(2,0,4), B1 (2,2,4), C1 (0, 2, 4), D1 (0,0, 4)
………5 分

所以 D1 A1 ? (2,0,0), D1C ? (0,2, ?4) . 设平面 A1D1C 的法向量 n ? ( x1 , y1 , z1 ) .

uuuu r

uuur

uuuu r ? ? x1 ? 0, ?n ? D1 A1 ? 0, 所以 ? uuur .即 ? ……6 分 2 y ? 4 z ? 0 ? 1 1 n ? D C ? 0 ? ? 1
令 z1 ? 1,则 y1 ? 2 . 所以 n ? (0, 2,1) . 由 ( Ⅰ ) 可 知 平 面 AA1C 的 法 向 量 为

uuu r DB ? (2,2,0) .
所以 cos ? DB, n ??

……7 分

uuu r

4 10 . ? 5 5 ?2 2

……8 分

因为二面角 A ? AC 1 ?D 1 为钝二面角, 所以二面角 A ? AC 1 ?D 1 的余弦值为 ?

10 . 5

………9 分

(Ⅲ)设 P( x2 , y2 , z2 ) 为线段 CC1 上一点,且 CP ? ? PC1 (0 ? ? ? 1) . 因为 CP ? ( x2 , y2 ? 2, z2 ), PC1 ? (? x2 , 2 ? y2 , 4 ? z2 ) . 所以 ( x2 , y2 ? 2, z2 ) ? ? (? x2 , 2 ? y2 , 4 ? z2 ) . 即 x2 ? 0, y2 ? 2, z2 ? 所以 P(0, 2,

uur

uuu r

uur

uuu r

………10 分

4? ). 1? ?

4? . 1? ?

………11 分

设平面 PBD 的法向量 m ? ( x3 , y3 , z3 ) . 因为 DP ? (0, 2,

uuu r

r 4? uuu ), DB ? (2, 2, 0) , 1? ?

uuu r 4? ? ? z3 ? 0, ?m ? DP ? 0, ?2 y3 ? 所以 ? .即 ? . 1? ? uuu r m ? DB ? 0 ? ? ? ?2 x3 ? 2 y3 ? 0
令 y3 ? 1 ,则 x3 ? ?1, z3 ? ? 所以 m ? (?1,1, ?

………12 分

1? ? ). 2?

1? ? . 2?
………13 分

? 平面 PBD ,则 m ? n ? 0 . 若平面 ACD 1 1
即2?

1? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? . 2? 3

所以当

CP 1 ? 平面 PBD . ? 时,平面 ACD 1 1 PC1 3

………14 分

(18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . 因为 f '( x) ? a ln x ? a ? a(ln x ? 1) , 令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? …………… 1 分 …………… 2 分 …………… 3 分

1 . e

①当 a ? 0 时, 随着 x 变化时, f ( x ) 和 f '( x) 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)
1 e

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ??) e

?


0

?


即函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增.

1 e

…………… 5 分

②当 a ? 0 时, 随着 x 变化时, f ( x ) 和 f '( x) 的变化情况如下:

x
f '( x)

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ??) e

?


0

?


f ( x)
1 e

即函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减. …………… 7 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时,对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 3ax ? 1 成立, 即 ax ln x ? 3ax ? 1 .

1 e

所以 ax ln x ? 3ax ? 1 ? 0 . 设 g ( x) ? ax ln x ? 3ax ? 1 . 因为 g '( x) ? a ln x ? a ? 3a ? a(ln x ? 2) , 令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? e .
2

…………… 8 分 …………… 9 分

因为 a ? 0 , 所以随着 x 变化时, g ( x) 和 g '( x ) 的变化情况如下:

x
g '( x )

(0, e2 )

e2
0

(e2 , ??)

?


?


g ( x)

即函数 g ( x) 在 (0, e2 ) 上单调递增,在 (e2 , ??) 上单调递减. 所以 gmax ( x) ? g (e2 ) ? ae 2 ln e 2 ? 3ae 2 ?1 ? ?ae 2 ?1 . 所以 ?ae ? 1 ? 0 .
2

…………… 10 分 …………… 11 分

所以 a ? ?

1 . e2 1 , 0) . e2

…………… 12 分 ………13 分

所以 a 的取值范围为 ( ? 法二:

当 a ? 0 时,对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 3ax ? 1 成立, 即 ax ln x ? 3ax ? 1 . 所以 a( x ln x ? 3x) ? 1 . 即

1 ? x ln x ? 3 x . a

…………… 8 分

设 g ( x) ? x ln x ? 3x . 因为 g '( x) ? ln x ? 2 , 令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? e .
2

…………… 9 分

所以随着 x 变化时, g ( x) 和 g '( x ) 的变化情况如下:

x
g '( x )

(0, e2 )

e2
0

(e2 , ??)

?

?

g ( x)





即函数 g ( x) 在 (0, e2 ) 上单调递减,在 (e2 , ??) 上单调递增. 所以 gmin ( x) ? g (e 2 ) ? e 2 ln e 2 ? 3e 2 ? ?e 2 .

…………… 10 分 …………… 11 分

1 ? ?e 2 . a 1 所以 a ? ? 2 . e
所以 所以 a 的取值范围为 ( ?

…………… 12 分

1 , 0) . e2

………13 分

(19)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由条件可知 a ? 2, b ? 3 , …………2 分

x2 y2 ? ? 1. 故所求椭圆方程为 4 3
(Ⅱ)设过点 F2 (1,0) 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) .

…………4 分

…………5 分

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 可得:(4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

…………6 分

因为点 F2 (1,0) 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交,即 ? ? 0 恒成立. 设点 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x 2 ?

4k 2 ? 12 . 4k 2 ? 3

…………8 分

因为直线 AE 的方程为: y ?

y1 ( x ? 2) , x1 ? 2 y2 ( x ? 2) , x2 ? 2
………9 分

直线 AF 的方程为: y ?

令 x ? 3 ,可得 M (3,

y1 y ) , N (3, 2 ) , x1 ? 2 x2 ? 2
………10 分

所以点 P 的坐标 (3,

y 1 y1 ( ? 2 )) . 2 x1 ? 2 x2 ? 2

y 1 y1 ( ? 2 )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 直线 PF2 的斜率为 k ' ? 3 ?1

y 1 y ? ( 1 ? 2 ) 4 x1 ? 2 x2 ? 2 ? 1 x1 y2 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
…………12 分

1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

1 ? ? 4
??
所以 k ? k ? 为定值 ?

2k ?

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 12 8k 2 ? 2 ? ?4 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

3 4k
…………13 分

3 . 4

(20)(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 因为对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列, 所以 B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n) . 所以 an?1 ? a1 ? an?2 ? a2 , 即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4 . 所以数列 ?an ? 是首项为1,公差为4的等差数列. 所以 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3 .
? ?

………1 分 ………2 分 ………3 分 ………4 分 ………5 分

(Ⅱ) (1)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等 比数列,则

B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) .
所以 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即 an?2 ? qan?1 ? a2 ? qa1 .

………6 分

………7 分

因为当 n ? 1 时,由 B(1) ? qA(1), 可得 a2 ? qa1 , 所以 an?2 ? qan?1 ? 0 . 因为 an ? 0 , 所以

………8 分

an ? 2 a2 ? ?q. an ?1 a1
………9 分
?

即数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列,

(2)必要性:若数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则对任意 n ? N ,有

an?1 ? an q .
因为 an ? 0 , 所以 A(n), B(n), C (n) 均大于 0 .于是

………10 分

B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1


………11 分

………12 分

B (n) C (n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n ) B ( n )
………13 分

综上所述,数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡, 三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. ………14 分

【各题若有其它解法,请酌情给分】


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