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江苏省海州高级中学2015届高三数学(理)自编专题训练:专题一 函数与导数


函数与导数(一)
一、填空题 1.函数 f ( x) ? ? 围 .

乔健

?log a x, x ? 0;
x ?1 ?a , x ? 0.

其中 a ? 1. 则关于 x 方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? 0 有三个解, 则 b 的范

( 上海普陀 2015) 答案: 0 ? a ? 1 2.设 f ( x) ? a1 cos2 x ? (a2 ?1)sin x cos x ? 3sin 2 x ( a12 ? a22 ? 0 ) ,若无论 x 为何值, 函数 f ( x) 的图象总是一条直线,则 a1 ? a2 的值是______. 2015) 答案:4 3.设函数 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [a, b] 上的两个函数, 如果函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区 间 [a, b] 上有 k (k ? N* ) 个不同的零点, 那么称函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [a, b] 上为“ k 阶关 联函数”.现有如下三组函数: ① f ( x) ? x , g ( x ) ? sin (北京朝阳

? x; 2

② f ( x) ? 2? x , g ( x) ? ln x ;

③ f ( x) ?| x ? 1| ,

g ( x) ? x .
其中在区间 [0, 4] 上是“ 2 阶关联函数”的函数组的序号是 数组的序号) (北京丰台 2015) 答案:①③ 4.已知函数 y ? log2 4 x 的图像上两点 A, B 和函数 y ? log 2 x 的图像上点 C 构成等边三角形, 其中 AC / / y 轴,点 B( p, q) 在 AC 左侧,则 p 2 = 浦 2015) 答案: 12 3 二、解答题 5.已知函数 f ( x) ? e ? xe ?1.
x x
2 q

. (写出所有 满足条件的函 ..

.

(上海杨

(1)求函数 f ( x) 的最大值;
-1-

(2)设 g ( x) ?

f ( x) , 其中 x ? ?1, 且x ? 0 ,证明: g ( x) <1. x

(北京昌平 2015)

解: (本小题满分 14 分) 解: (1) f ' ( x) ? ? xe x , 当 x ? (??, 0) 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x ? (0, ??) 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. …………………2 分 …………………4 分 …………………6 分

x
f ' ( x)

(?? , 0)
+ ↗

0 0
极大值

(0 , ? ?)
- ↘ …………………7 分

f ( x)

所以 f (x)的最大值为 f (0)=0.

(2)由(Ⅰ )知,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 ? 1. …………………9 分 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 1 等价于 f ( x) ? x. 设 h( x) ? f ( x) ? x ,则 h' ( x) ? ? xe x ? 1 . 当 x ? (?1, 0) 时, 0 ? ? x ? 1,0 ? e x ? 1, 则 0 ? ? xe x ? 1, 从而当 x ? (?1, 0) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 在 (?1, 0) 单调递减.…………………12 分
'

当 x ? (?1, 0) 时, h( x) ? h(0) ? 0, 即 f ( x) ? x ? h(0) ? 0, 所以 f ( x) ? x , 故 g (x)<1. 综上,总有 g (x)<1. …………………14 分

ex 6.已知函数 f ( x) ? . x
(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 ax ? y ? 0 ,求 x0 的值; (2)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? x ; (3)问集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}( b ? R 且为常数)的元素有多少个?(只需写出结论) (北京 海淀 2015)

-2-

解: (1)解: f '( x) ? 分

ex x ? ex . x2

??????1

因为 切线 ax ? y ? 0 过原点 (0, 0) , 解得: x0 ? 2 .

??????3 分 ??????4 分

f ( x) e x e x ( x 2 ? 2 x) ? 2 ( x ? 0) ,则 g '( x) ? (2)证明:设 g ( x) ? x4 x x

e x0 e x0 x0 ? e x0 x 所以 ? 0 . 2 x0 x0
. 令 g '( x) ?

e x ( x 2 ? 2 x) ? 0 ,解得 x ? 2 . x4

??????6 分

x 在 (0, ??) 上变化时, g '( x), g ( x) 的变化情况如下表
x
g '( x )

(0, 2)


2
0

(2, +
+ ↗

)

g ( x)

e2 4 e2 . 4

所以 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最小值

??????8 分

所以 当 x ? 0 时, g ( x) ?

e2 4

1 ,即 f ( x) ? x .

??????9 分

(3)解:当 b ? 0 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 0; 当0 ? b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 1; 4

当b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 2; 4 e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 3. 4
-3-

当b ?

???13 分

7.对于函数 f ( x), g ( x) ,如果它们的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则称函数 f ( x) 和 g ( x) 在 点 P 处 相 切 , 称 点 P 为 这 两 个 函 数 的 切 点 . 设 函 数

f ( x) ?

2 a x ?

( x) ? ln x . b ( x? , a 0g )

(1)当 a ? ?1 , b ? 0 时, 判断函数 f ( x) 和 g ( x) 是否相切?并说明理由; (2)已知 a ? b , a ? 0 ,且函数 f ( x) 和 g ( x) 相切,求切点 P 的坐标; (3)设 a ? 0 ,点 P 的坐标为 ( , ?1) ,问是否存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处相切?若点 P 的坐标为 (e , 2) 呢?(结论不要求证明) (1)解:结论:当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. 理由如下: 由条件知 f ( x) ? ?x2 ,由 g ( x) ? ln x ,得 x ? 0 ,错误!未找到引用源。 又因为 , g ?( x) ? 1 , f ?( x) ? ?2 x 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。
x
2

1 e

所以当 x ? 0 时,

, g ?( x) ? 1 ? 0 ,错误!未找到引用源。 f ?( x) ? ? 2 x ? 0
x

所以对于任意的 x ? 0 , f ?( x) ? g ?( x) .当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. (2)解:若 a ? b 错误!未找到引用源。 ,则 f ?(x) ?2ax ? , g ?( x) ? a 错误!未找到引用源。 设切点坐标为 ( s, t ) ,其中 s ? 0 , 由题意,得 as 2 ? as ? ln s , ① ② (*)

1 , x

2as ? a ?
由②,得 a ? 因为 a ?

1 , s

s ?1 1 , 代入①,得 ? ln s . 2s ? 1 s (2 s ? 1)

1 ? 0 ,且 s ? 0 , 所以 1. s(2s ? 1) s?
2

设函数

F ( x) ?

x ?1 1 ? ln x , x ? ( , ??) 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 则 2x ?1 2

F ?( x) ?

?(4 x ? 1)( x ? 1) . x(2 x ? 1) 2

令 F ?( x) ? 0 错误! 未找到引用源。 , 解得 x ? 1 或 x ?

1 (舍)错误! 未找到引用源。 . 4



x 变化时, F ?( x) 错误!未找到引用源。与 F ( x) 的变化情况如下表所示,

-4-

x
F ?( x)
F ( x)

1 ( ,1) 2

1 0

(1, ??)

?


?


所以当错误!未找到引用源。时,F ( x) 错误!未找到引用源。取到最大值 F (1) ? 0 错误!

1 未找到引用源。 ,且当 x ? ( ,1) (1, ??) 时 F ( x) ? 0 错误!未找到引用源。. 2
因此,当且仅当 x ? 1 错误!未找到引用源。时 F ( x) ? 0 错误!未找到引用源。. 所以 方程(*)有且仅有一解 s ? 1 错误!未找到引用源。. 于是 错误!未找到引用源。t ? ln s ? 0 , 因此切点 P 的坐标为 (1, 0) 错误!未找到引用源。. (3) 解: 当点 P 的坐标为 ( , ?1) 时, 存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) , 使得它们在点 P 处 相切; 当点 P 的坐标为 (e2 , 2) 时,不存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它

1 e

们在点 P 处相切.

函数与导数(二)
一、填空题

潘莉 . (20 10 江 苏) . (2013 湖

1. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 , 则 不 等 式 的 解 集 为

答案: 2.已知函数有两个极值点,则实数 的取值范围为 北 改编) 答案:

3.已知函数()的图像在点处的切线与该函数的图像恰好有三个公共点,则实数 的取值范围 为 期中检测) 答案: 4.已知函数有两个不同的极值点, 且, 则实数 的取值范围为 答案: 二、解答题
2 5.已知函数 f ( x) ? ax ?

. ( 2014 启东中 学

.

1 x ? c (a、c? R) ,满足 f (1) ? 0 ,且 f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒 2

成立.

-5-

(1)求 a 、 c 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f ( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4

(3)是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? m x在区间 [m , m ? 2] 上有最小值 ? 5 ?若存在, 请 求 由. 出

m











存 在 , 请 (上海长宁 2015)







考点:二次函数的性质;函数恒成立问题. 专题:计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
.

分析: (1)由 f(1)=0 得 a+c= ,再由恒成立得 a>0 且△ = ﹣4ac≤0,从而解得 a=c= . (2)由(1)得 f(x)= x ﹣ x+ ,从而化不等式为(x﹣b) (x﹣ )<0,从而讨论解得; (3)g(x)= x ﹣( +m)x+ ,假设存在实数 m,使函数 g(x)在区间[m,m+2]上有最 小值﹣5.从而讨论单调性以确定最小值,从而解得. 解答: 解: (1)由 f(1)=0,得 a+c= , 因为 f(x)≥0 在 R 上恒成立,所以 a>0 且△ = ﹣4ac≤0, ac≥ ,即 a( ﹣a)≥
2 2 2

,即(a﹣ ) ≤0,所以 a=c= .

2

(2)由(1)得 f(x)= x ﹣ x+ ,由 f(x)+h(x)<0, 得 x ﹣(b+ )x+ <0,即(x﹣b) (x﹣ )<0, 所以,当 b< 时,原不等式解集为(b, ) ; 当 b> 时,原不等式解集为( ,b) ; 当 b= 时,原不等式解集为空集. (3)g(x)= x ﹣( +m)x+ ,g(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线 x=2m+1. 假设存在实数 m,使函数 g(x)在区间[m,m+2]上有最小值﹣5. ① 当 2m+1<m,即 m<﹣1 时,函数 g(x)在区间[m,m+2]上是增函数,所以 g(m)= ﹣5, 即 m ﹣( +m)m+ =﹣5,解得 m=﹣3 或 m= ,因为 m<﹣1,所以 m=﹣3; ② 当 m≤2m+1≤m+2,即﹣1≤m≤1 时,函数 g(x)的最小值为 g(2m+1)=﹣5, 即 (2m+1) ﹣( +m) (2m+1)+ =﹣5,解得 m=﹣ ﹣
2 2 2 2

或 m=﹣ +

,均

舍去; ③ 当 2m+1>m+2,即 m>1 时,g(x)在区间[m,m+2]上是减函数,所以 g(m+2)=﹣5,

-6-

即 (m+2) ﹣( +m) (m+2)+ =﹣5,解得 m=﹣1﹣2 因 m>1,所以 m=﹣1+2 . 综上,存在实数 m,m=﹣3 或 m=﹣1+2

2

或 m=﹣1+2



时,函数 g(x)在区间[m,m+2]上有最小

值﹣5. 点评:本题考查了函数的性质应用及恒成立问题,同时考查了分类讨论的数学思想.属于中 档题.

6.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? bx 值 ?9 . (1)求 f ( x ) 的单调递减区间;

(a, b ? R) , f ?( x ) 为其导函数,且 x ? 3 时 f ( x ) 有极小

(2)若不等式 f ?( x) ? k ( x ln x ? 1) ? 6 x ? 4 ( k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的 最大值. (解答过程可参考使用以下数据: ln 7 ? 1.95, 石景山) 解:(1)由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? b ,因为函数在 x ? 3 时有极小值 ?9 ,
?b ? 0 ?2 7a ? 6 1 1 所以 ? , 从 而 得 a ? , b ? ?3 , 所 求 的 f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x , 所 以 ? b 3? ? 9 3 3 ?2 7a ? 9
2 f ?( x)? x ? 2 x? 3 ,

ln8 ? 2.08)

(2015 北京

3? . 由 f ?( x ) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 3 ,所以 f ( x) 的单调递减区间为 ? ?1,
(2)因为 f ?( x) ? x ? 2 x ? 3 ,所以 f ?( x) ? k ( x ln x ? 1) ? 6 x ? 4 等价于
2

k ?1 ? 4 ? k ln x ? 0 , x k ?1 k ? 1 k ( x ? 1)( x ? k ? 1) ? 4 ? k ln x ,则 g ?( x ) ? 1 ? 2 ? ? 记 g ( x) ? x ? , x x x x2

x2 ? 4x ? 1 ? k ( x ln x ?1) ,即 x ?

由 g ?( x ) ? 0 ,得 x =k ? 1 ,所以 g ( x ) 在 (0, k ? 1) 上单调递减,在 (k ? 1, ??) 上单调递增, 所以 g ( x) ≥ g (k ? 1) ? k ? 6 ? k ln(k ? 1) , g ?x ? ? 0 对任意正实数 x 恒成立, 等价于 k ? 6 ? k ln(k ? 1) ? 0 ,即 1 ?

6 ? ln(k ? 1) ? 0 . k

-7-

记 h( x ) ? 1 ? 减,

6 6 1 ? ln( x ? 1) ,则 h '( x ) ? ? 2 ? ? 0 ,所以 h( x ) 在 (0, ??) 上单调递 x x x ?1 h(7) ? 13 ? ln 8 ? 0 ,所以 k 的最大值为 6 . 7

又 h(6) ? 2 ? ln 7 ? 0,

7.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1(a ? R), f ? ( x)是f ( x) 的导函数. (1)若 x ?[?2, ?1] ,不等式 f ( x) ≤ f ?( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ?| f ?( x) | ; (3)设函数 g ( x) ? ?

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) ,求 g ( x)在x ?[2, 4] 时的最小值. ? f ( x), f ( x) ? f ?( x)
x2 ? 2 x ? 1 x2 ? 2 x ? 1 1 ? x 3 3 在 x ? [?2, ? 1] 时恒成立, 因为 所以 a ≥ . ? ≤ , 2(1 ? x) 2(1 ? x) 2 2 2

解:(1)因为 f ( x) ≤ f ?( x) ,所以 x2 ? 2 x ? 1≤ 2a(1 ? x) ,又因为 ?2 ≤ x ≤ ?1 , 所以 a ≥

⑵因为 f ( x) ? f ?( x) ,所以 x2 ? 2ax ? 1 ? 2 x ? a , 所以 ( x ? a)2 ? 2 x ? a ? 1 ? a2 ? 0 ,则 x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a . ① 当 a ? ?1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2 a ; ②当 ?1 ≤ a ≤ 1 时 , x ? a ? 1 ? a或 x ? a ? 1 ? a , 所 以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2 a 或

x ? ?(1 ? 2a) ;
③ 当 a ? 1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? 1 或 x ? ?(1 ? 2a) .

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) , (3)因为 f ( x) ? f ?( x) ? ( x ?1)[ x ? (1 ? 2 a)] , g ( x) ? ? ? f ( x), f ( x)? f ?( x),

1 2 g ( 从而 x) 的最小值为 g (2) ? 2a ? 4 ; 3 ② 若 a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ? f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 , 2 3 当 ?2 ≤ a ? ? 时, g ( x) 的最小值为 g (2) ? 4a ? 5 , 2
① 若 a ≥ ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ≥ f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a , 当 ?4 ? a ? ?2 时, g ( x) 的最小值为 g (?a) ? 1 ? a2 , 当 a ≤ ?4 时, g ( x) 的最小值为 g (4) ? 8a ? 17 .

? x2 ? 2ax ? 1, x ?[2,1 ? 2a) 3 1 ③ 若 ? ≤ a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, g ( x) ? ? 2 2 x ?[1 ? 2a,4] ?2 x ? 2a,
当 x ? [2,1 ? 2a) 时, g ( x) 最小值为 g (2) ? 4a ? 5 ; 当 x ? [1 ? 2a, 4] 时, g ( x) 最小值为 g (1 ? 2a) ? 2 ? 2a . 因为 ? ≤ a ? ? , (4a ? 5) ? (2 ? 2a) ? 6a ? 3 ? 0 ,所以 g ( x) 最小值为 4a ? 5 .

3 2

1 2

-8-

综上所述, ? ? g ? x ?? ? min

?8a ? 17, a ≤ ?4, ? 2 ? 4 ? a ? ?2, ?1 ? a , ? ? ?4a ? 5, ? 2 ≤ a ? ? 1 , . 2 ? ? 1 ?2a ? 4, a ≥ ? 2 ?

-9-


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