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2015全国高中数学联赛河南预赛试题及答案(高一)


2015 年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 (5 月 10 日 8:30 至 11:00)

一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1.若集合 A ? a a ? 5x ? 4, x ? N* , B ? b b ? 7 y ? 6, y ? N* ,将 A 排列,则排在第 20 个的那个元素是 .

?

?

?

?

B 中的元素从小到大

2 . 已 知 实 数 x , y 满 足 : ( x ? 3)3 ? 2015( x ? 3) ? (2 y ? 3)3 ? 2015(2 y ? 3) ? 0 , 则

?x

2

? 4 y2 ? 4x ?

min

?



3. 设线段 BC ? ? ,AB ? ? ,CD ? BC , 且 CD 与平面 ? 成 30 ? 角, 且 AB ? BC ? CD ? 2cm , 则线段 AD 的长度为 .

4. 若直线 l 与直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,2 x ? y ? 8 ? 0 分别交于点 M ,N , 若 MN 的中点为 P(0,1) , 则直线 l 的方程是 .

5.设 k , m , n 都是整数,过圆 x2 ? y 2 ? (3k ? 1)2 外一点 P(m3 ? m, n3 ? n) 向该圆引两条切 线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个.

6.若函数 f ( x) ? (1 ? x2 )( x2 ? ax ? b) 的图象关于直线 x ? ?2 对称,则 a ? b ?



7. (请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分) (必修 3)执行如图所示的算法,则输出的结果是 .

(必修 4 )已知函数 f ( x) ?

sin x π sin x 2 在区间 (0, )上是减函数,若 0 ? x ≤ 1 , a ? ( ) , x x 2


b?

sin x sin x2 , c ? 2 ,则 a , b , c 的大小关系是 x x

b 使得 x 2 ? x ? 1 是 ax2 8. 如果实数 a ,

2015

?1

? bx2

2015

?1

? 1 的因式, 则 a 的个位数字为



二(本题满足 16 分) 求 x2 ? 3 y2 ? 2 的整数解.

三(本题满足 20 分) 如图所示, 已知 AB 为圆 O 的直径, 点 C 在圆 O 上且满足 AC ? BC , 在线段 BC 上取一点 D , BD ? AC ? BED ? 45 ? CA 使 ,在 AD 上取一点 E 使 ,延长 BE 交 于 F ,求证: CD ? AF .

四(本题满足 20 分) 对于任意的 △ ABC ,若其三边长为 a , b , c ,则 a x , b x , c x 依然可以构成某三角形的三 边长,求实数 x 的取值范围.

五(本题满足 20 分) 已知全集 U ? ?1, 2,
, n? ,集合 A 满足:(i) A ? U ;(ii)若 x ? A ,则 kx ? A ;(iii)若 x ? ?U A ,

* k k≥2) ,用 f k (n) 表示满足条件的集合 A 的个数. kx ? ? U A (其中 , n ? N ,

(1)求 f 2 (4) , f 2 (5) ; (2) 记集合 A 中所有元素的和记为集合 A 的 “和” , 当 n ? pk ? q( p ,q ? N ,0 ≤ q ≤ k ? 1 ) 时,求所有集合 A 的“和”的和(结果用含 p , q , k 的代数式表示) .


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