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2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数理


第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函 数 理

1.角的概念 (1)任意角: ①定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成 的图形;②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角. (2)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的角的集合是 S={β |β =k?360°+ α ,k∈Z}. (3)象限角:使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第 几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一 个象限. 2.弧度制 (1)定义: 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 用符号 rad 表示, 读作弧度. 正 角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 0. π ?180? (2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad,1 rad=? ?°. 180 ?π ? 1 1 2 (3)扇形的弧长公式:l=|α |?r,扇形的面积公式:S= lr= |α |?r . 2 2 3.任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,sin α =y,cos α =x,tan α = (x≠0). 三个三角函数的初步性质如下表: 三角函数 sin α cos α 定义域 R R π {α |α ≠kπ + , 2 第一象 限符号 + + 第二象 限符号 + - 第三象 限符号 - - 第四象 限符号 - +

y x

tan α









k∈Z}

1

4.三角函数线 如下图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作单位圆 的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.

三角函 数线

有向线段 MP 为正弦线;有向线段 OM 为余弦线;有向线段 AT 为正切线.

【知识拓展】 1.三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x,y)是角 α 终边上异于顶点的任一点,其到原点 O 的距离为 r,则 sin α = ,cos α = ,tan α = (x≠0).

y r

x r

y x

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( ? (2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关.( √ (3)不相等的角终边一定不相同.( ? ) ) ) )

(4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √

π (5)若 α ∈(0, ),则 tan α >α >sin α .( √ ) 2 (6)若 α 为第一象限角,则 sin α +cos α >1.( √ )

1.角-870°的终边所在的象限是( A.第一象限

) B.第二象限
2

C.第三象限 答案 C

D.第四象限

解析 由-870°=-1 080°+210°,知-870°角和 210°角终边相同,在第三象限. 1 2.(教材改编)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 M( ,y),则 sin α 等于( 2 A. C. 3 2 2 2 B.± D.± 3 2 2 2 )

答案 B 1 2 2 2 解析 由题意知|r| =( ) +y =1, 2 所以 y=± 3 . 2 3 . 2 π π ≤α ≤kπ + ,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部 4 2

由三角函数定义知 sin α =y=±

3.(2016?潍坊二模)集合{α |kπ + 分)是( )

答案 C π π π π 解析 当 k=2n(n∈Z)时,2nπ + ≤α ≤2nπ + ,此时 α 表示的范围与 ≤α ≤ 表示 4 2 4 2 π π 的范围一样;当 k=2n+1 (n∈Z)时,2nπ +π + ≤α ≤2nπ +π + ,此时 α 表示的范 4 2 π π 围与 π + ≤α ≤π + 表示的范围一样,故选 C. 4 2 4.已知在半径为 120 mm 的圆上,有一段弧长是 144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为 ________rad. 答案 1.2 解析 由题意知 α = =

l 144 =1.2 rad. r 120

3

5.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. π π? ? 答案 ?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 3 3? ? 解析 ∵2cos x-1≥0, 1 ∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).

π π? ? ∴x∈?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3? ?

题型一 角及其表示 例 1 (1)若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 )

B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

(2)已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角 α 用集合可表示为 ________________.

π 5 答案 (1)A (2)(2kπ + ,2kπ + π )(k∈Z) 4 6 解析 (1)当 k=2n(n∈Z)时,α =2n?180°+45°=n?360°+45°,α 为第一象限角; 当 k=2n+1 (n∈Z)时,α =(2n+1)?180°+45°=n?360°+225°,α 为第三象限角. 所以 α 为第一或第三象限角.故选 A. (2)在[0,2π )内,终边落在阴影部分角的集合为?

?π ,5π ?, ? ?4 6 ?

π 5 ? ? ∴所求角的集合为?2kπ + ,2kπ + π ?(k∈Z). 4 6 ? ? 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角, 方法是先写出与这个角的
4

终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角. (2)利用终边相同的角的集合 S={β |β =2kπ +α ,k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时,只 需把这个角写成[0,2π )范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和,然后判断角 α 的象限. (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合是__________________. 6π θ (2)(2017?广州调研)若角 θ 的终边与 角的终边相同,则在[0,2π ]内终边与 角的终边 7 3 相同的角的个数为________. π 答案 (1){α |α = +kπ ,k∈Z} (2)3 3 π 解析 (1)在(0,π )内终边在直线 y= 3x 上的角为 , 3 ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 π {α |α = +kπ ,k∈Z}. 3 6π (2)∵θ = +2kπ (k∈Z), 7 θ 2π 2kπ ∴ = + (k∈Z), 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + ≤2π ,k∈Z,∴- ≤k≤ , 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π ]内与 角的终边相同的角为 , , 共三个. 3 7 21 21 题型二 弧度制 例 2 (1)(2016?成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长, 则其圆心角的弧度数是 ________. 答案 2

解析 设圆半径为 r,则圆内接正方形的对角线长为 2r,∴正方形边长为 2r,∴圆心角的 弧度数是 2r

r

= 2.

(2)已知扇形的圆心角是 α ,半径是 r,弧长为 l. ①若 α =100°,r=2,求扇形的面积; ②若扇形的周长为 20,求扇形面积的最大值,并求此时扇形圆心角的弧度数. 1 1 1 5 10 2 解 ①S= lr= α r = ? π ?4= π . 2 2 2 9 9 ②由题意知 l+2r=20,即 l=20-2r,

S= l?r= (20-2r)?r=-(r-5)2+25,
5

1 2

1 2

当 r=5 时,S 的最大值为 25. 当 r=5 时,l=20-2?5=10,α = =2(rad). 即扇形面积的最大值为 25,此时扇形圆心角的弧度数为 2 rad. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时, 常转化为二次函数的最值问题, 利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. (1)将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( A. π 3 B. π 6 )

l r

π C.- 3

π D.- 6 )

(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( A. π 6 B. π 3

C.3 答案 (1)C (2)D

D. 3

解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故 A、B 不正确;又因为拨快 10 1 分钟,故应转过的角为圆周的 . 6 1 π 即为- ?2π =- . 6 3 (2)如图,等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形,

2π 则线段 AB 所对的圆心角∠AOB= , 3 作 OM⊥AB,垂足为 M, π 在 Rt△AOM 中,AO=r,∠AOM= , 3 ∴AM= 3 r,AB= 3r, 2

∴l= 3r,

6

由弧长公式得 α = =

l r

3r

r

= 3.

题型三 三角函数的概念 命题点 1 三角函数定义的应用 例3 (1)(2016?广州模拟)若角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ = 2 m,则 4

cos θ 的值为________. 2π (2)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为 ( 3 3? ? 1 A.?- , ? ? 2 2? 3? ? 1 C.?- ,- ? 2? ? 2 答案 (1)- 6 4 (2)A
2

)

B.?- D.?-

? ? ? ?

3 1? ,- ? 2 2? 3 1? , ? 2 2?

解析 (1)由题意知 r= 3+m , ∴sin θ =

m
3+m

2



2 m, 4
2

∵m≠0,∴m=± 5,∴r= 3+m =2 2, - 3 6 ∴cos θ = =- . 4 2 2 (2)由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x,y)满足

x=cos

2π 1 2π 3 =- ,y=sin = . 3 2 3 2

1 3 ∴Q 点的坐标为(- , ). 2 2 命题点 2 三角函数线 例 4 函数 y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x的定义域为__________________. π 5π 答案 [2kπ + ,2kπ + )(k∈Z) 3 6 1 ? ?sin x>2, 即? 1 cos x≤ , ? ? 2

?2sin x-1>0, ? 解析 要使原函数有意义,必须有? ?1-2cos x≥0, ?

如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,

7

π 5π 由图可知,原函数的定义域为[2kπ + ,2kπ + ) (k∈Z). 3 6 思维升华 (1)利用三角函数的定义,已知角 α 终边上一点 P 的坐标可求 α 的三角函数值; 已知角 α 的三角函数值,也可以求出点 P 的坐标. (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍,结合三角函数的周期性写出角的范围. (1)已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α ≤0,sin α >0.则实数 a 的取值范围是( A.(-2,3] C.[-2,3) ) B.(-2,3) D.[-2,3]

1 (2)满足 cos α ≤- 的角 α 的集合为________. 2 2 4 答案 (1)A (2){α |2kπ + π ≤α ≤2kπ + π ,k∈Z} 3 3 解析 (1)∵cos α ≤0,sin α >0, ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上.
? ?3a-9≤0, ∴? ?a+2>0, ?

∴-2<a≤3.

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部 2 分)即为角 α 终边的范围,

2 4 故满足条件的角 α 的集合为{α |2kπ + π ≤α ≤2kπ + π ,k∈Z}. 3 3

6.数形结合思想在三角函数中的应用

典例 (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上
8

→ 一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 C(2,1)时,OP的坐标 为________.

(2)(2017?合肥调研)函数 y=lg(3-4sin x)的定义域为________. 思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想,利用三角函数线可直观得到有关 三角函数的不等式的解集. 解析 (1)如图所示,

2

过圆心 C 作 x 轴的垂线,垂足为 A,过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的垂线交于点 B.因为圆

? =2,即圆心角∠PCA=2, 心移动的距离为 2,所以劣弧 PA
π π 则∠PCB=2- ,所以 PB=sin(2- )=-cos 2, 2 2

CB=cos(2- )=sin 2,
所以 xP=2-CB=2-sin 2,yP=1+PB=1-cos 2, → 所以OP=(2-sin 2,1-cos 2). (2)∵3-4sin x>0, 3 2 ∴sin x< , 4 ∴- 3 3 <sin x< . 2 2
2

π 2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),

π π? ? ∴x∈?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 3? ? 答案 (1)(2-sin 2,1-cos 2)

9

π π? ? (2)?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 3 3? ?

9π 1.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( 4 A.2kπ +45°(k∈Z) C.k?360°-315°(k∈Z) 答案 C

)

9 B.k?360°+ π (k∈Z) 4 5π D.kπ + (k∈Z) 4

9π 9π 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ + (k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所 4 4 以只有答案 C 正确. 2.若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是( A.sin α +cos α <0 C.cos α -tan α <0 答案 B 解析 α 是第三象限角,sin α <0,cos α <0,tan α >0,则可排除 A、C、D,故选 B. 3. (2016?广州一模)已知 α 是第二象限的角, 其终边上的一点为 P(x, 5), 且 cos α = 2 4 )

B.tan α -sin α <0 D.tan α sin α <0

x,则 tan α 等于(
A. 15 5 15 5

) B. 15 3 15 3

C.-

D.-

答案 D 解析 ∵P(x, 5),∴y= 5. 又 cos α =
2 2

2 x x= ,∴r=2 2, 4 r
2

∴x +( 5) =(2 2) ,解得 x=± 3. 由 α 是第二象限的角,得 x=- 3,

y 5 15 ∴tan α = = =- . x - 3 3
4.(2017?九江质检)若 390°角的终边上有一点 P(a,3),则 a 的值是( )

10

A. 3 C.- 3 答案 B 3 解析 tan 390°= ,

B.3 3 D.-3 3

a

又 tan 390°=tan(360°+30°)=tan 30°= 3 3 ∴ = ,∴a=3 3. a 3 5.给出下列各函数值: ①sin(-1 000°);②cos(-2 200°); 7π sin cos π 10 ③tan(-10);④ . 17π tan 9 其中符号为负的是( A.① C.③ 答案 C ) B.② D.④

3 , 3

解析 sin(-1 000°)=sin 80°>0;cos(-2 200°)=cos(-40°)=cos 40°>0; 7π 7π sin cos π -sin 10 10 tan(-10)=tan(3π -10)<0; = >0. 17 17π tan π tan 9 9 π sin θ cos θ 6.已知角 α =2kπ - (k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同,则 y= + + 5 |sin θ | |cos θ | tan θ 的值为( |tan θ | A.1 C.3 答案 B π 解析 由 α =2kπ - (k∈Z)及终边相同的概念知,角 α 的终边在第四象限,又角 θ 与角 5 α 的终边相同,所以角 θ 是第四象限角,所以 sin θ <0,cos θ >0,tan θ <0.所以 y=- 1+1-1=-1. 7.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B 点坐 标为__________.
11

) B.-1 D.-3

答案 (-1, 3) 解析 依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,设点 B 坐标为(x,y),所以 x= 2cos 120°=-1,y=2sin 120°= 3,即 B(-1, 3). π π 8.已知扇形的圆心角为 ,面积为 ,则扇形的弧长等于________. 6 3 答案 π 3

解析

l π ? ?r= 6 , 设扇形半径为 r,弧长为 l,则? 1 π ?2lr= 3 , ?

π ? ?l= , 3 解得? ? ?r=2. 9.设 θ 是第三象限角,且?cos 答案 二 θ 解析 由 θ 是第三象限角,知 为第二或第四象限角, 2 ∵?cos ∴cos

? ?

θ ? θ θ ?=-cos 2 ,则 2 是第________象限角. 2?

? ?

θ ? θ =-cos , 2? 2 ?

θ ≤0, 2

θ 综上知 为第二象限角. 2 10.在(0,2π )内,使 sin x>cos x 成立的 x 的取值范围为________. π 5π 答案 ( , ) 4 4 解析 如图所示,

找出在(0,2π )内,使 sin x=cos x 的 x 值,sin 2 . 2

π π 2 5π 5π =cos = ,sin =cos =- 4 4 2 4 4

12

π 5π 根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 x∈( , ). 4 4 11.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解 设扇形的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4,
?r=1, ? ?l=2. ?
2

解得?

∴圆心角 α = =2(rad). 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 rad.

l r

∴AH=1?sin 1=sin 1(cm), ∴AB=2sin 1(cm). ∴圆心角的弧度数为 2 rad,弦长 AB 为 2sin 1 cm. 12.已知角 α 终边上一点 P,P 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离之比为 3∶4,且 sin α <0,求 cos α +2tan α 的值. |y| 3 解 设 P(x,y),则根据题意,可得 = . |x| 4 又∵sin α <0, ∴α 的终边只可能在第三、第四象限. ①若点 P 位于第三象限,可设 P(-4k,-3k)(k>0), 则 r= x +y =5k,
2 2

x 4 y 3 从而 cos α = =- ,tan α = = , r 5 x 4
7 ∴cos α +2tan α = . 10 ②若点 P 位于第四象限,可设 P(4k,-3k)(k>0), 则 r= x +y =5k,
2 2

x 4 y 3 从而 cos α = = ,tan α = =- , r 5 x 4
7 ∴cos α +2tan α =- . 10 7 综上所述,若点 P 位于第三象限,则 cos α +2tan α = ; 10

13

7 若点 P 位于第四象限,则 cos α +2tan α =- . 10 *13.已知 sin α <0,tan α >0. (1)求角 α 的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 (3)试判断 tan α α α sin cos 的符号. 2 2 2

解 (1)由 sin α <0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上; 由 tan α >0,知 α 在第一、三象限,故角 α 在第三象限, 3π 其集合为{α |2kπ +π <α <2kπ + ,k∈Z}. 2 (2)由 2kπ +π <α <2kπ + 3π ,k∈Z, 2

π α 3π 得 kπ + < <kπ + ,k∈Z, 2 2 4 α 故 终边在第二、四象限. 2 α α (3)当 在第二象限时,tan <0, 2 2 sin α α >0,cos <0, 2 2 α α α sin cos 取正号; 2 2 2

所以 tan

α α 当 在第四象限时,tan <0, 2 2 sin α α <0,cos >0, 2 2 α α α sin cos 也取正号. 2 2 2 α α α sin cos 取正号. 2 2 2

所以 tan

因此,tan

14


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