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微分几何试题库(解答与证明题)


微分几何试题库

解答与证明题

1 求曲线 r ? r (t ) ? {t , t 2 , et } 在 t=0 点的密切平面和主法线。(ZN) 2 求圆柱螺线 x ? a cos t , y ? a sin t , z ? t 在点 (a,0,0) 处的密切平面和主法线。(ZN) 3 求圆柱螺线 x ? cos t , y ? sin t , z ? t 在点 (1, 0, 0) 处的基本向量 ? , ? , ? 和密切平面、 副法线。(LTP34) 4 求曲线 r ? {t sin t , t cos t , tet } 在原点的切线和法平面。(XTP54) 5 求圆柱螺线 r ? {cos t ,sin t , t} 在 (0,1,

?
2

) 点的切线和法平面。(ZN)

6 设 (S)为曲线(C)的切线曲面, 证明(S)沿任意一直母线 l 的切平面就是(C)在切线 l 的切 点处的密切平面。 (KWD193) 7 求圆柱螺线 r (? ) ? {a cos ? , a sin ? , b? }(?? ? ? ? ??) 的曲率与挠率。(LTP42) 8 求曲线 r (t ) ? {a(1 ? sin t ), a(1 ? cos t ), bt} 的曲率和挠率。 9 求曲线 r (t ) ? {t ,

t2 t2 , } 的曲率和挠率。 2 3

10 求圆柱螺线 r ? {cos t ,sin t , t} 的曲率和挠率。 11. 证明曲线 x=1+3t+2 t ,y=2-2t+5 t ,z=1- t 为平面曲线,并求出它所在的平面方 程 。(XTP54) 12 已知曲线 r ? {cos3 t ,sin3 t ,cos 2t} 。求(1)基本向量 ? , ? , ? ; (2)曲率和挠率。 (XTP54) 13 设曲线 ? 的副法向量 ? ?
2 2 2

1 {? sin t , cos t ,1} ,求它的切向量 ? 和主法向量 ? ,并 2

证明它的曲率和挠率之比是常数。 (KWD92) 14 若曲线(C) : r ? r ( s) 的挠率 ? 为非零常数, (C)的主法向量与副法向量分别为

? , ? 。 证 明 (C ) : r (s )? ? ? ? ? d s的 曲 率 为 常 数 , 且 k ?| ? | , 并 求 (C ) 的 挠 率 ? . ?
(KWD96) 15 证 明 一 空 间 曲 线 为 一 般 螺 线 的 充 分 必 要 条 件 是 向 量 ?? ? k? 具 有 固 定 方 向 。 (KWD105) 16 曲线 ? 是一般螺线的充分必要条件是 ? 的曲率与挠率之比是常数。 (教 52) 17 证明: 如果一条曲线的所有法平面包含常向量 e , 那么这条曲线是直线或平面曲线。 (XTP54) 18.设在两条曲线Γ 、 ? 的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的主法线平
1

1

微分几何试题库

解答与证明题

行,证明它们在对应点的切线作固定角。(XTP54) 19.如果曲线Γ : r = r ( s) 为一般螺线, ? 、 ? 为Γ 的切向量和主法向量,R 为Γ 的曲 率半径。证明 ? : ? =R ? - ? ? ds 也是一般螺线。(XTP55)
? ? ? ?, ? ??, r 20.证明曲线 r = r ( s) 为一般螺线的充要条件为 (? r r ) ? 0 . (XTP55)
. .. .

?

?

?

?

?

21 证明:如果曲线的所有切线都经过一个定点,则此曲线是直线。(XTP54) 22 如果曲线的所有密切平面都经过一个定点,则此曲线是平面曲线,试证之。(XTP54) 23 如果曲线的所有密切平面都垂直于某条固定直线,则此曲线是平面曲线。(KWD) 24 求圆柱面 r ? {R cos ? , R sin ? , z} 在任一点的切平面和法线方程。(LTP64) 25.证明曲面 r ? {u, v, (XTP67) 26 证明二次锥面 r ? {au cos ? , bu sin ? , cu} 沿每一条直母线只有一个切平面。 (董 123)

?

a3 } 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 uv

27.求椭圆柱面

x2 y2 ? ? 1 在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此曲面 a2 b2

只有一个切平面 。(XTP67) 28 求双曲抛物面 z ? axy 上直母线之间的夹角 ? 。 (KWD145) 29 求双曲抛物面 z ? axy 上两族直母线的二等分角轨线。 (KWD145) 30 在正螺面 r ? {u cos v, u sin v, av} 上,求曲线族 du ? u2 ? a2 dv 的正交轨线族的方 程。 (KWD135) 31.求正螺面 r ={ u cosv ,u sin v , bv }的第一基本形式,并证明坐标曲线互相垂直。 (XTP80) 32.设曲面的第一基本形式为 I = du ? (u ? a )dv ,求它上面两条曲线 u + v = 0 ,
2 2 2 2

u – v = 0 的交角。(XTP80) 33.求曲面 z=axy 上坐标曲线 x=x 0 ,y= y 0 的交角. (XTP80) 34. 在曲面上一点,含 du ,dv 的二次方程 P du + 2Q dudv + R dv =0,确定两个切 方向 (du:dv)和 (δ u:δ v) , 证明这两个方向垂直的充要条件是 ER - 2FQ + GP = 0. (XTP80) 35.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 E du =G dv . (XTP81)
2 2 2 2 36 证明在曲面 r ? {u cos ? , u sin ? , a? ? b} 上由方程 (u ? a )d? ? du ? 0 所确定
2 2 2 2

2

微分几何试题库 的两族曲线是相互正交的。 (KWD145)

解答与证明题

37 在 正 圆 锥 面 r ? { u c o sv ,u s i n v u , 上}, 求 与 曲 线 族 v ? u ? a 正 交 的 轨 线 。
2

(KWD146) 38 证明:一曲面是平面的充分必要条件是曲面上的点都是平点。 (KWD153) 39 证明:曲线 y ? sin x,(0 ? x ? ? ) 绕 x 轴旋转后所得曲面上每一点都是椭圆点。 (KWD174) 40 求曲面 r ? { u2 ? a2 cos v , u2 ? a2 sin v , a ln(u? 率。 (KWD175) 41 求曲面 y ? 的坐标曲线的法曲 u2 ? a2 )}

1 2 x 的法曲率: (1)在任一点沿任意方向; (2)在点 M (2, 2, 4) 沿曲线 2

y?

1 2 x , z ? x 2 的切方向。 (KWD176) 2

? ? ? ( s) 的从可展曲面(S): r ? ? (s) ? v(? (s)? (s) ? k (s)? (s)) 是柱面 42 证明曲线(C):
的充分必要条件是该曲线是一般螺线。 (KWD183) 43 已 知 曲 面 (S1 ) 、 (S2 ) 、 (S3 ) 的 第 一 基 本 形 式 依 次 为 z ? x ? y 、
2 2

?1 ?

? ? a2 (du 2 ? dv 2 )(v ? 0) 、 ?2 ? du 2 ? dv2 、 ? 3 ? a 2 du 2 ? a 2 cos 2udv 2 (u ? (? , )) , 2 2 2 v

其中 a ? 0 为常数,求它们的高斯曲率 ?1 , ? 2 , ? 3 ,并证明它们是互相不等距的曲面。 (KWD204) 44 证明柱面与马鞍面 z ? x ? y 之间不存在等距变换。 (KWD219)
2 2

45 试证:任一曲线(C) : r ? r ( s) 的切线曲面与平面成等距对应。 (教 128) 46 对正螺面 r ? {u cos v, u sin v, bv}(?? ? u, v ? ??) 。求(1)在任一点处的第Ⅰ、 第Ⅱ基本形式; (2)在任一点沿任意方向的法曲率。(ZN) 47 对抛物面 z ? a( x ? y ) , (1)求其第Ⅰ、第Ⅱ基本形式; (2)在任一点沿任意方
2 2

向的法曲率。(LTP86) 48 证明正螺面 r ={u cosv ,u sin v ,bv},( -∞<u,v<∞) 是极小曲面。(XTP114) 49. 求出抛物面 z ?

1 ( ax 2 ? by 2 ) 在(0,0)点和方向(dx:dy)的法曲率. (XTP114) 2

50. 已知平面 ? 到单位球面(S)的中心距离为 d(0<d<1),求 ? 与(S)交线的曲率与法曲 率. . (XTP114) 51.求证在正螺面 r ={u cosv ,u sin v ,bv},( -∞<u,v<∞)上有一族渐近线是直线,另一族 是螺旋线。(XTP114)
3

微分几何试题库

解答与证明题

52.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. (XTP114) 53.确定螺旋面 r ={u cosv ,u sin v ,bv}上的曲率线. (XTP114) 54 求马鞍面 r ? {u, v, u 2 ? v2 } 在原点处沿任意方向的法曲率。 55 求曲面 ? : r ? {t cos ? , t sin ? , t} 在点(1,0,1)处沿任意方向的法曲率。 56 求抛物面 z ? a( x 2 ? y 2 ) 在(0,0)点的主曲率。(XTP114) 57.求正螺面 r ={u cosv ,u sin v ,bv}的主曲率。(XTP114) 58. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. (XTP114) 59.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. (XTP114) 60. 求双曲面 z=axy 在点 x=y=0 的平均曲率和高斯曲率. (XTP114) 61 如果两曲面沿一条曲线 ? 相切,则如果 ? 是一个曲面上的曲率线,那么 ? 也是另一 个曲面上的曲率线。试证之。 62 叙述并证明主方向的判定定理(罗德里格定理) 。(THP97) 63 设曲面的第一、第二、第三基本形式分别为Ⅰ、Ⅱ、 ??? ,高斯曲率、平均曲率分别 为 K、H,试证 ??? -2 HⅡ+KⅠ=0 。 (教 110) 64 求旋转曲面 r ? {? (u) cos ? , ? (u)sin ? , u}( ? (u ) ? 0 ) 的高斯曲率与平均曲率。 (教 p103) 65 求正螺面 r ? {u cos v, u sin v, u ? v} 的高斯曲率和平均曲率。 66 求抛物面 z ? a( x ? y ) 在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。
2 2

67 设 ? 是由空间曲线 ? ? ? ( s ) 的副法线形成的曲面,求曲面 ? 的高斯曲率。 (王本 P207) 68 已知圆柱面 r ? {? cos ? , ? sin ? , u} 。求(1)在任意点沿任意方向的法曲率; (2) 在任意点的高斯曲率和平均曲率。 69.给出曲面上一曲率线 L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求 证 L 是一平面曲线.(XTP114) 70.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角,则它是平面曲线。 (XTP114) 71 证明:挠曲线(C)的主法线曲面不是可展曲面。(XTP1304) 72 证明直纹面 S 为可展曲面的充分必要条件是它的直母线都是曲率线。 (董 192) 73 证明曲面 r ? {u ?
2

1 2 v, 2u 3 ? uv, u 4 ? u 2v} 是可展曲面。(XTP1294) 3 3

74 证明曲线 (C) 的副法线曲面是可展曲面的充分必要条件是曲线 (C) 为平面曲线。 (XTP1294) 75 证明正螺面 r ? {u cos v, u sin v, av ? b}(?? ? u, v ? ??) 不是可展曲面。(XTP1294)

4

微分几何试题库

解答与证明题

76 证明每一条空间挠曲线(C)的密切平面所构成的单参数平面族的包络是(C)的切线曲 面. (KWD181) 77 证明挠曲线(C)的副法线曲面不是可展曲面。(XTP1304) 78 证 明 曲 面 r ? {cos v ? (u ? v)sin v,sin v ? (u ? v) cos v, u ? 2v} 是 可 展 曲 面 。 (XTP1304) 79 证明:曲面 S 上的曲线(C): r ? r ( s) 是曲率线的充分必要条件是曲面 S 沿曲线(C) 的法线曲面 ? 可展。(TH 教 P126) 80 求平面族 x cos ? ? y sin ? ? z sin ? ? 1 的包络。(XTP1304) 81.证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。(XTP1304) 82.证明 ruu ? ruv ? 0 的曲面 (S):r=r(u,v) 是柱面。(XTP1304) 83.求证第一基本形式为 ds 2 ?

r

r

r r

du 2 ? dv 2 的曲面有常高斯曲率 。(XTP144) (u 2 ? v 2 ? c)2
d? sin udv ? , ds ds

84.证明不存在曲面,使 E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1. (XTP145) 85.证明球面 r ={acosucosv,acosusinv,asinu}上曲线的测地曲率 ? n ? 其中 ? 表示曲线与经线的交角。(XTP169)

?

86 .求位于正螺面 r ={ucosv,usin,av} 上的圆柱螺线 (C) : r ? {u0 cos v, u0 sin v, av} ( u0 =常数)的测地曲率。(XTP170) 87. 求证旋转曲面的子午线是测地线, 而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是 测地线 。 (XTP170) 88.证明:若曲面上两族测地线交于定角,则曲面是可展曲面。(XTP170) 89.利用高斯--泼涅公式证明若曲面(S)上存在两族交于定角的测地线,则它的高斯曲 率处处为零。 (XTP170) 90.若曲面(S)的高斯曲率处处小于零,则曲面(S)上不存在围成单连通区域的光滑闭测 地线。(XTP170) 91.求半径为 R 的球面上测地三角形三内角之和。(XTP170) 92 证明:曲面上的曲线如果是测地线,又是曲率线,则它必是平面曲线。(XTP170) 93 证明:如果曲面上非直线的测地线 ? 均为平面曲线,则 ? 必是曲率线。(XTP170) 94 证明: (1)如果测地线同时是渐近线,则它是直线; (2)如果测地线同时是曲率线, 则它一定是平面曲线。(XTP170) 95 求证旋转曲面 r ? {? (u) cos ? , ? (u)sin ? ,? (u)} 的经线是测地线。 (其中 ? (u ) ? 0 ) 。 (XTP170) 96 证明:如果两曲面沿一条曲线 ? 相切,则 ? 在这两个曲面上或者都是测地线或者都
5

?

微分几何试题库 不是。(ZN)

解答与证明题

97 曲面的第一基本形式为 ? ? E(u)du 2 ? G(u)dv 2 。求证(1)u-线是测地线; (2)v-线是测地线 ? Gu (u) ? 0 。(LTP150) 98 求曲面 r ? {v cos u, v sin u, v2} 上 U-线的测地曲率。 (自拟 ?)

6


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