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2018版高中数学第二章推理与证明课时作业15综合法和分析法新人教A版选修2_2

课时作业 15 |基础巩固|(25 分钟,60 分) 综合法和分析法 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.关于综合法和分析法的说法错误的是( ) A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B.综合法又叫顺推证法或由因导果法 C.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 D.分析法又叫逆推证法或执果索因法 解析:由综合法和分析法的定义及推理过程可知 A,B,D 正确,C 错误. 答案:C x 2.设 a=lg2+lg5,b=e (x<0),则 a 与 b 的大小关系为( ) A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定 解析:因为 a=lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=1, x 0 所以 b=e <e =1=a. 答案:A 3.要证 a+ a+7< a+3+ a+4(a≥0)可选择的方法很多,其中最合理的是( ) A.综合法 B.类比法 C.分析法 D.归纳法 解析:要证 a+ a+7< a+3+ a+4, 只需证明 2 2 2a+7+2 a +7a<2a+7+2 a +7a+12, 2 2 只需证明 a +7a< a +7a+12, 2 2 只需证明 a +7a<a +7a+12, 只需证明 0<12, 故选择分析法最合理. 答案:C 4.已知 a>0,b>0 且 a+b=2,则( ) 1 1 A.a≤ B.ab≥ 2 2 2 2 2 2 C.a +b ≥2 D.a +b ≤3 解析:因为 a>0,b>0, 所以 a+b≥2 ab,所以 ab≤1, 1 a2+b2≥ (a+b)2=2. 2 答案:C 2 5. 分析法又叫执果索因法, 若使用分析法证明: 设 a>b>c, 且 a+b+c=0, 求证: b -ac < 3a 索的因应是( ) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 2 解析:要证 b -ac< 3a, 2 2 只需证 b -ac<3a , 2 2 只需证 b -a(-b-a)<3a , 2 2 只需证 2a -ab-b >0. 只需证(2a+b)(a-b)>0, 1 只需证(a-c)(a-b)>0. 故索的因应为 C. 答案:C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6. 3- 2________ 2-1.(填“>”或“<”) 解析:因为 3- 2和 2-1 都是正数. 要比较 3- 2与 2-1 的大小. 3- 2 只需判定 与 1 的大小即可. 2-1 而 = 3- 2 2-1 2+1 = 3- 2 2- 3+ 2 2+ 2+ 3+ 2 <1, 3+ 2 所以 3- 2< 2-1. 答案:< → → → → 7. 在平面内有四边形 ABCD 和点 O, 满足OA+OC=OB+OD, 则四边形的形状为________. → → → → 解析:由已知OA+OC=OB+OD得 → → → → OA-OB=OD-OC, → → 即BA=CD,所以四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 8.已知等差数列{an},Sn 表示前 n 项和,a3+a9>0,S9<0,则 S1,S2,S3,…中最小的是 ________. 解析:由于数列{an}为等差数列,所以 a3+a9=2a6>0. 9 a1+a9 S9= =9a5<0. 2 所以 S5 最小. 答案:S5 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 2 2 2 2 9.已知 a,b>0,求证:a(b +c )+b(c +a )≥4abc. 2 2 证明:因为 b +c ≥2bc,a>0, 2 2 所以 a(b +c )≥2abc, 2 2 又因为 c +a ≥2ac,b>0, 2 2 所以 b(c +a )≥2abc. 2 2 2 2 因此 a(b +c )+b(c +a )≥4abc. |a|+|b| 10.已知非零向量 a,b,且 a⊥b,求证: ≤ 2. |a+b| |a|+|b| 证明:a⊥b?a·b=0,要证 ≤ 2, |a+b| 只需证|a|+|b|≤ 2|a+b|, 2 2 2 2 只需证|a| +2|a||b|+|b| ≤2(a +2a·b+b ), 2 2 2 2 只需证|a| +2|a||b|+|b| ≤2a +2b , 2 2 只需证|a| +|b| -2|a||b|≥0, 2 即证(|a|-|b|) ≥0, 上式显然成立, 故原不等式得证. 2 |能力提升|(20 分钟,40 分) 1 11.设 0<x<1,则 a= 2x,b=x+1,c= 中最大的是( ) 1- x A.c B.b C.a D.随 x 取值不同而不同 2 2 解析:因为 x>0,所以(1+x) =1+2x+x >2x.所以 1+x> 2x. 即 b>a. 2 1 1- -x +x 1- -x x2 又 c-b= -(1+x)= = = >0,所以 c>b 即 1-x 1-x 1-x 1-x c>b>a. 答案:A 12.如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a,b 应满足的条件是________. 解析:a a+b b>a b+b a?a a-a b>b a-b b?a( a- b)>b( a- b)?(a 2 -b)( a- b)>0?( a+ b)( a- b) >0, 故只需 a≠b 且 a,b 都不小于零即可. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 13.已知 a>0,b>0,求证: a b + ≥ b a a + b. 证明: 方法一: (综合法)因为 a>0, b>0, 所以 = 1? a-b b-a ?1 + = (a - b)? - ? = a? ? b b a b. a b 方法二:(分析法)要证 + ≥ a+ b,只需证 a a+b b≥a b+b a,即证(a- b a b)( a- b)≥0, 因为 a>0, b>0, 所以 a-b 与 a- b符号相同, 不等式(a-b)( a- b)≥0 成立,所

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