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高二数学必修5水平测试试题


高二数学必修 5 水平测试试题 (试卷总分 150 分、考试时间 120 分钟) 一、选择题(每小题 5 分共 50 分) 1、下列命题中正确的是 (A)若 a,b,c 是等差数列,则 log2a,log2b,log2c 是等比数列 (B)若 a,b,c 是等比数列,则 log2a,log2b,log2c 是等差数列 (C)若 a,b,c 是等差数列,则 2a,2b,2c 是等比数列 (D)若 a,b,c 是等比数列,则 2a,2b,2c 是等差数列 2 、 对 于 任 意 实 数 a , b , c , d , 命 题 ① 若 > , ≠ 0, 则 > ; ②

若a ? b, 则ac2 ? bc2

1 1 ③ 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ; ④ 若a ? b, 则 ? ; ⑤ a b

若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd .其中真命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3、已知数列{an}是公比 q≠1 的等比数列,则在 “(1){anan+1} , (2){an+1- 3 an} , (3){an } ,(4){nan} ”这四个数列中,成等比数列的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4、下列结论正确的是 (A)当 x ? 0 x ? 1, lg x ? 1 ? 2
lg x

(B) 当x ? 0

时,

x?

1 x

?2

1 无最大值 x a c 5、 若 a, b, c 成等比数列, m 是 a, b 的等差中项, n 是 b, c 的等差中项, 则 ? ? m n (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 + 6、 设 x,y ? R ,且 xy-(x+y)=1,则

(C) 当x ? 2时, x ?

1 的最小值为 2 x

(D) 当0 ? x ? 2时, x ?

(A) x+y ? 2 2 +2

(B) xy ? 2 +1

(C) x+y ? ( 2 +1)2

(D)xy ? 2 2 +2

1 1 <x< } ,则 a + b 的值为 3 2 (A) -10 (B) -14 (C) 10 (D) 14 8、等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则 a12+ a22+a32+…+an2 等于 1 1 (B) (2 n ? 1) (D) (4 n ? 1) (A) (2 n ? 1) 2 (C) 4 n ? 1 3 3

7.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集是{x|-

9、 某人朝正东方向走 x 千米后, 向右转 150o 并走 3 千米, 结果他离出发点恰好 3 千米,那么 x 的值为 (A)

3

(B) 2 3

(C)

3 或2 3

(D) 3

10、某厂生产甲、乙两种产品,产量分别为 45 个、50 个,所用原料为 A、B 两 种规格的金属板,每张面积分别为 2m2、3m2,用 A 种金属板可造甲产品 3 个,乙产品 5 个,用 B 种金属板可造甲、乙产品各 6 个,则 A、B 两种金属

板各取多少张时,能完成计划并能使总用料面积最省? (A) A 用 3 张,B 用 6 张 (B)A 用 4 张,B 用 5 张 (C)A 用 2 张,B 用 6 张 (D)A 用 3 张,B 用 5 张 二、填空题(每小题 4 分共 16 分) 11、 已知等比数列 {an} 中, a1+a2=9, a1a2a3=27, 则 {an} 的前 n 项和 Sn= _________.

?1,x ? 0; 12、 已知 f ( x) ? ? , 则不等式 x ? ?x ? 2? ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是_________. ?? 1,x ? 0
13、在△ ABC 中,若

a b c ? ? ,则△ ABC 是 cos A cos B cos C

.

14、如图,它满足①第 n 行首尾两数均为 n,②表中的递推关系类似杨辉三角, 则第 n 行 (n ? 2) 第 2 个数是 2 3 4 5 6 16 11 7 14 25 4 7 11 25 16 . 1 2 3 4 5 6

高二必修 5 水平测试答卷 一、 选择题:(请将正确答案的代号填在答题卡内,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答案 二、填空题:(每题 5 分,共 20 分) 11、______________________ 12、_______________________ 13、______________________ 14、_______________________ 三.解答题(第 15,17 题每小题 12 分,第 16、18、19、20 题每小题 14 分,共 80 分) 15、 (满分 12 分) (理科)△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 3 知 a,b,c 成等比数列, cos B ? . 4 1 1 ? (Ⅰ)求 的值; tan A tan C 3 (Ⅱ)设 BA ? BC ? , 求a ? c 的值。 2 (文科)解不等式: | x |? 2 x 2 ? 1 .

16、 (满分 14 分) (理科)等差数列{an}不是常数列,a5=10,且 a5,a7,a10 是某一等比数列{bn}的第 1,3,5 项: (1)求数列{an}的第 20 项; (2)

求数列{bn}的通项公式。 (文科)已知实数 a, b, c 成等差数列, a ? 1 , b ? 1 , c ? 4 成等比数列, 且 a ? b ? c ? 15 ,求 a, b, c . 17、 (满分 12 分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车 流量 y (千辆 / 小时)与汽车的平均速度 ? (千米 / 小时)之间的函数关系为:
920? (? ? 0) . ? ? 3? ? 1600 (1) 在该时段内,当汽车的平均速度 ? 为多少时,车流量最大?最大车流量为 多少? (保留分数形式) (2) 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时, 则汽车的平均速度应在什么范围 内? 18、 (满分 14 分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一 级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工 厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300 吨、 二级子棉不 超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利润总额最大? y?
2

19 (满分 14 分) 已知 x ,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列.又数列 {an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 2 此数列的前 n 项的和 S( 对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f (S n?1 ) . n n ? N? ) 1 1 (1) 求数列 {an } 的第 n+1 项; (2) 若 bn 是 且 Tn 为{bn} , 的等比中项, a n ?1 a n 的前 n 项和,求 Tn. 20、(A、B 两题任选一题,满分 14 分)
A、已知 a、b、c 是实数,函数 f (x)= ax2+bx+c,g (x)= ax+b, 当-1≤x≤1 时,|f (x)|≤1. (1) 证明:|c|≤1; (2) 证明:当-1≤x≤1 时,|g (x)|≤2; (3) 设 a>0,当-1≤x≤1 时,g (x)的最大值为 2,求 f (x). B、已知曲线 C:xy=1,过 C 上一点 An(xn,yn)作一斜率为 kn= —
1 的直线交 xn ? 2

曲线 C 于另一点 An+1(xn+1,yn+1),点列 An( n ? N * )的横坐标构成数列 ?xn ? ,其中 x1=
11 7

(1) 求 xn 与 xn+1 的关系式;

? 1 1? (2) 求证: ? ? ? 是等比数列; ? xn ? 2 3 ?
(3) 求证: (-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+……+(-1)nxn<1(n ? N,n ? 1 )

高二数学必修 5 水平测试答案
二、选择题:(请将正确答案的代号填在答题卡内,每小题 4 分,共 40 分) 题 号 答案 1 C 2 A
n ?1? ? ? 2? ? ?

3 C

4 B

5 C

6 A

7 B

8 D

9 C

10 A





二、填空题:(每题 4 分,共 16 分) 11、 S n ? 12?1 ? ? ? ?

? ? ?

12、 ? ? ?, ? 2

? ?

3? ?

13、等边三角形

14、

n2 ? n ? 2 2

三.解答题(第 15,16 题每小题 12 分,第 17,18 题每小题 10 分共 44 分) 15、 . (理科)解: (Ⅰ)由 cos B ? 由 b2=ac 及正弦定理得 于是 1 ? 1
tan A tan C ?

3 3 7 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4 4

2 sin B ?sin As i n C.

cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? sin A sin C sin A sin C sin 2 B

?

sin B 1 4 ? ? 7. sin 2 B sin B 7

(Ⅱ)由 BA ? BC ?

3 3 3 得ca ? cos B ? ,由cos B ? , 可得 ca ? 2,即b 2 ? 2. 2 2 4
得 a2+c2=b2+2ac·cosB=5.

由余弦定理 b2=a2+c2-2ac+cosB

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3
2 ? ?2 x ? x ? 1 ? 0, 解得: ? 2 ? ?2 x ? x ? 1 ? 0

2 ? , ? x ? 2 x ? 1  (文科)解:由原不等式得: ? 即 2 ? ? x ? ?2 x ? 1

? 1 ? ? x或x ? 1, ? ? 2 即: ? 1 ? x或x ? ?1 . ? 1 ? x ? ?1, 或x ? ? 2 ?
∴原不等式的解集为 x | x ? ?1或x ? 1

?

?

16、 (理科)等差数列{an}不是常数列,a5=10,且 a5,a7,a10 是某一等比数列{bn}的第 1,3,5 项,(1)求数列{an}的第 20 项,(2)求数列{bn}的通项公式. 解: (1)设数列{an}的公差为 d,则 a5=10,a7=10+2d,a10=10+5d 因为等比数列{bn}的第 1、3、5 项也成等比, 所以 a72=a5a10 即:(10+2d)2=10(10+5d) 解得 d=2.5 ,d=0(舍去)…………………………………………………6 分 所以:a20=47.5………………………………………………………………8 分 (2)由(1)知{an}为正项数列,所以 q2=b3/b1=a7/a5=

3 ………………….10 分 2

bn=b1qn-1=±10(3/2)(n-1)/2………………………………………………………………… 12 分 (文科)解:由题意,得

?a ? b ? c ? 15 ? ? ?a ? c ? 2b ? 2 ? ?? a ? 1?? c ? 4 ? ? ? b ? 1?

?1? ? 2? ? 3?

由(1) (2)两式,解得 b ? 5 将 c ? 10 ? a 代入(3) ,整理得
a 2 ? 13a ? 22 ? 0 解得a ? 2或a ? 11, 故a ? 2, b ? 5, c ? 8或a ? 11, b ? 5, c ? ?1. 经验算,上述两组数符合题意。
17、经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y (千辆/小时)与 汽车的平均速度 ? (千米/小时)之间的函数关系为: y ?

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 ? 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保 留分数形式) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?(本小 题满分 10 分) 解: (Ⅰ)依题意, y ?

920? (? ? 0) . ? ? 3? ? 1600
2

920 920 920 ? ? , ?????3 1600 83 3 ? 2 1600 3 ? (v ? ) v

当且仅当v ? 所以y max

1600 , 即v ? 40时, 上式等号成立 , v 920 ? (千辆 / 小时). 83
920 v ? 10, v ? 3v ? 1600
2

??.6 分

(Ⅱ)由条件得
2

整理得 v -89v+1600<0,??????????????????8 分 即(v-25) (v-64)<0, 解得 25<v<64. ?????????????????????.;10 答:当 v=40 千米/小时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/小时.如果要求在该时段 内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小 时.?????????12 分 y 18、分析:将已知数据列成下表: 产品 消耗量 资源 一级子棉(吨) 甲种棉纱 (1 吨) 2 乙种棉纱 (1 吨) 1 资源限额 (吨) 300
50 50 2x+y=300

x+2y=250 x

二级子棉(吨) 利 润(元)

1 600

2 900

250

解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 那么 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
z=600x+900y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域. 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直 线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组

; 350 200 ?2 x ? y ? 300  得 M 的坐标为 x= ≈117,y= ≈67. ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大. 19、已知

x,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列.又数列 {an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 此数列的前 n 2

项的和 Sn( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f (S n?1 ). (1)求数列 {an } 的第 n+1 项; (2)若 bn 是

1 a n ?1

,

1 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. an

解: (1)? x ,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列,∴ 2
2

f ( x) ?2 ? x ? 3 2

∴ f ( x) ? ( x ? 3) . ????2 分 ∵ S n ? f ( S n?1 ), (n ? 2),? S n ? f ( S n?1 ) ? ( S n?1 ? 3 ) 2 , ∴ Sn ?

S n?1 ? 3, S n ? S n?1 ? 3,

∴{ S n }是以 3 为公差的等差数列.????????4 分 ∵ a1 ? 3,? S1 ? a1 ? 3,? S n ?

S1 ? (n ? 1) 3 ? 3 ? 3n ? 3 ? 3n ,

∴ S n ? 3n (n ? N ? ).
2

∴ an?1 ? S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) ? 3n ? 6n ? 3.
2 2

????6 分

(2)∵数列 bn 是

1 a n ?1

,

1 1 1 2 ? , ????8 分 的等比中项,∴ ( bn ) ? an a n ?1 a n

∴ bn ?

1 an?1a n

?

1 1 1 1 ? ( ? ). 3(2n ? 1) ? 3(2n ? 1) 18 2n ? 1 2n ? 1



Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ). ……10 18 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 18 2n ? 1

20、A(Ⅰ)证明:由条件当-1≤x≤1 时,│f(x)│≤1,取 x=0 得 │c│=│f(0)│≤1, 即│c│≤1. (Ⅱ)证法一: 当 a>0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数, ∴g(-1)≤g(x)≤g(1), ∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1, ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│≥-2, 由此得│g(x)│≤2; 当 a<0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数, ∴g(-1)≥g(x)≥g(1), ∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1, ∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2, g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2, 由此得│g(x)│≤2; 当 a=0 时,g(x)=b,f(x)=bx+c. ∵-1≤x≤1, ∴│g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2. 综上得│g(x)│≤2. 10 分 9分 7分 3分

根据含绝对值的不等式的性质,得



│g(x)│≤2.

8分

(Ⅲ)因为 a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当 x=1 时取得最大值 2, 即 g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.① ∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1, ∴c=f(0)=-1. 因为当-1≤x≤1 时,f(x)≥-1,即 f(x)≥f(0), 根据二次函数的性质,直线 x=0 为 f(x)的图象的对称轴,由此得 12 分

由① 得 a=2. 所以 f(x)=2x2-1. 14 分


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