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初等数学与高等数学


读书时,我愿在每一个美好思想的面前停留,就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生
初等数学与高等数学
  初等数学是常量的、静态的数学,它只能解决和解释常量的几何问题和物理问题,比如规则图形的长度、面积和体积,匀速直线运动,常力沿直线的作功,质点间的吸引力等;
  高等数学是变量的、动态的数学,它解释和解决那些变化的几何问题和物理过程,特别是描述一些物体的渐近行为和瞬时物理量等,比如不规则图形的长度、面积和体积,一般运动问题,变力沿曲线作功,一般物体间的吸引力等。

(高等)数学教与学
  数学教育本质上是一种素质教育。学习数学的目的,不仅仅在于学到一些数学的概念、公式和结论,更重要的是要了解数学的思想方法和精神实质,真正掌握数学这门学科的精髓。只有这样,所学的数学知识才不至沦为一堆僵死的教条,变得似乎毫无用处,相反,能做到触类旁通,在现实世界中提出的种种问题面前显示出无穷无尽的威力,终生受用不尽。如何教好或学好数学,特别是高等数学?
  一.理解概念 数学,特别是现代形态的数学,是一种很空洞抽象的东西。从形式上看,数学是由无物质内容的形式符号按一定的"游戏规则"所组成的推演系统,她远离人的直接经验,具有一定的超现实性。完全纯粹的数学,对于常人来说,无疑是一部"天书"。为了理解数学中的每一个概念,读懂"天书"中的每一个词,我们必须坚持语言文字、数学公式、图形列表、数值计算和物理实例四方面并重,力求通过不同侧面来理解数学概念、思想和方法。
二.演算解题 高等数学,单靠教师把课讲好是远远不够的。只有调动学生学习的积极性和主动性,促使他们自觉地接受经常、充分而又严格的数学训练,才能使他们真正走近数学,取得切身的体会,从而加深对数学的理解。在认真复习的基础上做好习题,是和课堂教学联系最直接与紧密,同时也最利于经常实施和长期坚持的一项重要的数学训练。多讲不如多练,对数学这样一门注重思考的学科,情况更是如此。只有通过严格的训练,使学生手脑并用,才能启迪心智,推动思维,使认识不断深入。由于解题在训练数学思维方面的极端重要性,更需要对学生的解题进行必要的指引。当然这里的演算解题不仅仅局限于带带公式,套套定理,算算极限、导数或积分,更包括解答一些基本的数学证明问题。学习高等数学,不仅要求学生掌握高等数学中的一些基本概念、基本性质和基本方法;更重要的是掌握高等数学的知识体系、知识框架,期望学生通过学习高等数学,提高抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和运用所学只是分析问题和解决问题的能力。
三.逻辑结构 在现代数学中,符号演算在课程中常占着较大的比例,比如微积分中的极限演算,导数和各种积分演算等。而事实上,符号演算仅仅是数学中的形式部分,也是比较简单的部分;数学中的逻辑结构才是它的理性思辨的精髓所在,它虽然不同于物质的物理结构,但是它们所产生神妙的结构性功能,却是可以类比的。比如一种机械在装配前,只是一堆死的零部件,若加以精密的装配,就是赋予一种结构,于是这堆零件就回变成钟表、计算机、电视机和汽车等等,产生出各种奇妙的功能,因此结构是各种机械的灵魂。数学,特别是高等数学是具有很精密而系统的建构性,它的任何章节,所有概念和定理无不是由严密的逻辑因果网编织连接在一起的。可以说,数学的逻辑结构乃是数学科学的本质与灵魂,是它的原理和精神的所在。因此在学习中尤其要加以理解和领会,做到融会贯通,举一反三。
四.数学与现实 从形式上看,数学乃是由无物质内容的形式符号按一定的"游戏规则"所组成的符号推演系统,它远离人的直接经验。但是追本溯源,它的任何分支都是由更初级的内容演化发展而来的,是对现实世界的无限高度抽象和概括而得到的,它们都是自现实发端的有源之水。现代数学为什么会变得如此"不友好"呢?这还得从现代数学的发展历史来看,特别是微积分的发展历史。极限、导数和积分刚开始是作为解决各类实际问题的特殊方法,语言也是各具问题来源地的"方言",思维表达上还不是十分严谨,也引起一定的混乱和错误。后来,遭到各方的批评和指责,经过几代人,近百年的努力,才将微积分的基础巩固。为此付出的代价就是现在这样一个"不友好"的面目。但是我们在学习的时候,还是不要抛弃微积分本来的具体实例、直观思维等实实在在的东西,不要被它的严肃刻板的ε-(语言、ε-N语言所吓倒,这只是微积分为了保护自己的盾牌而已。
  数学这种形式上的"超现实性"在某种程度上是其在各种自然科学和社会科学中都有广泛而深刻的应用的保证。但是,我们在学习这种抽象的数学时,一定要结合具体而生动的实例加以理解,还抽象数学以其现实本性,只有这样我们才不会觉得数学是活的、生动的、具体的、可以捉摸的,而且会体会到它为什么会是这样的,为什么会必然是这样的,做到知其然,更要做到知其所以然。
五.深入浅出 基础数学的学习,实质上是一定知识载体上的数学逻辑的演绎训练(包括符号演算)。数学思维是思辨性的演绎思维,它不同于自然科学中的观察、归纳、总结、分析这样的归纳思维。粗略地说,归纳思维是人有生以来认识了解周围世界的一种主要思维方法,是人生来就熟悉的自然思维;而演绎思维是归纳思维的一种逆向思维,是一种更为复杂的理性思维。只有通过一定的训练,我们才能熟悉、掌握和运用。在具体学习上,首先要能够听清楚每一堂课,这不仅仅是指听懂了那些名词概念,会套用那些公式;更重要的是理解其内在的数学逻辑结构,以及与其他概念之间的外在联系。数学逻辑的演绎,从思维结构上看是"串联"的,也即在逻辑演绎的推理链只需有一个环节不连续、衔接不上,其后续的推理就失去了依据,整个演绎就不能继续。这寿命了这个思维结构的脆弱性。由于上述缘故,我们在学习过程中必须做到十分细致、缜密,深刻理解数学演绎中的每一个环节,以及环节与环节之间的联系,做到事出有据,不使演绎链中断,这是"深入"。但是如果只有"深入",使得我们埋头于每一步骤的细节,往往会使我们之间树木不见森林,眼睛一闭,书本一合,全然不知所云!这就要求我们要"浅出",从高处俯览、远处远眺所学的内容,即对内容作全局性、宏观性的总结和概括。明白它要讲什么,要干什么,怎么达到目的。就像要了解一台精密的设备,仅仅了解它的所有零部件是远远不够的,我们必须要宏观地懂得它的结构构造,运作功能和配合原理。只有"浅出",结合现实,才是我们的学习有了明确的目标意识,纷繁复杂的"深入"才能呈现处清晰的主干脉络,才能激发我们的自觉性和能动性,改变被动地带带公式、套套定理的学习状态。




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