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广东省东莞市东华高中2015届高三数学重点临界辅导试题(10)理


理科数学重点临界辅导材料(10)
一、选择题 1 1 1.已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ;②若两组数据的平 2 8 1 2 2 均数相等,则它们的标准差也相等;③直线 x+y+1=0 与圆 x +y = 相切. 2 其中真命题的序号是( A.①②③ ) C.①③ D.②③

B.①②

2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方 法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则( A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3
?x+y≤1, ? ?x+y≥-2 ?

)

x≤0, ? ? 3.由不等式组?y≥0, ? ?y-x-2≤0

确定的平面区域记为 Ω 1,不等式组?

确定的平面区域记为

Ω 2,在 Ω 1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω 2 内的概率为( A. 1 8 1 B. 4 3 C. 4 7 D. 8

)

1 2 4 .函数 f(x) = x + 2cos x + 2 的导函数 f′(x)的图象大致是 4 ( )

5.奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1, 则 f(8)+f(9)=( A.-2 B.-1 ) C.0 D.1

6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一 个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( A. - =1 16 9 )

x a

2

y b

2

x2

y2

B. - =1 3 4

x2 y2

C. - =1 9 16

x2

y2

D. - =1 4 3

x2 y2

二、填空题 7.已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x-4y-4=0 相交于 A,B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. 1 ?6 ? 8.已知 a=?π (sin t+cos t)dt,则?x- ? 的展开式中的常数项为________. ax ? ? ?
0 2 2

π → → 9.在△ABC 中,已知AB·AC=tan A,当 A= 时,△ABC 的面积为________. 6

?π π ? 10.若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? , ?是减函数,则 a 的取值范围是________. ?6 2?
三、解答题 2 3 11.在数列{an}中,a1= ,若函数 f(x)=x +1 在点(1,f(1))处的切线过点(an+1,an). 3 1 (1)求证:数列{an- }为等比数列; 2 (2)求数列{an}的通项公式和前 n 项和公式 Sn.

12.已知函数 f(x)=k(x-1)e +x . 1 (1)当 k=- 时,求函数 f(x)在点(1,1)处的切线方程; e (2)若在 y 轴的左侧,函数 g(x)=x +(k+2)x 的图象恒在 f(x)的导函数 f′(x)图象的上方,求 k 的取值 范围; (3)当 k≤-1 时,求函数 f(x)在[k,1]上的最小值 m.
2

x

2

13.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),右顶点为 A,且|AF|=1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x=4 交于点 Q,问:是否存在一个定 → → 点 M(t,0),使得MP·MQ=0.若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

x2 y2 a b

参考答案 1.(2013·天津高考)已知下列三个命题: 1 1 ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; 2 8 ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; 1 2 2 ③直线 x+y+1=0 与圆 x +y = 相切. 2 其中真命题的序号是( ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 【解析】 对各个命题逐一进行判断,得出结论. 4 R 3 1 4 1 3 对于命题①,设球的半径为 R,则 π ( ) = · π R ,故体积缩小到原来的 ,命题正确;对于命题②, 3 2 8 3 8 若两组数据的平均数相同,则它们的标准差不一定相同,例如数据:1,3,5 和 3,3,3 的平均数相同,但标 1 1 2 2 2 准差不同,命题不正确;对于命题③,圆 x +y = 的圆心(0,0)到直线 x+y+1=0 的距离 d= = , 2 2 2 等于圆的半径,所以直线与圆相切,命题正确. 【答案】 C 2.(2014·湖南高考)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样 和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 【解析】 无论哪种抽样,每个个体被抽到的概率都相等. 【答案】 D

x≤0, ? ? 3. (2014·湖北高考)由不等式组?y≥0, ? ?y-x-2≤0

确定的平面区域记为 Ω 1, 不等式组? )

?x+y≤1, ? ?x+y≥-2 ?

确定的平面区域记为 Ω 2,在 Ω 1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω 2 内的概率为( 1 1 3 7 A. B. C. D. 8 4 4 8

1 1 2 2 【解析】 由题意作图,如图所示,Ω 1 的面积为 ×2×2=2,图中阴影部分的面积为 2- × × 2 2 2 2 7 4 7 7 = ,则所求的概率 P= = .选 D. 4 2 8 【答案】 D 1 2 4.(2014·忻州联考)函数 f(x)= x +2cos x+2 的导函数 f′(x)的图象大致是( 4 )

1 1 【解析】 ∵f′(x)= x-2sin x,显然是奇函数,∴排除 A.而[f′(x)]′= -2cos x=0 有无穷 2 2 多个根,∴函数 f′(x)有无穷多个单调区间,排除 C、D,故选 B. 【答案】 B 5. (2014·全国大纲高考)奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数, 且 f(1)=1, 则 f(8)+f(9) =( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 【解析】 ∵f(x+2)为偶函数, ∴f(x+2)=f(-x+2), 即 f(x+4)=f(-x). 又 f(-x)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x), ∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x), ∴f(x)的周期为 8. ∴f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=0+1=1. 【答案】 D

x2 y2 6.(2014·兰州、张掖联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,以|F1F2|为 a b
直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( A. - =1 16 9 )

x2

y2

B. - =1 3 4 D. - =1 4 3

x2 y2

C. - =1 9 16 【解析】

x2

y2

x2 y2

由题意,圆的半径为 5 ,又点 (3,4) 在经过第一、三象限的渐近线 y = x 上,因此有
?a=3, ? ? ?b=4.

b a

a +b =25, ? ? ? b 4=3× , ? a ?

2

2

解得?

所以此双曲线的方程为 - =1. 9 16

x2

y2

【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 2 2 7.已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x-4y-4=0 相交于 A,B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. 2 2 2 2 【解析】 圆 C:x +y +2x-4y-4=0 的标准方程为(x+1) +(y-2) =9, 3 2 所以圆心为 C(-1,2),半径为 3.因为 AC⊥BC,所以圆心 C 到直线 x-y+a=0 的距离为 ,即 2 |-1-2+a| 3 2 = ,所以 a=0 或 6. 2 2 【答案】 0 或 6 1 ?6 ? 8.已知 a=?π (sin t+cos t)dt,则?x- ? 的展开式中的常数项为________. ax ? ? ?
0

【解析】 因为 a=(-cos π +sin π )-(-cos 0+sin 0)=2,所以二项展开式的通项公式为 Tr+1 5 ? 1 ?r r ? 1?r 6-2r ? 1?3 r 6-r 3 =C6·x ·?- ? =C6·?- ? ·x ,令 r=3 可得展开式的常数项为 C6·?- ? =- . 2 ? 2x? ? 2? ? 2? 5 【答案】 - 2 π → → 9.(2014·山东高考)在△ABC 中,已知AB·AC=tan A,当 A= 时,△ABC 的面积为________. 6 π → → 【解析】 ∵A= ,由AB·AC=tan A, 6 → → ∴|AB|·|AC|·cos A=tan A, 3 3 → → 即|AB|·|AC|× = , 2 3 2 → → ∴|AB|·|AC|= 3 1 → 1 2 1 1 → S△ABC= |AB|·|AC|·sin A= × × = . 2 2 3 2 6 1 【答案】 6 ?π π ? 10.(2014·全国大纲高考)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? , ?是减函数,则 a 的取值范围 ?6 2? 是________. 【解析】 f(x)=cos 2x+asin x,∴f′(x)=-2sin 2x+acos x ?π π ? ?π π ? 由已知 f′(x)=-2sin 2x+acos x≤0 在? , ?恒成立,即-4sin xcos x+acos x≤0 在? , ? ?6 2? ?6 2? 恒成立,

?π ,π ?恒成立. ? ?6 2? π ?π ? 令 g(x)=4sin x,∴g(x)min=g? ?=4sin =2. 6 ?6?
即 a≤4sin x 在? ∴a≤2. 【答案】 (-∞,2] 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 2 3 11.(12 分)(2014·济南模拟)在数列{an}中,a1= ,若函数 f(x)=x +1 在点(1,f(1))处的切线过 3 点(an+1,an). 1 (1)求证:数列{an- }为等比数列; 2 (2)求数列{an}的通项公式和前 n 项和公式 Sn. 2 【解】 (1)证明 因为 f′(x)=3x ,所以切线的斜率为 k=3,切点是(1,2),切线方程为 y-2=3(x 3 1 -1)? 3x-y-1=0, 又因为过点(an+1, an), 所以 3an+1-an-1=0, 即 3an+1=an+1 所以 3an+1- =an- ? 2 2 1 an+1- 2 1 1 1 3(an+1- )=an- ? = , 2 2 1 3 an- 2 1 1 即数列{an- }为等比数列,其中公比 q= . 2 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n-1 (2)由(1)得{an- }为公比为 q= ,首项 a1- = - = 的等比数列,则 an- = ·( ) , 2 3 2 3 2 6 2 6 3 1 1 n 1 ∴an= ·( ) + , 2 3 2 1 1 1 1 n Sn= ( + 2+…+ n)+ 2 3 3 3 2 1 1- n 3 n 3n-1 n * = + = n+ (n∈N ). 4 2 4·3 2 12.(12 分)(2014·山东济南一模)已知函数 f(x)=k(x-1)e +x . 1 (1)当 k=- 时,求函数 f(x)在点(1,1)处的切线方程; e 2 (2)若在 y 轴的左侧,函数 g(x)=x +(k+2)x 的图象恒在 f(x)的导函数 f′(x)图象的上方,求 k 的 取值范围; (3)当 k≤-1 时,求函数 f(x)在[k,1]上的最小值 m. 1 1 x 2 x-1 【解】 (1)当 k=- 时,f(x)=- (x-1)e +x ,f′(x)=-xe +2x,f′(1)=1, e e 函数 f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y=x. ? x 2? 2 (2)f′(x)=kx?e + ?<x +(k+2)x,
x
2

?

k?

即 kxe -x -kx<0. x 因为 x<0,所以 ke -x-k>0, x x 令 h(x)=ke -x-k,则 h′(x)=ke -1. 当 k≤0 时,h(x)在(-∞,0)上为减函数,h(x)>h(0)=0,符合题意; 当 0<k≤1 时,h(x)在(-∞,0)上为减函数,h(x)>h(0)=0,符合题意 当 k>1 时,h(x)在(-∞,-ln k)上为减函数,在(-ln k,0)上为增函数,h(-ln k)<h(0)=0,不 合题意. 综上:k≤1.

x

2

? x 2? ? 2? x (3)f′(x)=kxe +2x=kx?e + ?,令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=ln?- ?, ?
k?

? k?

1 ? 2? 令 g(k)=ln?- ?-k,则 g′(k)=- -1≤0,

? k?

k

g(k)在 k=-1 时取最小值 g(-1)=1+ln 2>0,

? 2? 所以 x2=ln?- ?>k. ? k? ? 2? 当-2<k≤-1 时,x2=ln?- ?>0, ? k? f(x)的最小值 m=min{f(0),f(1)}=min|-k,1|=1; 当 k=-2 时,函数 f(x)在区间[k,1]上为减函数,m=f(1)=1; 当 k<-2 时,f(x)的最小值 m=min{f(x2),f(1)},
f(x2)=-2?ln?- ?-1?+?ln?- ??2=x2 2-2x2+2>1,f(1)=1, ? ? k? ? ? ? k?? 此时 m=1. 综上,m=1.
13.. (12 分)(2014·山西联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0), 右顶点为 A, 且|AF| =1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x=4 交于点 Q,问:是否存在一 → → 个定点 M(t,0),使得MP·MQ=0.若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

? ? 2?

? ? ? 2??

x2 y2 a b

【解】 (1)由 c=1,a-c=1,得 a=2,∴b= 3, 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)由?
? ?y=kx+m,
2 2

x2 y2

?3x +4y =12 ? 2 2 2 2 2 2 ∴Δ =64k m -4(3+4k )(4m -12)=0,即 m =3+4k . 2 4km 4k 4k 3 ? 4k 3? 设 P(xp,yp),则 xp=- ,yp=kxp+m=- +m= ,即 P?- , ?. 2=- 3+4k m m m ? m m? ∵M(t,0),Q(4,4k+m), 3? → → ? 4k ∴MP=?- -t, ?,MQ=(4-t,4k+m),

得:(3+4k )x +8kmx+4m -12=0,

2

2

2

m? 3 4k → → ? 4k ? 2 ∴ MP · MQ = ?- -t? ·(4 - t) + ·(4k + m) = t - 4t + 3 + (t - 1) = 0 恒 成 立 , 故 m m ? m ? m
? ?t=1 ? 2 ?t -4t+3=0 ?

?



即 t=1. ∴存在点 M(1,0)符合题意. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题 号.


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