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湖北省武汉市吴家山中学高一数学必修一同步辅导 1.1集合(3课时)

第一章
章前概览

集合与函数概念
列举法 含义与表示 描述法

内容提要: 集合 基本关系 子集

真子集 相等 交集

集 合 与 函 数 概 念

基本运算

并集 补集

函数的定义 函数及其表示 函数的三要素 区间 解析法 函数 函数表示方法 列表法 图象法 定义 单调性 判定方法 应用 函数的基本性质 定义 奇偶性 判定方法 应用

学法指津: 本章是高中学习的起点,学好本章对以后的学习有着重要的意义,在学习中要注意:
1

1.和初中相关的数学知识做好衔接,为新知识的学习做好准备. 2.认真思考,准确理解本章各知识点,注意相近知识的区别. 3.在学习过程中,要养成从实验出发,由感性到理性的学习习惯,逐步培养观察、比 较、抽象、概括的能力,培养科学严谨的学习态度. 4.新课标要求会运用计算机等现代技术工具探索和研究新问题,通过对本章的学习, 探索高中数学的学习方法和数学思想 (如集合思想、 函数思想、 数形结合思想、 转化思想等) .

1.1





1.1.1 集合的含义与表示法
学点:探究与梳理 自主探究 探究问题 1:你能举出生活中的一些集合的例子吗? 探究问题 2:你知道集合的三个特性吗? 探究问题 3:集合有哪些表示法? 重点把握 1.本章的重点是集合的两种表示法——列举法和描述法,应根据不同的具体问题选择 适当的方法. 一般来说, 元素较少的集合常用列举法, 元素较多的集合或无限集常用描述法. 2.在集合的三大特性中,尤其要注意元素的互异性在解题中的应用.做集合题时,其 结果必须考虑并检验元素是否是互异的. 题例:解析与点拨 例 1 用列举法把下列集合表示出来: (1) A ? ? x ? N

? ?

16 ? 2 ? N?; (2) B ? { y y ? ? x ? 6, x ? N , y ? N } ; 9? x ?
2

(3) C ? {( x, y ) y ? ? x ? 6} . 解析: (1)集合 A 中的元素是自然 x, 它必须满足条 件

16 也是自然数,即 9 ? x 为 9? x

,∴A={1,8}. 1,2,4,8,16 ,而 9 ? x ? 16 时, x ? ?7 (舍去) (2)集合 B 中的元素是自然数 y ,它实际上是二次函数 y ? ? x ? 6( x ? N ) 的函数值.
2

(3)集合 C 中的元素是点,这些点必须在二次函数 y ? ? x ? 6( x ? N , y ? N ) 的图象
2

上.
2

点拨:对于用特征性质描述给出的集合,首先要清楚集合中的代表元素是什么,元素满 足什么条件,才能确定这个集合是由什么样的元素组成的,具有何种性质.

例 2 已知集合 A ? {x ? R ax ? 2 x ? 1 ? 0} ,其中 a ? R, 若集合 A 中有两个元素,求
2

a 的取值范围.
解析:?集合 A 中有两个元素,∴关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数
2

根. ∴?

?a ? 0 ,解得 a ? 1 且 a ? 0 ,∴ a 的取值范围为 {a a ? 1, 且 a ? 0} . ?? ? 4 ? 4a ? 0

点拨:此题中“ a ? 0 ”这种情况最容易被忽略,只有在“ a ? 0 ”的条件下,关于 x 的 方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 才是一元二次方程,才能用“ ? ”来判断根的个数,另外,一元二次
2

方程有两个相等的实根时,在其解集中只能算一个元素. 例 3 已知 x ? {1,0, x} ,求实数 x 的值.
2

解析:若 x ? 0, 则 x ? 0 ,此时集合为 {1,0,0} ,不符合集合元素的互异性,舍去;
2

若 x ? x, 则 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 ,同理可知, x ? 1 不符合题意,舍去;
2

若 x ? 1 ,则 x ? 1 (舍去)或 x ? ?1 .当 x ? ?1 时,集合为 {1,0,?1} 符合题意,
2

综上所述 x ? ?1 . 点拨: 本题利用了集合中元素的确定性和互异性求出集合中变量的值, 注意分类讨论思 想的灵活运用. 学业水平测试 巩固基础 1.下列各式正确的是( A. {0} ? R

) B. ? ?{0} C. ? ? {0} D. ? ? {1}

?

2.给出下列命题: (1)空集没有子集; (2)任何集合至少有两个子集; (3)空集是任何集 合的真子集; (4)若 ? ? A ,则 A ? ? , 其中正确的有(

?

) D.3 个

A.0 个

B.1 个

C.2 个

3. 定义集合 A * B ? {x x ? A, 且 x ? B}, 若 A ? {1,2,3,4,5}, B ? {2,4,5} , 则集合 A* B 的子 集个数为( A.1 ) B.2
3

C.3

D.4

4.已知 M ? {x x ? m ?

1 n 1 p 1 , m ? Z }, N ? {x x ? ? , n ? Z }, P ? {x x ? ? , p ? Z } , 6 2 3 2 6


则集合 M , N , P 的关系是( A. M ? N ? P

?

B. M ? N ? P

?

C. M ? N ? P

?

?

D. N ? P ? M

?

?

5.设全集 I ? {( x, y ) x, y ? R}, 集合 M ? {( x, y)

y ?3 ? 1}, N ? {( x, y) y ? x ? 1}, 那么 x?2

(CI M ) ? (CI N ) 等于(
A. ? 能力提升

) B. {(2,3)} C. (2,3) D. {( x, y ) y ? x ? 1}

6.集合 A ? {x 0 ? x ? 3, 且 x ? N} 的真子集的个数是( A.16 B.8 C.7

) D.4 )

7.已知集合 A ? {1,2,3,4} 且集合 A 中至少有一个奇数,则这样的集合 A 有( A.13 个 B.12 个 C.11 个
2

D.10 个 .

8.已知集合 A ? {?1,3,2m ? 1} ,集合 B ? {3, m } ,若 B ? A, 则实数 m ? 9.若集合 A ? {x x ? x ? 6 ? 0}, B ? {x mx ? 1 ? 0}, 且 B ? A ,求 m 的值.
2

?

10.设 A ? {?1,1} , B ? {x x ? 2ax ? b ? 0} 。若 B ? ? , 且 B ? A, 求实数 a, b 的值.
2

11.向 50 名学生调查对 A, B 两事件的态度,有如下结果,赞成 A 的人数是全体人数的

3 , 5

其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的人数多 3 人,其余的不赞成,另外对 A, B 都不赞成的 学生比对 A, B 都赞成的学生人数的 多少人? 拓展创新 12. A, B 为两个非空数集, 设 定义 A ? B ? {a ? b a ? A, b ? B}, 若 A ? {0,2,5}, B ? {1,2,6}, 则集合 A ? B 的 子集有 个

1 多 1 人,问 A, B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有 3

13. S 是至少含有两个元素的集合, S 上定义了一个二元运算 (即对任意的 a, b ? S , 设 在 “*” 对于有序元素对 (a, b), 在 S 中有唯一确定的元素 a * b 与之对应) ,若对于任意的 a, b ? S 有

a * (b * a) ? b. 则对任意的 a, b ? S , 下列等式中不恒成立的是(
A. (a * b) * a ? a B. [a * (b * a)] * (a * b) ? a



4

C. b * (b * b) ? b

D. (a * b) *[b * (a * b)] ? b

1.1.2 集合的基本关系 1.1.3 集合的基本运算
学点:探究与梳理 自主探究 探究问题1:集合 A 与集合 B 之间存在的哪几种关系? 探究问题2:什么是子集、真子集、空集? 探究问题3:集合间有哪几种运算? 重点把握 1. (1)由子集关系解决有关求字因的值或取值范围的问题,关键是利用 Venn 图或数 轴解决. (2)含有几个元素的集合的子集个数为 2 个,其子集个数为 2 ? 1 个.
n n

2.正确理解子集与真子集的概念. (1)不要把子集说成由原来的集合中的部分元素组成的集合,因为这与“空集是任何 集合的子集”相抵触,也和“ A 是 A 的子集”相矛盾. (2)要注意区分“属于”与“包含于” ,即“ ? ”与“ ? ” . (3)注意数 0,集合 {0} 与空集 ? 的区别. (4)空集是任何非空集合的真子集,即 ? ? A ( A 为非空集合) .

?

(5)任何集合是它本身的子集,即 A ? A . (6)子集,真子集都有传递性,即 若 A? B 且B ?C 则 A? C ; 若 A ? B 且B ? C 则 A ? C .

?

?

?

3. 空集和全集是集合中的特殊集合, 应引起重视, 免误解和遗漏, A ? B, 则 A ? ? 避 若 应优先考虑到. 4.在解子集的综合问题时,首先要注意集合自身的转换,能够用列举法表述的,尽可 能用列举法,这样使集合中的元素清晰明确,使问题简单化;其次,解决这类问题 常用到 分类讨论的方法. 题例:解析与点拨 例 1 已知集合 M 满足 {1,2} ? M ? {1,2,3,4,5} ,写出集合 M .

5

解析:①当 M 中含有两个元素时, M 为 {1,2} . ②当 M 中含有三个元素时, M 为 {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5} . ③当 M 中含有四个元素时, M 为 {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}. ④当 M 中含有五个元素时, M 为 {1,2,3,4,5} . 所以满足条件的集合 M 为:

{1,2}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,4,5} .
点拨:解本题关键是要理解题意,明确子集的含义,另外,要学会分类讨论的数学思想 方法. 例 2 若集合 A ? {x x ? x ? 6 ? 0}, B{x mx ? 1 ? 0} 且 B ? A, 求 m 的值.
2

解析: A ? {x x ? x ? 6 ? 0} ? {?3,2} ,因为 B ? A, 所以方程 mx ? 1 ? 0 的解可以是
2

1 ? 3 或 2 或无解.当 mx ? 1 ? 0 的解为 ? 3 时,由 ? 3m ? 1 ? 0 得 m ? . 3
1 当 mx ? 1 ? 0 的解为 2 时,由 2m ? 1 ? 0 得 m ? ? ;当 mx ? 1 ? 0 无解时, m ? 0 . 2

综上所述 m 的值为

1 1 或 ? 或 0. 3 2

点拨:若已知 B ? A, 则首先要考虑 B ? ? 的情况,因为空集是任何集合的子集,而本 题中当 m ? 0 时, B ? ? , 显然符合题意,注意分类讨论时要做到分类恰当,不重不漏. 例 3 已 知

A ? {x x 2 ? px ? 15 ? 0}, B ? {x x 2 ? ax ? b ? 0},



A ? B ? {2,3,5} , A ? B ? {3} ,
求 p, a, b 的值. 解 析 : ? A ? B ? {3} , ∴ 3 ? A , ∴ 3 是 方 程 x ? px ? 15 ? 0 的 一 根 , ∴
2

33 ? 3 p ? 15 ? 0 ,
∴ p ? 8 ,∴ A ? {3,5} .? A ? B ? {2,3,5} , A ? B ? {3}, B ? {2,3} , ∴由韦达定理可知 a ? 2 ? 3 , ?b ? 2 ? 3 ,∴ a ? 5, b ? ?6 . 点拨:由条件 A ? B ? {3} ,结合交集定义可知集合 A 、 B 有且仅有一个公共元素是解 决本题的入手点.

6

例 4

已知集合 A ? {x ? k x ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0}, B ? {x ? k x ? 0}. 若 A ? B ? ? , 求
2

实数 a 的取值范围. 解析:设全集 U ? {a ? ? (?4a)2 ? 4(2a ? 6) ? 0} ? {a (a ? 1)(a ? ) ? 0} ? {a a ? ?1 或 a ? } .
2 2 3 3

若方程 x ? 4ax ? 2a ? 6 ? 0 的两根 x1 , x2 均非负.
2

?a ? U ? 则 ? x1 ? x 2 ? 4a ? 0 , ? x x ? 2a ? 6 ? 0 ? 1 2
{a a ? ?1} ,

∴a?

3 3 . ? 在 全 集 ? 中 集 合 {a a ? } 的 补 集 为 2 2

∴实数 a 的取值范围为 {a a ? ?1} . 点拨:本题所采用的策略在数学上称为“正难则反” ,实际上是运用补集的思想.对于 一些比较复杂,比较抽象,条件和结论之间关系不明确,难于从正面入手的数学问题,可调 整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,以便化难为易解决问题. 例 5 , 已 知 集 合 且

A{x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0}

B ? {x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0}, C ? {x x 2 ? mx ? 1 ? 0},

A ? B ? A, A ? C ? C, 求 a, m 的值或取值范围.
解析: A ? {1,3}, B ? {x ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? 0} ,

? A ? B ? A , ∴ B ? A. ∴ a ? 1 ? 3 或 a ? 1 ? 1, ∴ a ? 4 或 a ? 2 . 又? A ? C ? C , ∴ C ? A .
若C ?? , 则? ? m ? 4 ? 0,
2 2

∴?2 ? m ? 2.

若 1 ? C ,则 1 ? m ? 1 ? 0 , ∴ m ? 2 ,此时 C ? {1}, A ? C ? C . 若 3 ? C ,则 9 ? 3m ? 1 ? 0 , ∴m ?

10 10 1 ,此时 C ? {3, } 不是 A 的子集. ∴ m ? . 3 3 3

综上所述, a ? 2 或 a ? 4,?2 ? m ? 2. 点拨:本题涉及转化(化归)思想,如 A ? B ? A ? B ? A, A ? C ? C ? C ? A, 还 涉及分类讨论的思想,如对集合 C 的讨论,但不要漏掉空集这一情况. 学业水平测试

7

巩固基础: 1.设 M ? {x x ? 4} , a ? 15 , 则下列结论正确的是( A. {a} ? M ) D. a ? M )

?

B. a ? M

C. {a} ? M

2.设集合 ? ? {1,2,3,4}, A ? {1,2}, B ? {2,4}, 则 CU ( A ? B) ? ( A. {2} B. {3} C. {1,2,4}

D. {1,4}

3.下列四个推理:① a ? ( A ? B) ? a ? A ;② a ? ( A ? B) ? a ? ( A ? B) ; ③ A ? B ? A ? B ? B ;④ A ? B ? A ? A ? B ? B. 其中正确的个数为( A.1
2



B.2
2

C.3

D.4 )

4.若 A ? {x x ? 1}, B ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0}, 则 A ? B ? ( A. {3} B. {?1,1,3} C. ?

D. {?1}

5. 已知全集 U ? {0,2,4,6,8,10} ,集合 A ? {2,4,6} ,集合 B ? {0,1} ,则 (CU A) ? B 等于 ( ) B. {1,2,4,6}
2 2

A. {0,1,8,10}

C. {0,8,10}

D. ? )

6. M ? {2,3, a ? 1}, N ? {a ? a ? 4,2a ? 1, }若 M ? N ? {2}, 则 a 的取值集合是 设 ( A. {?3,

1 ,2} 2

B. {?3}

C. { ,?3}

1 2

D. {?3,2}

能力提高:

1 ? 2, x ? R} 非空集合 B 满足 ( A ? B) ? ( A ? B), 则有 CR B ? ( x 1 1 1 1 A. {x 0 ? x ? } B. { x x ? 0 或 x ? } C. {x x ? } D. {x x ? } 2 2 2 2
7.若集合 A ? {x 8.设全集 U ? R, B ? {x x ? a ? 0}, A ? {x x ? 1}, B ? CU A, 求实数 a 的取值范围.



?

9. 设集合 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0}, 其中 a ? k.
2 2 2

( 1)如果 A ? B ? B, 求实数 a 的取值范围; (2)如果 A ? B ? B, 求 a 的值. 10.设集合 A ? {a , a ? 1,?3} , B ? {a ? 3, a ? 1, a ? 1}, A ? B ? {?3} ,求实数 a .
2 2 2

拓展创新: 11 . 设 全 集 ? 为 R , A ? {x x ? px ? 12 ? 0} , B ? {x x ? 5 x ? 9 ? 0}, 若
2 2

(CU A) ? B ? {2}, A ? (CU B) ? {4}, 求 A ? B.

8

12.已知 A ? {x x ? 2 x ? 8 ? 0}, B ? {x x ? 5 x ? 6 ? 0}, C ? {x x ? ax ? a ? 19 ? 0} ,
2 2 2 2

若 A ? C ? ? , B ? C ? ? , 求实数 a 的值.

9

参考答案 1.1.1 参考答案
学业水平测试 1.D;2.B;3.D;4.B;5.B;6.C;7.B;8.1; 9. A ? {x x ? x ? 6 ? 0} ? {?3 , 2}
2

∵ B ? A ,∴ mx ? 1 ? 0 的解为 ? 3 或 2 或无解.
?

当 mx ? 1 ? 0 的解为 ? 3 时,由 m ? (?3) ? 1 ? 0 得 m ? 当 mx ? 1 ? 0 的解为 2 时,由 m ? 2 ? 1 ? 0 得 m ? ? 当 mx ? 1 ? 0 无解时, m ? 0 . 综上所述, m ? 10.∵ B ? ? ,且 B ? A ∴ B 中 x ? ?1 或 x ? 1或 x1 ? 1 , x 2 ? ?1
2

1 . 3

1 . 2

1 1 或 ? 或 0. 3 2

当 x ? 1时,对 x ? 2ax ? b ? 0 两根 x1 ? x2 ? 1∴ a ? 1
2

b ?1 b ?1
3 ? 30 ,赞成 B 的人数为 5
x ? 1, 3

当 x ? ?1 时,对 x ? 2ax ? b ? 0 两根 x1 ? x2 ? ?1 ∴ a ? ?1 当 x1 ? 1 , x 2 ? ?1 时,对 x ? 2ax ? b ? 0 有 a ? 0
2

b ? ?1

11.如图所示,设 50 名学生为全集 U ,所以赞成 A 的人数为 50 ? 30+3=33 人,

设对 A 、 B 都造成的学生人数为 x ,则对 A 、 B 都不赞成的学生人数为 赞成 A 不赞成 B 的人数为 30 ? x , 赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33 ? x . 所以由题意,得 (30 ? x) ? (33 ? x) ? x ? 所以 x ? 21 ,

x ? 1 ? 50 , 3

x ?1 ? 8 . 3

所以对 A 、 B 都赞成的人数为 21 人,对 A 、 B 都不赞成的有 8 人. 12. 256; 13. A

1.1.2,1.1.3 参考答案
学业水平测试 1.D;2.C;3.C;4.D;5.A;6.C;7.A; 8. A ? {x x ? 1} , Cu A ? {x x ? 1} , B ? {x x ? a ? 0} ? {x x ? ?a} ∴ B ? CU A ∴ ? a ? 1 ∴ a ? ?1 9. A ? {0 , ? 4} (1)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A
?

10

①若 0 ? B ,则 a ? 1 ? 0 , a ? ?1,当 a ? 1 时, B ? A ;当 a ? ?1时, B ? { 0 }
2

②若 ? 4 ? B ,则 a ? 8a ? 7 ? 0 , a ? 7 或 a ? 1 当 a ? 7 时, B ? {?12 , ? 4} , B ? A
2
?

③若 B ? ? ,则 ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 , a ? ?1
2 2

由①②③得 a ? 1 或 a ? ?1 (2)∵ A ? B ? B ,∴ A ? B ,∵ A ? {?4 , 0} ,又∵ B 至多只有两个元素, ∴ A ? B ,由(1)知, a ? 1 10.∵ A ? B ? {?3} ,∴ ? 3 ? B (1)当 a ? 3 ? ?3 即 a ? 0 时, A ? {0 , 1 , ? 3} , B ? {?3, ? 1 , 1}

A ? B ? {?3 , 1} ,不合题意,舍去
(2)当 a ? 1 ? ?3 时,即 a ? ?2 无解
2 2

(3)当 a ? 1 ? ?3 时, a ? ?4 无法 综上所述,满足条件的实数 a 不存在. 11.∵ (CU A) ? B = { 2} , 2 ? B ,但 2 ? A
2 2

∴ A ? (CU B). ? { 4 } ,∴ 4 ? A ,但 4 ? B

?4 2 ? 4 p ? 12 ? 0 ,∴ p ? ?7 , q ? 6 . 2 ?2 ? 10 ? q ? 0 ∴ A ? { 3 , 4 } , B ? { 2 , 3 } ,∴ A ? B ? { 2 , 3 , 4 } 12. A ? {?4,2} , B ? {2,3}
∴? ∵ A ? C ? ? , B ? C ? ? , ∴ 2 ? C , 3 ? C ∴ 9 ? 3a ? a ? 19 ? 0 即 a ? 5 或 ? 3
2

当 a ? 5 时 C ? {2,3} 与条件 A ? C ? ? 不符,舍去 当 a ? ?3 时 C ? {?5,2} 符合题意 ∴ a ? ?3

11


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