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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第62课 双曲线 文


第 62 课 双 曲 线
(本课时对应学生用书第 页)

自主学习 回归教材

x2 y 2 1.(选修2-1P46例1改编)双曲线 4 - 3 =1的离心率是
7 【答案】 2
x 2±

,渐近线方程是

.

y 3 =0

2.( 选 修 2-1P47 练 习 3 改 编 ) 经 过 点 (是 .

3

, 6) , 渐 近 线 为 y=±3x 的 双 曲 线 的 方 程

y2 2 【答案】 9 -x =1 y2 2 2 2 【解析】设双曲线方程为y -9x =t,则t=36-27=9,所以双曲线方程为 9 -x =1.
x2 y 2 3.( 选 修 2-1P48 习 题 6 改 编 ) 以 椭 圆 8 + 5 =1 的 焦 点 为 顶 点 、 顶 点 为 焦 点 的 双 曲 线 方 程
为 .

x2 y 2 【答案】 3 - 5 =1
【解析】由题知椭圆焦点坐标为(±

3 ,0),顶点坐标分别为(±2

2 ,0),(0,±

5 ),

x2 y 2 所以双曲线方程为 3 - 5 =1.
4.(选修2-1P41练习2改编)已知双曲线8kx -ky =8的一个焦点为(0,3),那么实数k=
2 2

.

1

【答案】-1

y2 x2 8 1 2 2 【解析】8kx -ky =8,即 - k - - k =1,
8 ?- 1 ? ? ? 所以- k + ? k ? =9,解得k=-1.

1.双曲线的定义、方程及简单几何性质 (1)第一定义:平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为正常数2a(小于 两定点之间的距离2c)的动点的轨迹叫作双曲线. (2)双曲线的定义用代数式表示为|MF1-MF2|=2a,其中2a<F1F2=2c. 定义 (3) 当 MF1-MF2=2a 时,曲线仅表示靠近焦点 F2 的双曲线的一支;当 MF1-MF2=2a时,曲线仅表示靠近焦点F1的双曲线的一支;当2a=F1F2时,轨迹为以F1, F2为端点的两条射线;当2a>F1F2时,动点的轨迹不存在. (4) 第二定义:平面上,到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比等于常数

e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线

图形

标准方程 几 何 性 范围 焦点 顶点

x 2 y2 a 2 - b 2 =1(a>0,b>0)
|x|≥a F1(-c,0),F2(c,0) A1(-a,0),A2(a,0)

y2 x 2 a 2 - b 2 =1(a>0,b>0)
|y|≥a F1(0,-c),F2(0,c) A1(0,-a),A2(0,a)

2



对称性 实、虚轴 长 离心率

关于x轴,y轴轴对称,关于原点中心对称 实轴A1A2=2a,虚轴B1B2=2b

c e= a =双曲线上任意一点到一个焦点F与到这个焦点对应的准线的距离之比

准线方程 渐近线方 程

a2 x=± c
b y=± a x

a2 y=± c
a y=± b x

2.(1)等轴双曲线:实轴和虚轴相等的双曲线叫作等轴双曲线,也叫等边双曲线. (2)等轴双曲线 ? 离心率e=
2

? 两条渐近线垂直(位置关系) ? 实轴长=虚轴长.

b (3)双曲线的离心率与 a =

e2 -1 都是刻画双曲线的开口的宽阔程度的量.

【要点导学】 要点导学 各个击破

求双曲线的标准方程 例1 (1)经过A(2,

6 ),B(- 5 ,2

2 )两点的双曲线的标准方程为

.

x2 y 2 x y 2 2 3 a b (2)若双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为 ,且它的两焦点到直线 a - b =1的距
离之和为2,则该双曲线的方程为 . 【 思 维 引 导 】 第 (1) 问 中 由 于 不 明 确 双 曲 线 的 焦 点 位 置 , 故 设 双 曲 线 方 程 为

mx2+ny2=1(mn<0),用待定系数法求解;第(2)问根据所给几何性质建立方程即可.

3

y2 2 2 2 【答案】(1)x - 2 =1 (2)2x -y =1
?4a ? 6b ? 1, ? 5a ? 8b ? 1, 2 2 【解析】(1)设双曲线方程为mx +ny =1(mn<0),将两已知点坐标代入,得 ? 解
1 得a=1,b=- 2 ,

y2 2 所以双曲线方程为x - 2 =1.
(2)将直线化为bx-ay-ab=0,则双曲线两焦点坐标为(-c,0),(c,0),到该直线的距离

|-bc-ab|?|bc-ab|
之和为

a ?b
2

2

b( a ? c)? b( c- a) 2 2 c =2 , 化 简 得 =2 , 解 得 b=1 , 所 以 c -a =1 , 结 合
2 2

c a =

3 ,得a = 2
2

1

,所以双曲线方程为2x -y =1.

【精要点评】(1)求双曲线方程的步骤为:①由题设确定双曲线的中心位置,焦点位置; ②设其方程;③求基本量a,b,c.(2)涉及双曲线上的点到其焦点的距离时,应首先运用双曲 线的定义 .(3) 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程 (组),但要注意焦点的位置,从而正确地选择方程的形式,要善于利用双曲线的对称性简化作 图步骤和减少运算量.

变式1

(2015?全国卷)已知双曲线过点(4, .

3 ),且渐近线方程为y=± 2

1

x,则该

双曲线的标准方程为

x2 2 【答案】 4 -y =1 x 1 2 【解析】根据双曲线渐近线方程为y=± 2 x,可设双曲线的方程为 4 -y =m,把(4, x2 x2 2 2 代入 4 -y =m,得m=1,所以双曲线的方程为 4 -y =1.
2

3)

4

变式2

已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-

5 ,0),点P在双曲线上,且线
.

段PF1的中点坐标为(0,2),那么此双曲线的方程是

y2 2 【答案】x - 4 =1

x2 y 2 2 2 【解析】设双曲线的方程为 a - b =1,由双曲线的焦点可知 c= 5 ,线段PF1的中点坐
标为(0,2),所以设右焦点为F2,则有PF2⊥x轴,且PF2=4,点P在双曲线右支上, 所以PF1=

(2 5)2 ? 42 =

36 =6,所以PF -PF =6-4=2=2a,
1 2

y2 2 2 2 2 所以a=1,b =c -a =4,所以双曲线的方程为x - 4 =1.

例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.

x2 y 2 18 9 16 (1)与双曲线 =1有共同的渐近线,一条准线为x= 5 .
x2 y 2 (2)与双曲线 9 - 91 =1有公共焦点,实轴长为18.
【思维引导】利用待定系数法求得基本量,从而求出双曲线的方程.

x 2 y2 【解答】(1)由已知条件可设双曲线的方程为 9 ? - 16? =1(λ >0). 9? 18 该双曲线的右准线方程为x= 5 ? = 5 ,所以λ =4, x2 y 2 所以所求双曲线的标准方程为 36 - 64 =1. x2 y 2 (2)双曲线 9 - 91 =1的焦点为(-10,0),(10,0),
因为双曲线的实轴长为18,所以a=9,c=10,

5

x2 y 2 所以双曲线的标准方程为 81 - 19 =1.

变式 求满足下列条件的双曲线的标准方程:

x2 y 2 (1)与双曲线 9 - 16 =1有共同的渐近线,且过点(-3,4 3 ). x2 y 2 (2)与双曲线 9 - 7 =1有相同焦点,且过点(2 3 ,2).
(3)过点(3,-2),且与椭圆4x +9y =36有相同的焦点.
2 2

x2 y 2 【解答】(1)由题可设所求双曲线方程为 9 - 16 =λ ,
因为双曲线过点(-3,4

3 ),

9 48 所以λ = 9 - 16 =-2,

y 2 x2 所以所求双曲线的标准方程为 32 - 18 =1. x2 y 2 (2) 因为双曲线 9 - 7 =1 的焦点为 F1(-4 , 0) , F2(4 , 0) ,又所求双曲线过点 (2 3 ,
2), 所以2a=|

(2 3 ? 4)2 ? 4 - (2 3-4)2 ? 4 |

? 3 ? 1 3-1 ? ? ? 2 - 2 ? ? 2 ? 3 23 ? =4 =4( )=4? ?
所以a=2
2 ,于是b2=16-8=8,

2,

x2 y 2 所以所求双曲线的标准方程为 8 - 8 =1.
(3)由题意知,椭圆4x +9y =36的焦点为(±
2 2

5 ,0),即c= 5 ,

6

x2 y 2 2 2 所以设所求双曲线的方程为 a - 5-a =1,
因为双曲线过点(3,-2),

9 4 2 2 2 2 所以 a - 5-a =1,解得a =3或a =15(舍去).

x2 y 2 故所求双曲线的方程为 3 - 2 =1.

双曲线的几何性质

x2 y 2 2 2 例3 (1)已知双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为30°的
直线与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线的离心率是 .

x2 y 2 2 2 2 (2)若双曲线 a - 3 =1的一条渐近线被圆 (x-2) +y =4所截得的弦长为 2,则该双曲线的
实轴长为 .

b 【思维引导】(1)根据平行关系得到 a =tan 30°,再转为e的表达式;(2)先求出圆心到
渐近线的距离,再用弦心距、半弦长、圆半径的关系列出关于a的方程.

2 3 【答案】(1) 3

(2)2

3 b 【解析】(1)依题意,可知 a =tan 30°= 3 ,
b 又a =

3 2 3 e -1 ,所以 e -1 = 3 ,解得e= 3 .
2 2

(2) 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为

3

x-ay=0 , 圆 的 半 径 r=2 , 圆 心 到 渐 近 线 的 距 离 为

? 2 3 2 3 ? ? 3 ? a2 2 3 ? a d= ,依题意有 ?

? ? ? ? +1=4,解得a=1,所以双曲线的实轴长为2a=2.

2

7

【精要点评】对于双曲线的几何性质,考查较多的是双曲线的离心率、渐近线.求离心率 或离心率的取值范围常用的方法是依据条件列出关于a,c的齐次方程或不等式,再转化为关于

e的方程或不等式求解.求双曲线的渐近线要分清两种情况下的双曲线所对应的渐近线方程.

变式1

y2 2 2 (2016? 苏 北 四 市 期 中 ) 若 双 曲 线 x - m =1(m>0) 的 一 条 渐 近 线 方 程 为
.

x+

3 y=0,则实数m=
3 【答案】 3

3 3 m 【解析】由题意知 1 = 3 ,得m= 3 .

变式 2

(2015?江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x -y =1右支上的一个动 .

2

2

点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为

2 【答案】 2
【解析】设P(x,y)(x≥1),因为直线x-y+1=0平行于渐近线x-y=0,所以c的最大值为直

1 2 线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间距离,为 2 = 2 .

双曲线定义的应用

x2 y 2 2 2 例4 设F1,F2是双曲线 a - b =1 (a>0,b>0)的左、右两个焦点, l为左准线,离心
? 28 ? 3 ? - ,m ? ? 是左支上一点,P到l的距离为d,且d,PF1,PF2成等差数列,求此双曲 率e= 2 ,P ? 3
线的方程.

8

【思维引导】本题主要考查双曲线的第一定义、第二定义,要能运用统一定义解决双曲 线上一点与焦点的距离,将点距转化为点线距.

2 【解答】由双曲线的第二定义知d= 3 PF1,PF1=-(ex0+a)=14-a,PF2=-(ex0-a)=14+a,由已
2 知得d+PF2=2PF1,即 3 (14-a)+(14+a)=28-2a,解得a=2,c=3,b=

5,

x2 y 2 故双曲线的标准方程为 4 - 5 =1.
【精要点评】发挥双曲线的定义在解题过程中的作用,有利于学生巩固对定义的理解.

x2 y 2 变式1 设F1,F2是双曲线 16 - 20 =1的两焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离
等于9,则点P到焦点F2的距离等于 【答案】17 【解析】由双曲线的定义知:|PF1-PF2|=2a=8,又因为PF1=9,所以PF2=1或17,即点P到焦 点F2的距离等于1或17.因为曲线上的点到焦点的距离最小为6-4=2, 故1应舍去. .

变式2

已 知 双 曲 线 x -y =1 , 点 F1 , F2 为 其 两 个 焦 点 , 点 P 为 双 曲 线 上 一 点 , 若 .

2

2

PF1⊥PF2,则PF1+PF2= 【答案】2

3

【解析】不妨设点P在双曲线的右支上, 因为PF1⊥PF2, 所以(2
2 )2=P F1 +P F2 ,
2

2

2

又因为PF1-PF2=2,所以(PF1-PF2) =4, 可得2PF1?PF2=4, 则(PF1+PF2) =P 所以PF1+PF2=2
2

F12 +P F22 +2PF ?PF =12,
1 2

3.

9

x2 2 2 1.(2015?北京卷)若双曲线 a -y =1(a>0)的一条渐近线为 3 x+y=0,则实数a=
3 【答案】 3

.

x2 1 2 2 【解析】双曲线 a -y =1(a>0)的渐近线方程为y=± a x, 3 x+y=0 ? y=- 3 x.因为a>0,则
1 - a =-

3 3 ,a= 3 .

x2 y 2 2.双曲线 4 - 12 =1的焦点到渐近线的距离为
【答案】2

.

3

x2 y 2 【解析】由 4 - 12 =1知一条渐近线方程为 y= 3 x,一个焦点坐标为(4,0),从而焦点到渐
4? 3
近线的距离d=

( 3) 2 ? 1

=2

3.

x2 y 2 5 2 2 3.(2015?广东卷改编)已知双曲线C: a - b =1的离心率e= 4 ,且其右焦点为F2(5,0),那
么双曲线C的方程为 .

x2 y 2 【答案】 16 - 9 =1
c 5 2 2 a 【解析】因为所求双曲线的右焦点 F2(5 , 0) 且离心率为 e= = 4 ,所以 c=5 , a=4 , b =c -

a2=9,

10

x2 y 2 所以所求双曲线方程为 16 - 9 =1.

x2 y 2 2 2 4.(2014?无锡期末)若双曲线 a - b =1(a>0,b>0)右支上一点P到左焦点的距离是其到右准
线距离的6倍,则该双曲线离心率的取值范围为 【答案】(1,2]∪[3,6) .

x2 y 2 2 2 【解析】记双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,设点P到右准线的距离为
d,则由题意得点P到左焦点的距离为PF1=6d,由于PF1-PF2=2a,

2a 6 d -2 a c 所以PF2=6d-2a,所以 d = a ,所以d= 6 a -c .
? 2a 2 a2 ? a , ? a2 c ? 6a-c ? 又因为d≥a- c ,所以 ?6a-c ? 0,
c a 解得c≤2a或6a>c≥3a,又因为e= ,e>1,
所以e的取值范围是(1,2]∪[3,6).

2

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第123~124页.

【检测与评估】 第62课 双 曲 线 一、 填空题

y2 2 1.(2014?苏州暑假调查)已知双曲线x - m =1(m>0)的离心率为2,那么m的值为

.

11

x2 y 2 2.双曲线 16 - 9 =1的两条渐近线方程为

.

y2 2 2 3.(2015?北京卷)已知点(2,0)是双曲线x - b =1(b>0)的一个焦点,则实数b=

.

5 4. 若 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 , 虚 轴 长 为 12 , 离 心 率 为 4 , 则 双 曲 线 的 标 准 方 程
为 .

x2 y2 2 5. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 若 双 曲 线 m - m ? 4 =1 的 离 心 率 为 5 , 则 实 数 m 的 值
为 .

x2 y 2 2 2 6. 已知双曲线 C: a - b =1 的焦距为 10, P(2 , 1) 在双曲线 C 的渐近线上,则双曲线 C 的方程
为 .

y2 2 7.已知F1,F2是双曲线x - 24 =1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3PF1=4PF2,则△PF1F2的面
积等于 .

x2 y 2 8.若双曲线C与椭圆 8 + 4 =1有相同的焦点,直线y= 3 x为双曲线C的一条渐近线,则双曲线
C的方程为 .

二、 解答题 9.已知双曲线的焦点在x轴上,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为 2 . (1)求双曲线的标准方程;

12

(2)写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

10. 已知双曲线的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率 e=

2 ,且过点 (4 , -

10 ).
(1)求该双曲线的方程; (2)若点M(3,m)是该双曲线上一点,求证:MF1⊥MF2; (3)对于(2)中的点M,求△F1MF2的面积.

x2 y 2 2 2 11.已知双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的左、右两个焦点分别为 F1,F2,P是其左支上的一点,
点P到左准线的距离为d. (1)若y= 3 x是该双曲线的一条渐近线,是否存在点P,使得d,PF1,PF2成等比数列?若存在, 求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2)在该双曲线的左支上,使d,PF1,PF2成等差数列的点P存在时,求离心率e的取值范围.

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12. 已 知 F1 , F2 为 双 曲 线 C : x -y =1 的 左 、 右 焦 点 , 点 P 在 C 上 , ∠F1PF2=60° , 则 PF1?PF2= .
2 2

x2 y 2 2 2 13.已知双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线
在第一象限的交点为P.若∠PF1F2=30°,则该双曲线的离心率为 .

【检测与评估答案】 第62课 双 曲 线

13

c 1? m 2 2 1 =2,解得m=3. 1.3 【解析】由题意得a =1,b =m,c= 1 ? m ,而e= a = 3 2.y=± 4 x

3. 3

2 2 2 【解析】由题意知c=2,a=1,b =c -a =3,所以b= 3 .

x2 y2 x2 y 2 2 2 4. 64 - 36 =1 【解析】由题意设所求双曲线的方程为 a - b =1,则有
? a ? 8, ? ?b ? 6, ?c ? 10. ?

? 2b ? 12, ?c 5 ? ? ? , ? a2 4 2 2 ? ?a ? b ? c ,

解得

x2 y2 所以焦点在x轴上的双曲线方程为 64 - 36 =1.

5.2 【解析】根据题目条件知双曲线的焦点位于x轴上(否则不成立),因此m>0.由离心率公式

m ? m2 ? 4 m 得 =5,解得m=2.

x2 y2 x2 y 2 2 2 2 2 6. 20 - 5 =1 【解析】因为双曲线 a - b =1的焦距为10,所以c=5= a ? b

①.

b 2b 又双曲线的渐近线方程为y=± a x,且点P(2,1)在渐近线上,所以 a =1,即a=2b ②.由
①②解得a=2 5 ,b= 5 .

x2 y2 所以双曲线C的方程为 20 - 5 =1.

14

7.24 【解析】由P是双曲线上的一点和3PF1=4PF2,可知PF1-PF2=2,解得PF1=8,PF2=6.又

1 F1F2=2c=10,所以△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的面积S= 2 ?6?8=24.

y2 x2 y 2 x2 y 2 2 2 2 8.x - 3 =1 【解析】设双曲线的方程为 a - b =1(a>0,b>0),由椭圆方程 8 + 4 =1,求
得两焦点为(-2,0),(2,0),所以在双曲线C中,c=2 ①.又y= 3 x为双曲线C的一条渐近

b 线,所以 a = 3

y2 2 2 2 ②,由①②解得a =1,b =3.所以双曲线C的方程为x - 3 =1.

x2 y 2 2 2 9.(1) 依题意可设双曲线的方程为 a - b =1(a>0,b>0),则2a=2,所以a=1.
设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线的方程为bx-ay = 0,

y2 2 2 2 则焦点到渐近线的距离d= a ? b =b= 2 ,所以双曲线的方程为x - 2 =1.
(2) 双曲线的实轴长为2,虚轴长为2 2 ,焦点坐标为(- 3 , 0),( 3 , 0),离心率为

|bc|

3 ,渐近线方程为y=± 2 x.

2 2 10. (1) 因为e= 2 ,所以c= 2 a ? a=b,所以可设双曲线的方程为x -y =λ ,将点A(4,-

10 )代入得λ =6,所以双曲线的方程为x2-y2=6.
(2) 点M(3,m)代入双曲线方程得m =3. 又F1(-2 3 ,0),F2(2 3 ,0),
2

????? MF2 3 所以 =(-2 -3,-m), =(2 3 -3,-m), ???? ? ????? MF1 MF2 则 ? =(-2 3 -3)(2 3 -3)+m2=-3+m2=0,所以MF1⊥MF2.

???? ? MF1

1 1 S? F1MF2 2 (3) = ?F1F2?|m|= 2 ?4 3 ? 3 =6.

15

c 2 2 2 2 2 2 11.(1) 因为渐近线方程为y= 3 x,所以b =3a ,c =a +b =4a ,所以e= a =2.假设存在点P(x,y) PF1 PF2 -2 x ? a F =d?PF2,PF1=-2x-a,PF2=-2x+a,所以 d = PF1 = -2x-a =2,解 在左支上,则x<-a.由P
2 1

? 3 15 ? 3 a , ? a? ? ? 2 ? 2 ?. 得x=- 2 a<-a,所以存在点P,其坐标为 ?

PF1 (2) 因为d,PF1,PF2成等差数列,所以PF2-PF1=PF1-d=2a.因为 d =e,所以PF1=ed,即(ea2 2a 2 1)d=2a,故d= e-1 ≥a- c ,所以2c≥(c-a)(e-1),即e -4e+1≤0,解得2- 3 ≤e≤2+ 3 .又
e>1,所以e的取值范围为(1,2+ 3 ].

PF12 ? PF22 -F1F22 2 PF1 ? PF2 12.4 【解析】由余弦定理得cos∠F1PF2= ,所以cos
2 2 (PF1 -PF2 )2 ? 2PF1 ? PF2 -F1F22 1 2 ? 2 PF1 ? PF2 -(2 2) 2 PF1 ? PF2 2PF1 ? PF2 60°= ,即 2 = ,即PF1?PF2=4.

13. 3 +1 【解析】由题意得PF1⊥PF2,F1F2=2c,在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°,所以

c PF1= 3 c,PF2=c.由双曲线定义知2a=PF1-PF2= 3 c-c,所以双曲线的离心率e= a = 3 +1.

16


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