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高中数学北师大版必修4学案:2.3.2 平面向量基本定理 含解析

3.2 平面向量基本定理 1.了解平面向量基本定理及其意义.(重点) 2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题.(难点) [基础· 初探] 教材整理 平面向量基本定理 阅读教材 P85~P86“例 4”以上部分,完成下列问题. 如果 e1,e2(如图 2-3-7①)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 一平面内的任一向量 a,存在唯一一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2(如图 2-3 -7②),其中不共线的向量 e1,e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 图 2-3-7 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面向量的一组基底 e1,e2 中可以有一个向量为零向量.( (2)任意两个向量都可以作为基底.( ) ) (3)平面向量的基底不是唯一的.( (4)零向量不可作为基底中的向量.( 【解析】 ) ) (1)×,因为零向量与任何向量均共线. (2)×,两不共线的向量才可作为平面的一组基底. (3)(4)均正确. 【答案】 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ (1)× (2)× (3)√ (4)√ [小组合作型] 平面向量基本定理 的理解 如果 e1,e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,λ,μ 是实数,判断下 列说法是否正确,并说明理由. (1)若 λ,μ 满足 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0; (2)对于平面 α 内任意一个向量 a,使得 a=λe1+μe2 成立的实数 λ,μ 有无 数对; (3)线性组合 λe1+μe2 可以表示平面 α 内的所有向量; (4)当 λ,μ 取不同的值时,向量 λe1+μe2 可能表示同一向量. 【精彩点拨】 【自主解答】 根据平面向量基本定理的内容来判断. μ (1)正确.若 λ≠0,则 e1=-λe2,从而向量 e1,e2 共线, 这与 e1,e2 不共线相矛盾,同理可说明 μ=0. (2)不正确.由平面向量基本定理可知 λ,μ 唯一确定. (3)正确.平面 α 内的任一向量 a 可表示成 λe1+μe2 的形式,反之也成立. (4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知,当 λe1 和 μe2 确定后,其 和向量 λe1+μe2 便唯一确定. 1.对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示;反之,平面内 的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式. 2.向量的基底是指平面内不共线的向量,事实上,若 e1,e2 是基底,则必 有 e1≠0,e2≠0,且 e1 与 e2 不共线,如 0 与 e1,e1 与 2e1,e1+e2 与 2(e1+e2) 等均不能构成基底. [再练一题] 1.设 e1,e2 是不共线的两个向量,给出下列四组向量: ①e1 与 e1+e2;②e1-2e2 与 e2-2e1;③e1-2e2 与 4e2-2e1;④e1+e2 与 e1-e2.其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________.(写出 所有满足条件的序号) ? ?λ=1, ①中,设 e1+e2=λe1,则? ? ?1=0, 【解析】 无解, ∴e1+e2 与 e1 不共线,即 e1 与 e1+e2 可作为一组基底; ②中,设 e1-2e2=λ(e2-2e1), ? ?1+2λ=0, 则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,则? ? ?2+λ=0, 无解, ∴e1-2e2 与 e2-2e1 不共线,即 e1-2e2 与 e2-2e1 可作为一组基底; 1 ③中,∵e1-2e2=- (4e2-2e1), 2 ∴e1-2e2 与 4e2-2e1 共线,即 e1-2e2 与 4e2-2e1 不可作为一组基底; ④设 e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0, ? ?1-λ=0, ∴? ? ?1+λ=0, 无解. ∴e1+e2 与 e1-e2 不共线,即 e1+e2 与 e1-e2 可作为一组基底. 【答案】 ③ 运用基底表 示向量 如图 2-3-8,梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2CD,M,N 分 → → → → → 别是 DC 和 AB 的中点,若AB=a,AD=b,试用 a,b 表示DC,BC,MN. 图 2-3-8 【精彩点拨】 的关系. 【自主解答】 如图所示,连接 CN,则四边形 ANCD 是平行四边形. 利用三角形法则或平行四边形法则,寻找所求向量与 a,b → → 1→ 1 则DC=AN= AB= a; 2 2 1 → → → → 1→ BC=NC-NB=AD- AB=b- a; 2 2 → → → → 1→ MN=CN-CM=-AD- CD 2 ? ? → 1? 1 → ? 1 - AB =-AD- ? = a-b. 2? 2 ? ? 4 利用基底表示未知向量, 实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行 线性运算,解决此类问题时,要仔细分析所给图形,借助于平面几何知识的向量 共线定理及平面向量基本定理解决. [再练一题]

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