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平面向量定义及线性运算练习题


平面向量定义及线性运算练习题
一.选择题 1、下列说法正确的是( ) A、数量可以比较大小,向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若 | a |?| b | ,则 a ? b ; ③若 AB ? DC ,则四边形 ABCD 是平行四边形; ④平行四边形 ABCD 中,一定有 AB ? DC ; ⑤若 m ? n , n ? k ,则 m ? k ;⑥ a ? b , b ? c ,则 a ? c . 其中不正确的命题的个数为( )A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个

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3、设 O 是正方形 ABCD 的中心,则向量 AO, BO, OC, OD 是( ) A、相等的向量 C、有相同起点的向量 4、判断下列各命题的真假: (1)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等; (2)向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; (3)两个有共同起点的而且相等的向量,其终点必相同; (4)两个有共同终点的向量,一定是共线向量; (5)向量 AB 和向量 CD 是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上; (6)有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为( A、2 个 B、3 个 ) C、4 个 D、5 个 B、平行的向量 D、模相等的向量

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5、若 a 为任一非零向量, b 为模为 1 的向量,下列各式:①| a |>| b | ③| a |>0 A、①④

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②a ∥b

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④| b |=± 1,其中正确的是( B、③ C、①②③ )

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) D、②③

6、下列命中,正确的是( A、| a |=| b | ? a = b

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B、| a |>| b | ? a > b

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C、 a = b ? a ∥ b

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D、| a |=0 ? a =0 ( )

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7. a 、 b 为非零向量,且 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 A. a 与 b 方向相同 C. a ? ? b B. a ? b D. a 与 b 方向相反

8 .设 ( AB ? CD) ? ( BC ? DA) ? a ,而 b 是一非零向量,则下列各结论:① a // b ;②

???? ??? ?

???? ????

a ? b ? a ;③ a ? b ? b ;④ a ? b ? a ? b ,其中正确的是
A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 9.在△ABC 中,D、E、F 分别 BC、CA、AB 的中点,点 M 是△ABC 的重心,则





MA ? MB ? MC 等于
A. O B. 4 MD C. 4 MF

( D. 4 ME



10.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是 A. | a | ? | b |?| a ? b | C. | a | ? | b |?| a ? b | B. | a ? b |?| a ? b | D. | a | ? | b |?| a ? b | ( D. 以上都不对





11.若 a ? b ? c 化简 3(a ? 2b) ? 2(3b ? c ) ? 2(a ? b) A. a B. b C. c



12.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C) ,则 AP =(

????



???? ???? A. ? ( AB ? AD).? ? (0,1)
???? ???? C. ? ( AB ? AD).? ? (0,1)
13.在矩形 ABCD 中, AB ? (A)2 14.下面给出四个命题:

???? ???? B. ? ( AB ? BC ).? ? (0, 2 ) 2

???? ???? 2 D. ? ( AB ? BC ).? ? (0, ) 2

3 , BC ? 1 ,则向量 ( AB ? AD ? AC) 的长等于(
(C)3 (D)4



(B) 2 3

① 对于实数 m 和向量 a 、 b 恒有: m(a ? b) ? m a ? m b ② 对于实数 m 、 n 和向量 a ,恒有 (m ? n)a ? m a ? na ③ 若 ma ? mb(m ? R) ,则有 a ? b ④ 若 ma ? na(m, n ? R, a ? 0) ,则 m ? n 其中正确命题的个数是( ) (A)1 (B)2

(C)3

(D)4

二.填空题 15.已知 | OA |?| a |? 3 , | OB |?| b |? 3 ,∠AOB=60 ? ,则 | a ? b |? __________。 16.当非零向量 a 和 b 满足条件 时,使得 a ? b 平分 a 和 b 间的夹角。
C F A D E B

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15.如图,D、E、F 分别是 ? ABC 边 AB、BC、CA 上的 中点,则等式: ① FD ? DA ? AF ? 0 ③ DE ? DA ? BE ? 0

???? ??? ? ???? ???? ??? ? ????

② FD ? DE ? EF ? 0 ④ AD ? BE ? AF ? 0

???? ???? ????

???? ???? ????

其中正确命题是_____________。 17. 若向量 x 、 y 满足 2 x ? 3 y ? a, 3 x ? 2 y ? b ,a 、b 为已知向量, 则 x =__________;

y =___________。
18.已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC ? a ,CA ? b , AB ? c , 则下列各式: ① EF ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 1 c ? b ;② BE ? a ? b ;③ CF ? ? a ? b ;④ AD ? BE ? CF ? 0 2 2 2 2 2



其中正确的等式的个数为________ 。 19.已知 A、B、C 三点不共线,O 是△ABC 内的一点,若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是△ ABC 的 三.解答题 。 (填重心 、垂心、内心、外心之一)

??? ? ??? ? ????

b 表示 20.在 ? ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,用 a、

??? ?

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? ????

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???? ? ???? ???? BN、 MN、 DN .

21.如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知

AB =a, AD =b,试用 a,b 表示 BC 和 MN .

22.在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,DE 交 AF 于 H,记 AB 、 BC 分 别为 a 、 b ,用 a 、 b 表示向量 AH 、 EH 、 CH 。
A H F B E C D

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