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高中数学 2.2.1对数与对数运算1课件 新人教A版必修1


2.2.1对数与对数运算(1)

课时安排

周六 2节 对数定义 性质及运算 周日 2节 对数的换底公式及应用 周一 晚自习 检查《成才之路》

对数及其运算(1,2课时 课时) 对数及其运算 课时
1.对数的定义 对数的定义. 对数的定义

学 2.对数的基本性质 对数的基本性质. 对数的基本性质 习 3.对数恒等式 对数恒等式. 对数恒等式 内 4.常用对数、自然对数的概念. 常用对数、 常用对数 容
5.对数的基本运算

引入: 引入:

回顾指数
22 = 4

25 = 32

2x

= 26

X=

引入: 引入:
问题: 问题 : 设 2005年我国的国民生产总 年我国的国民生产总 亿元, 值为 a亿元,如每年平均增长 亿元 如每年平均增长8%,那么 , 经过多少年国民生产总值是2005年的 倍? 年的2倍 经过多少年国民生产总值是 年的 设 : 经过 年国民生产总值是 经过x年国民生产总值是 年国民生产总值是2005年的 年的2 年的 x 倍,则有 a 1+ 8% = 2a x 即 1 08 = 2 . x =?

(

)

这是已知底数和幂的值,求指数的问题。 这是已知底数和幂的值,求指数的问题。 b 已知a 即指数式 a能否用一个式子 和N.求b的 求 的 = N 中,已知 把表示出来吗? 问题。( 把表示出来吗 1 。(这里 问题。(这里 a > 0且 ≠? ) a

定义:一般地,如果 的b次幂等于N, 就是

a(a > 0, a ≠ 1)
,那么数 b叫做

a =N
b

以a为底 N的对数,记作 log a N = b a叫做对数的底数,N叫做真数。

log a N=b ↓↓ ↓↓ ↓ ↓ 底数
b =N a
指数 幂

底数 真数 对数

比较指数式、根式、对数式: 比较指数式、根式、对数式:
表 达形式

a

b

N

对应的运算

ab=N
b

底数 方根 底数

指数



乘方, 乘方, 由a,b求N , 求 开方, 开方, N,b求 由N,b求a 对数, 对数, 由a,N求b , 求

N =a

根指数 被开方数 对数 真数

logaN=b

(1)开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。 )开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。 (2)弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键 )

2.对数的基本性质: 2.对数的基本性质: 对数的基本性质
①零和负数没有对数. 零和负数没有对数

(在loga N = b中 a > 0, a ≠ 1, N > 0 , )
②loga1=0
③logaa=1

Q

几点说明: 几点说明: 1.在对数式中 N > 0 . 负数与零没有对数) (负数与零没有对数) 2.对任意 a > 0且a ≠ 1 , 都有a0 = 1 . 同样易知: ∴ loga 1 = 0同样易知:loga a = 1 b 3.如果把 a = N中的 b写成loga N , . 写成 则有 aloga N = N 对数恒等式) (对数恒等式)

3.对数恒等式 3.对数恒等式: 对数恒等式

a

loga N

=N
b

证明:设 a = N 证明:

? b = log a N

?a

log a N

=N

介绍两种特殊的对数: 1.常用对数:以10作底 log10 N写成 lg N .常用对数: 作底 2.自然对数:以 e作底 e为无理数, .自然对数: 为无理数, 作底 为无理数 e = 2.71828……

loge N 写成

ln N

对数式与指数式的互换, 对数式与指数式的互换,并由此求某些特殊 的对数

4 = 16
2

化为对数式

log4 16 = 2

102 = 100

化为指数式

log10 100 = 2
1 log4 2 = 2

4 =2
10 = 0.01
?2

1 2

化为对数式 化为指数式

log10 0.01 = ?2

例题讲解 例题1:将下列指数式写成对数式: 例题 :将下列指数式写成对数式:

(1)
(2)

5 = 625
4

log5 625 = 4
1 log2 = ?6 64

2

?6

1 = 64

(3)
(4)

3 = 27
a

log3 27 = a
log1 5.73 = m
3

? 1? ? ? = 5.73 ? 3?

m

例题讲解 例题2:将下列对数式写成指数式: 例题 :将下列对数式写成指数式:

(1)log1 16 = ?4
2

? 1? ? ? ? 2?

?4

= 16
7

(2)log2 128 = 7
(3)lg 0.01 = ?2

2 = 128

10 = 0.01

?2

(4) ln10 = 2.303

e

2.303

= 10

例题讲解

1 例3 ( ) log9 27 解:设 x = log9 27

求对数 求对数 则

9 = 27,
x

3 =3
2x

3

(2) log3
解:设 即 ∴

x = log3
x =3

5

4

625
5

3 ∴ x= 2

625 4
4

则 ∴

x
3

5

4

= 625,

5

4 x 3

= 625 = 5 ,

4 x =4 3

例题讲解

2 的值: 例4.求x的值: log64 x = ? . 的值 3


解:∵


2 log64 x = ? 3

求真数
2 ? 3 2 ? 3

x = 64
=4

= (4 )

3

?2

1 = 16

例题讲解



log x 8 = 6
1 6 1 6

解: ∵ log 8 = 6,又∵ x?0 x
∴ ③

x =8
2

= (2 ) = 2
2

3

解: ∵ ?ln
∴ ∴

?lne = x

=x e 2 2 ?x lne = ?x, e = e x = ?2.

求对数

课堂练习
1.把下列对数写成指数形式 1.把下列对数写成指数形式 把下列对数写成

(1) 2 = 8 (2) 2 = 32 (3) 2
?1 5

3

log2 8 = 3 log2 32 = 5 1 log 2 = ?1 2 1 1 log 27 = ? 3 3

1 = 2
1 1 ? 3=

(4) 27

3

课堂练习
2.将下列指数式写成对数式:

5 = 625 ? log 5 625 = 4 1 1 ?6 (2) 2 = ? log 2 = ?6 64 64 (3) 3a = 27 ? log 3 27 = a m ?1? (4) ? ? = 5.13 ? log 1 5.13 = m 3 ?3?
(1)
4

a b =N log a N=b ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ 底数 指数 对数
幂 底数 真数

课堂练习 3 求下列各式中 的值 求下列各式中x的值 (1) (2)

2 log 64 x = ? 3 log x 8 = 6

(3) lg100 (4)

=x
2

? ln e = x

课堂练习 4、求 x 的值: 、 (1)

log (2 x

2

?1)

(3x

2

+ 2x ?1 = 1

)

(2)

log 2 [log 3 (log 4 x )] = 0

课堂练习
5 求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

log 5 25 = 2

log 25 25 = 1
lg 10

=1

lg 0.01 = ?2 lg 1000 = 3 lg 0.001 = ?3

课堂练习
6 求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

log 0.5 1 = 0

log 9 81 = 2
log 25 625 = 2 log 3 243 = 5
lg 4 64 = 3

log

2

2 =2

对数运算性质如下: 对数运算性质如下:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么: 且 那么: 如果 那么 (1) (2) (3)

log a (M ? N) = log a M + log a N;

M log = log a M ? log a N; a N
log a M = n log a M (n ∈ R ).
n

例5、计算下列各式 、

(1) log 2 6 ? log 2 3 1 ( 2 ) log 5 3 + log 5 3 2 log 5 2 + log 5 3 (3) 1 1 log 5 10 + log 5 0.36 + log 5 8 2 3

例6 用

表示下列各式: log a x , log a y, log a z 表示下列各式: (2)

(1)

xy log ; a z

log
a

x

2 3

y z

.

求下列各式的值: 例7 求下列各式的值: (1)

log 2 (4 × 2 );
7 5

(2)

lg 100 .

5

探究
你能根据对数的定义推导出下面 的换底公式吗? 的换底公式吗?
log c b (a > 0, 且a ≠ 1; c > 0, 且c ≠ 1; b > 0). log a b = log c a

不要产生下列的错误: 不要产生下列的错误:
(1). log a ( M + N ) = log a M + log a N M log a M (2). log a = N log a N (3). log a ( MN ) = log a M ? log a N (4). log a M = (log a M )
n n

小结: 小结:
1°对数的定义 ° 2°互换(对数与指数会互换 °互换 对数与指数会互换 对数与指数会互换) 3°求值(已知对数、底数、真 数 °求值 已知对数、底数、 已知对数 其中两个,会求第三个) 其中两个,会求第三个)

学习要求: 学习要求:

1.要求理解对数的概念, 要求理解对数的概念, 要求理解对数的概念 2.能够进行对数式与指数式的互化 能够进行对数式与指数式的互化 3.并由此求一些特殊的对数式的值。 并由此求一些特殊的对数式的值。 并由此求一些特殊的对数式的值


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