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四川省成都市高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程课件新人教A必修2_图文

3.2.1 直线的点斜式方程

斜 率:

倾斜角不是90 °的直线,它的倾斜角的 正切叫做这条直线的斜率。 意义:斜率表示倾 直线的斜率通常用 k 表示 斜角不等于90°的 直线对于x轴的倾 即 k ? tan? . 斜程度。 倾斜角是90 °的直线没有斜率。

经过两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)的直线的 斜率公式:
k?
注意两点:

y ?y x ?x
2 2

1

1

①斜率公式与两点的顺序无关, 即两点的纵坐标和横坐标在公 式中的次序可以同时颠倒. ②当 x1=x2 ,y1≠y2(即直线和x轴垂直)时,不能用此公式, 此时倾斜角是90°,直线没有斜率.

方向向量 直线上的向量 P1 P2及与它平行的向量都称 为直线的

? (1,k ) 为

两直线平行与垂直的判断:
对于直线l1: y=k1x+b1 , l2: y=k2x+b2 ,

l1 // l2 ? k1 ? k2 , 且b1 ? b2

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1

1. 点斜式
若直线l 经过点P1(x1, y1),斜率为k , 求直线l 的方程 . 设点P(x, y)是直线l上不同于 点P1的任意一点,则

y?y k? x ?x

1 1

化简为 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) —— 直线方程的点斜式

当直线的倾斜角为0°时, k ? 0. 此时直线的方程是

y ? y1
当直线的倾斜角为90°时,直线没有斜率 此时直线的方程是

x = x1

小 结:
形式 条件 直线方程 应用范围

点斜式 直线过点(x0, y0), 不含与x轴 y ? y0 ? k( x ? x0 ) 垂直的直线 且斜率为k 斜截式 在y轴上的截距 为b,且斜率为k

y ? kx ? b

不含与x轴 垂直的直线

注:在使用这两种形式求解直线方程时,若斜率 存在与否难以确定,应分“斜率存在”和“斜率 不存在”这两种情况分别考虑,以免丢解。

例1 直线l 经过点P1(-2, 3),倾斜角α=45?, 求这条直线的方程,并画出图形。 解:这条直线经过点 P(?2, 3), 斜率为k ? tan450 ? 1
代入点斜式,得

y?3? x?2
即 x? y?5?0 为所求的直线方程, 图形如图所示 .

例2 如图已知直线l 斜率为k,与y轴的交点是P(0, b),

求直线l 的方程。 解:由直线方程的点斜式知直线l 的 方程:

y ? b ? k ( x ? 0),



y=kx+b

为所求的直线方程 .

1. b叫做直线l在y轴上的截距; 说明:
2. y=kx+b ——直线方程的斜截式 .

, 3 )的直线l与两坐标轴分别交于 例3. 过点P(? 1 A、B,线段 AB的中点恰是 P,求直线l 的方程.
解:设 A(a,0 ) , B(0, b) ,

? P(? 1, 3 )是线段 AB的中点 ,
0 ? b ? 3, ? a ? 0 ? ?1, 即 a ? ?2, b ? 6 . 2 2

? k AB ? 6 ? 0 ? 3 , 0 ? ( ?2)

故l的方程为: y ? 3 ? 3( x ? 1),

即 y ? 3 x ? 6.

例4直线l过点P(2, -3),倾斜角比直线y=2x-1的倾斜角大45°, 求直线 l 的方程. 解: 设直线l的倾斜角为α,直线y=2x-1的倾斜角为β,

则 tan? ? 2 , ? ? ? ? 45? , ∴直线l的斜率为 k ? tan ? ? tan(? ? 45?) tan ? ? tan45? ? ? 2 ? 1 ? ?3 1 ? tan ? tan45? 1 ? 2 ? 1
又直线l过点 P(2, -3) , ∴直线 l 的方程为:y ? (?3) ? ?3( x ? 2) 即 y ? ?3 x ? 3 .

例 5.

解:

正方向
即 k ?0.

可设直线 l 方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1) 令 y ? 0, 得 x ? 1 ? 2 即

k 令 x ? 0, 得 y ? 2 ? k 即

A(1 ? 2 , 0) k B(0 , 2 ? k)

S?AOB ? 1 | OA | ? | OB | ? 1 (1 ? 2 )(2 ? k ) 2 k 2 ? 2 ? 1 (? k ? 4 ) 2 ?k

? k ? 0, ? ? k ? 0,
S?AOB ? 2 ? 1 (? k ? 4 ) ? 2 ? 1 ? 2 ( ? k ) ? 4 ? 4 . 2 ?k 2 ?k
当且仅当 ? k ? 4 , 即 k ? ? 2 时, ( S?AOB )min ? 4 .

?k

故所求直线 l 方程为: 即

y ? 2 ? ?2( x ? 1) 2x ? y ? 4 ? 0 .

变式:过 点P( 1, 2 ) 作 直 线 与 两 坐 标 轴半 正轴 相

交 , 当| PA | ? | PB | 最 小 时 , 求 此 直 线 的 程 方.
解:由已知可设直线 l 方程为:
令 令

y ? 2 ? k ( x ? 1) ( k ? 0) y ? 0, 得 x ? 1? 2 即 A(1 ? 2 , 0) k k x ? 0, B(0 , 2 ? k) 得 y ? 2? k 即

2 4 ? 4 ? 2 1 ? 1, | PB | ? k ? 1 , 2 2 k k 2 ?4 2 2? 2 ? | PA | ? | PB | ? 2 12 ? 1 ? k 2 ? 1? 2 2 ? k ? 12 ? k k | PA | ? | PB | 取最小值4 , 当且仅当 k 2 ? 1 , k ? ? 1 即 时, k2

又 P(1, 2) , ? | PA | ?

y?2? 此时所求直线方程为:

即 x? y?3?0. ?( x ? 1) ,

小 结:
形式 条件 方程 应用范围

点斜式

过点( x0,y0), 斜率为k

不含与x轴垂 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 直的直线

斜截式 在y轴上的截距 为b,斜率为k

y ? kx ? b

不含y轴

注:在使用这两种形式求解直线方程时,若斜率 存在与否难以确定,应分“斜率存在”和“斜率 不存在”这两种情况分别考虑,以免丢解。


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