tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学教学论文 柯西不等式在解题中的几点应用

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

柯西不等式在解题中的几点应用
摘要:本文利用怎样运用柯西不等式解题的技巧,介绍了柯西不等式在解等式、不等 式、极值、三角问题等方面的应用。 关键词:柯西不等式、技巧、应用 一、引言 人民教育出版社高中《代数》下册“不等式”一章的习题中有这样一道题(P、15 练习 第 2 题) : 求证:ac+bd ?

a 2 ? b 2 * c 2 ? d 2 这题用比较法是很容易证明的,这里用比值的方法来

证明。 证明:当 a=b=c(或 c=d=0)时,显然成立; 假设 a + b ? 0 且 c + d ? 0,则
2 2 2 2

ac ? bd a2 ? b2 * c2 ? d 2
=

?

ac ? bd a2 ? b2 * c2 ? d 2 bd a2 ? b2 * c2 ? d 2

ac a2 ? b2 * c2 ? d 2

?

=

a2 c2 b2 d2 * ? * a2 ? b2 c2 ? d 2 a2 ? b2 c2 ? d 2
1 ? a2 c2 ? ? 2 2 2? c2 ? d 2 ?a ?b
2 ? 1? d2 ? b ? ? ? ? 2 ? a2 ? b2 c2 ? d 2 ? ?

?
=1

? ? ? ?

故 ac+bd ? ac ? bd ? ac ? bd ?

a2 ? b2 * c2 ? d 2

(1) 式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。 柯西不等式的一般形式为: 对任意的实数 a1 , a2 , ?, an 及b1 , b2 , ?, bn 有

? n ? ? n ?? n ? ? ? ai bi ? ? ? ? ai2 ?? ? bi2 ?, ? i ?1i ? ? i ?1 ?? i ?1 ?


2

(2)

?a b
i ?1

n

i i

?

?a
i ?1

n

2 i

*

?b
i ?1

n

2 i

,

(3)

其中等号当且仅当

a a1 a 2 ? ? ? ? n 时成立(当 bk ? 0 时,认为 ak ? 0,1 ? k ? n). b1 b2 bn

柯西不等式有许多证明方法,这里就不作证明,仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。 一、柯西不等式在解题中的应用 1、 利用柯西不等式证明恒等式
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

利用柯西不等式来证明恒等式, 主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的, 或者 是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。 例、已知 a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ? 1, 求证: a ? b ? 1 。
2 2

证明:由柯西不等式,得

a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ? a2 ? 1 ? a2 b2 ? 1 ? b2 ?1
当且仅当

?

?

???

?

??

b 1? a2

?

1 ? b2 时,上式取等号, a

? ab ? 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 ,
a 2b 2 ? 1 ? a 2 1 ? b 2 ,
于是

?

??

?

a2 ? b2 ?1 。

2、 利用柯西不等式解无理方程(或方程组) 用柯西不等式解无理方程, 是先把方程的 (含有无理式的) 运用柯西不等式化为不等式, 然后结合原方程把不等式又化成等式, 在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性, 得 到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程, 进而得到简单的整式方程, 从而求得原方程 的解。 例:解方程

x2 ?

1 ? x2 x2 ?

?x ? 1?2 ?
1 ? x2

?x ? 1?

1

2

?2? 1

1 x?x ? 1?



解:?

?x ? 1?2 ? ?x ? 1?
1

?x ? 1?2
2

=

x2 ?

1 ? x2

2

? ? x ? 1?

由柯西不等式知

x2 ? ?

1 ? x2

?x ? 1?

1

2

? ?x ? 1?

2

x x ?1 ? x ?1 x

即 x?

x2 ?

1 1 1 ? ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? , 2 2 x( x ? 1) x ( x ? 1)

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

? x2 ? ?2?

1 1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 x ( x ? 1) 2

1 x( x ? 1)
1 成立,即 x( x ? 1)

当上式取等号时有 x( x ? 1) ?

x 2 ? x ? 1 ? 0 (无实根) 或 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,即

x?

?1? 5 ,经检验,原方程的根为 2 x? ?1? 5 2

用柯西不等式解方程组, 也同样是利用柯西不等式取等号的条件, 从而求得方程组的解。 例:解方程组

x? y ? z ?9 x? w?6 x 4 ? x 2 ( y 2 ? z 2 ? w 2 ) ? w 2 ( y 2 ? w 2 ) ? 486
解:原方程组可化为

x? y ? z ?9 x? w?6 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(x 2 ? w 2 ) ? 486
运用柯西不等式得

92 62 2 2 (x ? y ? z ) ? ? 27 , x ? w ? ? 18 3 2
2 2 2

两式相乘,得

?x

2

? y 2 ? z 2 ? x 2 ? w2 ? 486

? ?

?

当且仅当 x=y=z=w=3 时取等号。 故原方程组的解为 x=y=z=w=3. 3、 柯西不等式证明不等式。 很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出, 而利用柯西不等式的技巧有很多。 如常数 的巧拆、结构的巧变、巧设数组等,下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。 例:设 a,b,c 为正数且不相等到,求证:

2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c
分 析 : 我 们 利 用 9 与 2 这 两 个 常 数 进 行 巧 拆 , 9= ?1 ? 1 ? 1?
2



▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

2?a ? b ? c? ? ?a ? b? ? ?b ? c? ? ?c ? a ?
这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。 证 明 :

?a ? b ? c ? ? ? ?

1 1 1 ? ? ? ? ?a ?b b ? c c ? a?

1 1 ? ? 1 ? ??a ? b ? ? ?b ? c ? ? ?c ? a ?? ? ? ? ? ? ?a ?b b ? c c ? a? 2 2 2 ?? ? ? 2 2 2 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? a?b ? b?c ? c?a ? ?? ? b?c? ?? c?a? ? ? ? ? ?? a?b? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ?

? ?

?

? ?1 ? 1 ? 1? ? 9 2 2 2 9 ? ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c ? a,b,c 各不相等, ? 等号不可能成立,从而原不等式成立。 ? 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是我们只要改变一下多项式的形态结
2

? 1 1 1 ? ? ?? a ? b ? ? b ? c ? ? c ? a ? ? ? a ? b b ? c c ? a ? ?

2

构,认清其内在的结构特征,就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加 以说明。 例:设 a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 , 求证:

1 1 1 1 ? ??? ? ?0 a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ? a n ?1 a n ?1 ? a1
分析:这道题初看似乎无法使用柯西不等式,但改变其结构,我们不妨改为证:

?a1 ? a n?1 ? ? ?

?

? 1 1 1 ? ??? ? ? 1, a n ? a n ?1 ? ? a1 ? a 2 a 2 ? a3

证明:为了运用柯西不等式,我们将 a1 ? a n ?1 写成

a1 ? an?1 ? ?a1 ? a2 ? ? ?a2 ? a3 ? ? ? ? ?an ? an?1 ? 于是

??a1 ? a 2 ? ? ?a 2 ? a3 ? ? ? ? ?a n ? a n?1 ?? ? ? ?
? n 2 ? 1.

?

? 1 1 1 ? ? ??? ? a ? a a ? a a ? a 2 2 3 n n ?1 ? ? 1

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

? 1 1 1 ? ? ??? ? ?1 a ? a a ? a a ? a 1 2 2 3 n n ?1 ? ? 即 1 1 1 1 ? ? ??? ? , a1 ? a 2 a 2 ? a 3 a n ? a n ?1 a1 ? a n ?1

?a1 ? a n ?1 ? ? ? ?

?



1 1 1 1 ? ??? ? ? 0. a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ? a n ?1 a n ?1 ? a1

我们进一步观察柯西不等式,可以发现其特点是:不等式左边是两个因式这和,其中每 一个因式都是项平方和,右边是左边中对立的两两乘积之和的平方,证题时,只要能将原题 凑成此种形式,就可以引用柯西不等式来证明。 例:求证: x1 ? x 2 ?
2 2 2 y12 ? y 2 ?

?x1 ? y1 ?2 ? ?x 2 ? y 2 ?2 .
2 2 2 2 ? x2 ? y12 ? y 2 ? 2 x12 ? x 2 ? y12 ? y 2

证明:?

?x

2 1

2 ? x2 ?

2 y12 ? y 2

? ? ?x
2

2 1

? ?

?

?

? ?

?

由柯西不等式得

?x
?
?

2 1

2 2 ? x2 ? y12 ? y2 ? ?x1 y1 ? x2 y2 ?

? ?

?

2

其中等号当且仅当 x1 ? ky1 , x 2 ? ky2 时成立。

?x

2 1

2 2 ? x2 y12 ? y 2 ? x1 y1 ? x 2 y 2
2 2 y1 ? y2 2

??

?

?

2 2 x1 ? x2 ? 2

?

2

2 2 2 2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 2? x1 y1 ? x 2 y 2 ?

?

? ?

?

? ? x1 ? y1 ? ? ? x 2 ? y 2 ? ?
2 2 x1 ? x2 ?

2 2 y1 ? y2 ?

?x1 ? y1 ?2

? ?x2 ? y 2 ? .
2

其中等号当且仅当 x1 ? ky1

, x 2 ? ky2 时成立。

4、 用柯西不等式证明条件不等式 柯西不等式中有三个因式

? ai2 , ? bi2
i ?1 i ?1

n

n



?a b
i ?1

n

i i

而一般题目中只有一个或两个

因式,为了运用柯西不等式,我们需要设法嵌入一个因式(嵌入的因式之和往往是定值) , 这也是利用柯西不等式的技巧之一。 又柯西不等式中诸量 ai , bi 任意两个元素 ai , a j (或 b i , b j 具有广泛的选择余地,

) 的交换,可以得到不同的不等式,因此在证题

时根据需要重新安排各量的位置, 这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。 这 种变换也是运用柯西不等式的一种技巧, 下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西 不等式来证明条件不等式。 例:已知 a,b ? R ,a+b=1, x1 , x2 ? R , 求证: ?ax1 ? bx2 ? ? ?bx1 ? ax2 ? ? x1 x2
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
?

?

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

分析:如果对不等式左端用柯西不等式,就得不到所要证明的结论。若把第二个小括 号内的前后项对调一下,情况就不同了。 证明: ?ax1 ? bx2 ? ? ?bx1 ? ax2 ? = ?ax1 ? bx2 ? ? ?ax2 ? bx1 ?

? a x1 x 2 ? b x1 x 2
= ?a ? b? x1 x2 ? x1 x2
2

?

?

2



例、设 x1 , x2 , ?, xn ? R ? , 求证:
2 x12 x x xn ? ??? ? ? x1 ? x2 ? ? ? x n x 2 x3 x n x1

(1984 年全国高中数学联赛题) 证明:在不等式的左端嵌乘以因式 ?x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 ? ,也即嵌以因式

?x1 ? x2 ? ? ? xn ? ,由柯西不等式,得
?
2 x12 x x xn ? ??? ? x 2 x3 x n x1

? ? ( x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 )

2 2 2 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x x n ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? x ? ? x ? ? ?? x 2 ? ? x3 ? ? ? ? ? n? ? 1? ? ?? 2 2 2 2 ? ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ? x1 ? ? ? ? ? ? x ? x x x ? ? 1 ? x 2 ? 2 ? x3 ? ? ? n ?1 ? x n ? n ? x1 ? ? x ? x3 xn x1 ? 2 ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ,
2

2 x12 x x xn 于是 ? ??? ? ? x1 ? x2 ? ? ? x n . x 2 x3 x n x1

5、 利用柯西不等式求函数的极值 有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式, 但只要适当添加上常数项或和为常数的 各项,就可以应用柯西不等式来解,这也是运用柯西不等式解题的技巧;而有些极值问题的 解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的, 但在运用过程中, 每运用一次前后等号成立的 条件必须一致,不能自相矛盾,否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是 常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题。 例 设非负实数 ? 1 , ? 2 ? ? ? ? n 满足 ?1 ?? 2? ? ? ? ?? n ? 1, 求
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

?1
1? ?2 ? ??? ? ?n

_?

?n ?2 的最小值。 (1982 ? 1 ? ? 1` ? ? 3 ? ? ? ?? n 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1

年西德数学奥林匹克度题) 解:易验证

?1
1??2 ? ??? ??n
同理可得

+1=

1 ? (? 1 ? ? 2 ? ? ? ?? n ) 2 ? 2 ? ?1 2 ? ?1

?n ?1 2 2 +1= +1= ,? ? ?, 2 ??2 2 ??n 1 ? ?1 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n ?1
令y?

?1
1? ?2 ? ??? ??n

_?

?n ?2 ? 1 ? ? 1` ? ? 3 ? ? ? ?? n 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? n?1

故y?n?

2 2 2 +??? ? ? 2 ? ?1 2 ? ? 2 2 ??n

为了利用柯西不等式,注意到

(2 ? a1 ) ? (2 ? a2 ) ? ? ? ? ? (2 ? an ) ? 2n ? (a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ) ? 2n ? 1,

? (2n ? 1) (

1 1 1 +??? ? ? ) 2 ? ?1 2 ? ? 2 2 ??n 1 1 1 +??? ? ? ) 2 ? ?1 2 ? ? 2 2 ??n

= ?(2 ? a1 ) ? (2 ? a2 ) ? ? ? ? ? (2 ? an )? ? (

? 1 1 1 ? ? 2 ? a1 ? ? 2 ? a2 ? ? ? ? ? ? 2 ? an ? 2 ? a1 2 ? a2 2 ? an ? ? 2n 2 2n 2 n ? y ? n ?? ,y? ?n? . 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
等号当且公当 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ?

? 2 ? ?n ? ?

2

1 n 时成立,从而 y 有最小值 n 2n ? 1

例 设 x1 , x2 ,? ? ?, x n 都是正数, n ? 2, 且

?x
i ?1

n

i

? 1, 求证:

?
i ?1

n

xi 1 ? xi

?

?x
i ?1

n

i

n ?1

. (1989 年全国数学冬令营试题)

证明:令 yi ? 1 ? xi (i ? 1,2,? ? ?n), 由柯西不等式,得

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

(? xi ) 2 ? n ? ? xi ? n,
i ?1 i ?1

n

n



?
i ?1

n

xi ? n .
n

同理,得 (
n

?
i ?1

n

y i ) 2 ? n ? ? y i ? n ? ? (1 ? xi ) ? n(n ? 1),
i ?1 i ?1

n



?y
i ?1

i

? n(n ? 1) .

又由柯西不等式,得

?
i ?1

n

yi ? ?
i ?1
n

n

1 yi

? (? 4 y i ?
i ?1

n

1
4

yi

)2 ? n2



?
i ?1

1 yi

? n2 ?

1

?y
i ?1

n

?
i

n2 n(n ? 1)

,

从而

?
i ?1

n

xi 1 ? xi n n n ?1 n n ?1

??
i ?1

n

1 ? yi yi

??
i ?1

n

1 yi

? ? yi
i ?1

n

?

? n(n ? 1)

?

?

?
i ?1

n

xi .

n ?1

6,利用柯西不等式解三角问题。 三角问题包括三角不等式,三角方程。三角极值等到,对于一些三角问题,我们为了 给运用柯西不等式创造条件, 经常引进一些待定的参数, 其值的确定由题设或者由等号成立 的充要条件共同确定,也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。 例 在 ?ABC 中 ,求证:

sin A ? sin B ? 5 sin C ?

198 ? 2 201( 201 ? 3) 40

证明:? sin A ? sin B ? 5 sin C

A? B A?B C C cos ? 10 sin cos 2 2 2 2 C A? B C ? 2 cos (cos ? 5 sin ) 2 2 2 C C ? 2 cos (1 ? 5 sin ). 2 2 ? 2 sin
当且仅当 A=B 时等号成立。
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

令 y ? cos x(1 ? 5 sin x)( 0 ? x ?

?
2

) ,于是引进参 t ? 0, 求

y 2 cos2 x(1 ? 5 sin x) 2 的最值。
由柯西不等式,
2

y ? cos x?1 ? 5 sin x ?
2 2

2

?1 ? ? 25 cos x? ? sin x ? ?5 ?
2

cos2 x ? 1 ? = 25 ? ? ? t sin x ? 2 t ?5 ?

2

2 ? 2 cos 2 x ?? 1 ? 2 2 ? 25 ? ? t ? ? ? ? t ? sin x 2 t ? ? ?? 5 ? ? 2 25t ? 1 ? cos 2 x t 2 ? sin 2 x . 2 t

?

?

?

?

2 ? a ? b? 又由平均值不等式 ab ? ,得

4

25t 2 ? 1 ? cos2 x ? t 2 ? sin 2 ? y ? ? 2 t2 ?
2

x? ? ? ?

2

?25t =
2

2

?1 t2 ?1 . 4t 2
2 2

??

?

2

(1)

当且仅当 cos x = t ? sin x 时等号成立。 例、已知 a,b 为正常数,且 0<x< 解:利用柯西不等式,得
3

? a b ? ,求 y ? 的最小值。 sin x cos x 2

a2 ? 3 b2 ?

?

?

?a
3

2

? 3 b 2 sin 2 x ? cos2 x

3

a sin x ? 3 b cos x

?

??

?

2

等号成立的当且仅当 sin x 3

a

? cos x 3
a b

b

时;



x ? arctg3
3

时,于是

a 2 ? 3 b 2 ? 3 a sin x ? 3 b cos x

再由柯西不等式,得

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

3

b ? ? a a2 ? 3 b2 ? ? ? ? sin x cos x ?
3

??
??

b ? ? a ? a sin x ? 3 b cos x ? ? ? sin x cos x ?
6

?

a sin x
2

a b ? 6 b cos x sin x cos x

?2

2 ? 2 ? 3 ? ? ?a ? b3 ? ? . ? ?

等号成立也是当且仅当 x ? arctg3

a 时。 b
3

2 2 ? 2 ? a b 3 3 ? ?? a ? b ? 从而 y ? ? . sin x cos x ? ? ?

2 2 ? 2 ? a b 3 ? 于是 y ? 的最小值是 ? a ? b 3 ? . ? ? sin x cos x ? ?

3

在许多问题中,如果我们能够利用柯西不等式去解决,往往能收到事半功倍的 效果,使人耳目一新。

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com