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【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 1 不等关系同步课件 北师大版必修5_图文

成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章 不等式

世界上工程师建造了很多美妙绝伦的建筑,其中很多工程
师打破了对称美的传统形式,利用不等关系与不对称美的思想 设计了无数的经典之作.不等关系是客观世界中广泛存在的一 个基本关系,各种类型的不等式在现代数学的各个分支及其应 用中起着十分重要的作用. 本章,我们将学习不等关系的一些基本规律和一些相关的 数学模型,例如:基本不等式,线性规划等,并利用它们解决 一些简单的实际问题.

知识线索:本章的主要内容有不等关系、一元二次不等式、 基本不等式、线性规划及其简单应用等基础知识. 不等式始终贯穿在整个中学教学之中,诸如集合问题,方 程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数的定义域、值域

的确定,三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小
值问题,无一不与不等式有着密切联系.能够运用不等式的性 质,定理和方法分析解决有关函数的性质,方程实根的分布的 问题,解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其他数学 问题.

第三章
§1 不等关系

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

课前自主预习

购买火车票有一项规定:随同成人 旅行, 身高超过 1.1m(含 1.1m)而不超过 1.5m 的儿童, 享受半价客票、 加快票和 空调票(简称儿童票), 超 1.5m 时应买全 价票.每一成人旅客可免费携带一名身 高不足 1.1 米的儿童,超过一名时,超 过的人数应买儿童票.从数学的角度,应如何理解和表示“不 超过”“超过”呢?

1.在数学意义上,不等关系体现的几个方面. (1)______________ 常量与常量 之间的不等关系;

(2)______________ 变量与常量 之间的不等关系;
(3)______________ 函数与函数 之间的不等关系; (4)_____________ 之间的不等关系. 一组变量

2.两数(式)大小比较的常用方法
作商比较法 乘方比较法 a a-b>0?____ a>b a>b ; 2 2 a>0, b>0 且b>1?____ a >b 且 a>0, a-b<0?____ a<b a b>0?a>b a < b a >0 , b >0 且 <1 ? ____ a-b=0?____ a=b b 若数(式)的符号 要比较的两 不明显,作差后 同号两数比较大小或指 数(式)中有根 可化为积或商的 数式之间比较大小 号 形式 ①作差 ①作商 ①乘方 ②变形 ②变形 ②用作差比 ③判断符号 ③判断商值与 1 的大小 较法或作商 ④下结论 ④下结论 比较法 作差比较法

依据

应用 范围

步骤

3.常用的不等式的基本性质:

> (1)如果 a>b,c>d,则 a+c________ b+d; > (2)如果 a>b>0,c>d>0,则 ac________ bd; > bn(n∈N+); (3)如果 a>b>0,则 an________
n > (4)如果 a>b>0,则 a________ b(n∈N+). 4.一个重要结论 a+m a > 一般地, 设 a, b 为正实数, 且 a<b, m>0, 则 ________b. b+m n

1.设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是( A.a-c>b-d C.a+c>b+d B.ac>bd D.a+d>b+c

)

[答案] C
[解析] ∵b<a,d<c,∴b+d<a+c.

2.a2与a3的大小关系是(

)

A.a2>a3
C.a2<a3 [答案] D

B.a2=a3
D.不能确定,与a的值有关

[解析] ∵a2-a3=a2(1-a),
∴当a=0或a=1时a2=a3, 当a<0时,a2>a3, 当0<a<1时,a2>a3, 当a>1时,a3>a2

故选D.

3.设x<a<0,则下列各不等式一定成立的是(

)

A.x2<ax<a2
C.x2<a2<ax [答案] B

B.x2>ax>a2
D.x2>a2>ax

[ 解析]

x<a<0? 2 ? ? ?x >ax ? ? 2 2 ? ? x<0 ?? ? x > ax > a .故选 B. 2 ? ?ax>a ? ? ? a<0 ?

4.若 a、b 是任意实数,且 a>b,则( A.a >b
2 2

)

b B.a<1
?1? ?1? D.?2?a<?2?b ? ? ? ?

C.lg(a-b)>0
[答案] D

[ 解析]

a>b 并不保证 a、b 均为正数,从而不能保证 A、

B 成立.又 a>b?a-b>0,但不能保证 a-b>1,从而不能保证 C 成立,显然只有 D 成立.事实上,指数函数 上是减函数,所以
?1? ?1? a>b??2?a<?2?b 成立.故选 ? ? ? ? ?1? y=?2?x 在 ? ?

x∈R

D.

a 5.设 1<a<7,1<b<2,则b的取值范围是________. [ 答案] 1 (2,7)

[ 解析]

1 1 由 1<b<2 得2<b<1,又 1<a<7,

1 a ∴2<b<7.

课堂典例讲练

用不等式表示不等关系 某 钢 铁 厂 要 把 长 度 为 4 000mm 的 钢 管 截 成

500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢管的数量不
能超过 500mm钢管的 3倍.试写出满足上述所有不等关系的不 等式. [分析] 应先设出相应变量,找出其中的不等关系,即① 两种钢管的总长度不能超过4 000mm;②截得600mm钢管的数 量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍;③两种钢管的数量都不能 为负.于是可列不等式组表示上述不等关系.

[ 解析]

设截得 500mm 的钢管 x 根, 截得 600mm 的钢管 y

根,依题意,可得不等式组: ? ?500x+600y≤4 000 ?3x≥y ? ?x≥0 ? ?y≥0 ? ?5x+6y≤40 ?3x≥y ,即? ?x≥0 ? ?y≥0

.

[ 方法总结 ]
骤:

用不等式 ( 组 ) 表示实际问题中不等关系的步

①审题.通读题目,分清楚已知量和待求量,设出待求

量;
②列不等关系.列出待求量具备哪些不等关系 ( 即满足什 么条件); ③列不等式(组).挖掘题意,建立已知量和待求量之间的 关系式,并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).

某商家准备在“双十一”进行商品降价酬宾活动,方案如
下:(1)购买不超过100元的商品,商品九折销售;(2)购买超过 100元但不超过500元的商品,100元部分九折销售,超过100元 部分八折销售;(3)购买超过500元的商品,不超过500元部分按 (2)销售,剩余部分七五 (75%)折销售.某人打算在该商家购买 商品,且希望得到至少200元的优惠,则他需要花费的钱数x(单 位:元)所满足的条件是________. [答案] 90+0.25(x-500)≥200

[解析]

不超过100元的商品最多优惠 10 元,不超过500元

的商品最多优惠 10 + 80 = 90 元,因此要得到至少 200 元的优 惠,至少要超过500元,因此需要花费的钱数x满足的条件是90 +0.25(x-500)≥200.

不等式的基本性质
对于实数 a、b、c,有下列命题 ①若 a>b,则 ac<bc; ②若 ac2>bc2,则 a>b; ③若 a<b<0,则 a2>ab>b2; a b ④若 c>a>b>0;则 > ; c-a c-b 1 1 ⑤若 a>b,a>b,则 a>0,b<0.

其中真命题的个数是( A.2

) B.3

C.4
[答案] C [解析]

D.5
①c的正、负或是否为零未知,因而判断ac与bc的

大小关系缺乏依据,故该命题是假命题.
②由ac2>bc2知c≠0,所以c2>0,所以a>b, 故该命题是真命题.
a<b? a<b? ? ? 2 ? ??ab>b2,所以 a2>ab>b2.故该命题 ③ ?a >ab, a<0? b<0? ? ? 为真命题.

④a>b?-a<-b?c-a<c-b. 因为 c>a,所以 c-a>0.所以 0<c-a<c-b. 1 1 1 两边同乘以 ,得 > >0. ?c-a??c-b? c-a c-b a b 又因为 a>b>0,所以 > .故该命题为真命题. c-a c-b b-a 1 1 1 1 ⑤a>b?a-b>0,a>b?a-b>0? ab >0.因为 a-b>0,所 以 b-a<0.所以 ab<0. 又因为 a>b,所以 a>0,b<0,故该命题为真命题. 综上可知,命题②、③、④、⑤都是真命题.故选 C.

[方法总结]

通过本例,可以使我们熟悉不等式的基本性

质,更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中,乘法性质 的应用最易出错,即在不等式的两边同乘(除)以一个数时,必 须能确定该数是正数、负数或零,否则结论不确定.

判断下列各题的对错. c c (1)a<b且 c>0?a>b( (2)a>b 且 c>d?ac>bd( (3)a>b>0 且 c>d>0? a b (4)c2>c2?a>b(
[答案] × ×

) ) a d> b c( )

)
√ √

[ 解析]

c c? ? 1 1 < (1) a b??a<b, c>0 ? ?

当 a<0,b>0 时,此式成立,推不出 a>b, ∴(1)错; (2)当 a=3,b=1,c=-2,d=-3 时, 命题显然不成立,∴(2)错; a>b>0? ? a b ?? > >0? (3) c>d>0 ? ? d c ∴(3)对; (4)显然 c2>0,∴两边同乘以 c2,得 a>b.∴(4)对. a d> b c 成立.

运用作差法比较大小
1 2 x 已知 x∈R,比较(x+1)(x +2+1)与(x+2)(x +x
2

+1)的大小.
[ 分析] 1 2 x 直接作差需要将(x+1)(x +2+1)与(x+2)(x +x+
2

1)展开,过程复杂,式子冗长,可否考虑根据两个式子特点, 予以变形,再作差.

[ 解析 ]
2

x x 2 ∵ (x + 1)(x + 2 + 1) = (x + 1)(x + x + 1 - 2 ) = (x +
2

x 1)(x +x+1)-2(x+1), 1 2 1 2 (x+2)(x +x+1)=(x+1-2)(x +x+1) 1 2 =(x+1)(x +x+1)-2(x +x+1),
2

1 2 x ∴(x+1)(x +2+1)-(x+2)(x +x+1)
2

1 2 1 1 =2(x +x+1)-2x(x+1)=2>0. 1 2 x 则有 x∈R 时,(x+1)(x +2+1)>(x+2)(x +x+1)恒成立.
2

[ 方法总结]

1.有的问题直接作差不容易判断其符号, 这时

可根据两式的特点考虑先变形,化简到比较易于判断符号时, 再作差,予以比较,如此例就是先变形,再作差. ?因式分解 ? ?配方 ?通分 2.变形的方法? ?对数与指数运算性质 ?分母或分子有理化 ? ?分类讨论

已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小.
[ 解析] x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1

=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 =(x-1)(x
2

? 1?2 3 -x+1)=(x-1)[?x-2? +4] ? ?

∵x<1,∴x-1<0.
? 1?2 3 又∵?x-2? +4>0, ? ? ? 1?2 3 ∴(x-1)[?x-2? +4]<0, ? ?

∴x3-1<2x2-2x.

运用作商法比较大小 设a>0,b>0且a≠b,试比较aabb与abba的大小.

[分析] 根据同底数幂的运算法则,可考虑作商比较法.
[ 解析] aabb a-b b-a a a-b b =(b) , abba=a ·

a a a-b 当 a>b>0 时,b>1,a-b>0, 则(b) >1,于是 aabb>abba. a a a-b 当 b>a>0 时,0<b<1,a-b<0,则(b) >1,于是 aabb>abba. 综上所述,对于不相等的正数 a、b,都有 aabb>abba.

比较1816与1618的大小.
[ 解析] ∵ 9 8 2 9 1816 18 16 1 9 16 1 16 9 16 1618=(16) 162=(8) ( 2) =(8 2) . ∈(0,1),

∴(

)16<1. 8 2

∵1618>0, ∴1816<1618.

证明不等式

a b 若 a>b>0,c<d<0,求证:d<c.
[ 分析] 已知的两个不等式为异向不等式,所以必定要转

化为同向不等式,才能用不等式的基本性质;已知不等式为整 式,而要证的不等式为分式,所以必定要两边同除以一个不为 0 的数(或同乘以一个数的倒数).

[ 证明] 又

? ?a>b>0 ? ? ?c<d<0

? ?a>b>0 ?? ? ?-c>-d>0

?-ac>-bd.

? ?cd>0 c<0,d<0?? ? ?-ac>-bd

ac bd a b a b ?-cd>-cd?-d>-c?d<c .

[ 方法总结 ]

本题的难点在于寻找由已知证结论的合理

“线路”,而要寻找到合理“线路”,就要消灭已知与结论的 差异(已知为整式,结论为分式),统一形式,因此可以倒推, 把结论中的不等式变形为整式,以启发思路.

c d 已知a>b,bc>ad,证明:ab>0.

[ 证明]

c d ? ? > , 因为?a b 所以 ? ?bc>ad,

c d ?bc-ad ? ? ? - >0, >0, a b ab ? 所以? 所以 ab>0. ? ? ?bc-ad>0. ?bc-ad>0,

应用不等式的性质讨论范围

设 f(x)=ax2+bx 且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围.
[ 分析] 1.在研究范围问题时, 一定要看清变量间有无内在

联系,要确定准独立变量,以免产生错误. 2. 在求解某些有关联的未知数范围时, 因多次使用不等式 相加的性质(这条性质是单向推出的)而导致所给变量的范围改 变, 出现错误, 因此要尽可能少地运用不等式的可加性求范围.

[ 解析]

解法一:(待定系数法):

设 f(-2)=4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
? ?m+n=4, 所以? ? ?-m+n=-2, ? ?m=3, 解得? ? ?n=1.

所以 f(-2)=3(a-b)+(a+b). 又因为 1≤a-b≤2,所以 3≤3(a-b)≤6. 因为 2≤a+b≤4. 所以 5≤3(a-b)+(a+b)≤10. 即 5≤f(-2)≤10.

? ?x=a-b, 解法二:设? ? ?y=a+b,

x+y y-x 即 a= 2 ,b= 2 .

所以 f(-2)=4a-2b=2(x+y)-(y-x)=3x+y, 而 1≤x=a-b≤2,2≤y=a+b≤4, 所以 5≤f(-2)≤10.

[方法总结]

利用几个不等式的范围来确定某个不等式的

范围是一类常见的综合问题,对于这类问题要注意“同向 ( 异 向)不等式的两边可以相加(相减)”,这种转化不是等价变形, 在一个解题过程中多次使用这种转化时,就有可能扩大真实的 取值范围.解题时务必小心谨慎,先建立待求范围的整体与已 知范围的整体的等量关系,最后通过一次性不等关系的运算, 求得待求的范围,这是避免犯错的一条途径.

α+β α-β π π 已知-2≤α<β≤2,求 2 , 2 的取值范围.

[ 解析]

π α π π β π ∵-4≤2<4,-4<2≤4,

π α+β π 将两式相加得,-2< 2 <2. π α π π π α-β π β π ∵-4≤2<4,-4≤-2<4,∴-2≤ 2 <2. α-β π α-β 又 α<β,∴ 2 <0,故-2≤ 2 <0.

易混易错点睛

1 设 x∈R 且 x≠-1,比较 与 1-x 的大小. 1+x

[ 误解]

1-?1-x2? 1 x2 ∵ -(1-x)= = ,而 x2≥0. 1+x 1+x 1+x

x2 1 ∴当 x>-1 时,x+1>0, ≥0,即 ≥1-x. 1+x 1+x x2 1 当 x<-1 时,x+1<0, ≤0,即 ≤1-x. 1+x 1+x

[ 辨析]

作差比较大小,变形后的结果难以确定时,一般

要分类讨论,但必须要有统一的分类标准,这里分类不完全,
2 x 在 x<-1 时,x2>0,不应有 ≤0,最好把 x=0 分一类进行 1+x

讨论,这样比较恰当.

[ 正解]

1 x2 ∵ -(1-x)= ,x2≥0. 1+x 1+x

x2 1 ①当 x=0 时, =0,∴ =1-x. 1+x 1+x x2 1 ②当 1+x<0,即 x<-1 时, <0,∴ <1-x. 1+x 1+x x2 1 ③当 1+x>0 且 x≠0, 即-1<x<0 或 x>0 时, >0, ∴ 1+x 1+x >1-x.

本节思维导图

? ? 不等式关系式 ?不等关系? ? ? ? ?文字语言和符合语言转换 ? 不等关系? ?不等式性质 ? ? ?比较大小?作差法 ?作商法 ? ? ?


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