tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.4.2抛物线的简单几何性质(综合)


一、温故知新
(一) 圆锥曲线的统一定义
平面内,到定点F的距离与到定直线l的距离 比为常数e的点的轨迹,(定点F不在定直线l上) 当0<e<1时,是椭圆;当e>1时,是双曲线 . 当e=1时,是抛物线 .

(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 = -2px (p>0) (3)开口向上 x2 = 2py (p>0) (4)开口向下 x2 = -2py (p>0)

在平面内,与一个定点F和 一条定直线l(l不经过点F)的 距离相等的点的轨迹叫抛 物线.
点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线

H

d

M

·

C

·
F

焦 点

准线

l e=1
d 为 M 到 l 的距离

即:

MF ︳ ︳ 若 ? 1, 则点M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳

标准方程
y2=2px

图形
y O F

焦点
x

准线

l

y

y2=-2px

F

O

x

l

p F ( , 0) 2 p F (? ,0) 2
x

y

x2=2py
F O l

y l

x2=-2py

O F

x

p F (0, ) 2 p F (0, ? ) 2

p x?? 2 p x? 2
p y?? 2 p y? 2

1.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为( ) A .2 B.3 C.4 D.5 ?解析:点A与抛物线焦点的距离就是点 A与抛 物线准线的距离,即4-(-1)=5. ?答案:D

2.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y-2=0,则 a 的值是( 1 A. 8 C.8 1 B.- 8 D.-8
2

)

1 解析: 将抛物线的方程化为标准形式 x =ay, 其准线方程是 y 1 1 =-4a=2,a=-8.

答案:B

一、抛物线的几何性质
1、范围

y

P(x,y)

由抛物线y2 =2px(p>0)


o

F(

2 px ? y ? 0
2

p ,0 ) 2

x

所以抛物线的范围为 x ? 0
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱ 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。

? x?0

p?0

2、对称性

? ( x, y )

关于x轴

对称

( x, ? y)

y

P(x,y)

由于点( x, ? y) 也满

o

足 y2 = 2px ,故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.

F(

p ,0 ) 2

x

3、顶点

定义:抛物线和它的轴的交点称为抛物线

的顶点。

由y2 = 2px (p>0)当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点(0,0)。

y

P(x,y)

o

F(

p ,0 ) 2

x

注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同。

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

5、开口方向
y
P(x,y)

抛物线y2 =2px(p>0)的开 口方向向右。

y ? 2 px
2 2

+X,x轴正半轴,向右
-X,x轴负半轴,向左 +y,y轴正半轴,向上 -y,y轴负半轴,向下

o

F(

p ,0 ) 2

x

y ? ?2 px x ? 2 py
2 2

x ? ?2 py

特点:
1.抛物线只位于半个坐标平面内,2 虽然它可以无 y =4x 限延伸,但它没有渐近线;
y2=2x y 2=x y 2.抛物线只有一条对称轴,没有 2 1 y = x
4 3 2 1

P(x,y)

对称中心;
-2

2

2

4

6

8

10

-1

3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4

-2

o

p F ( ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线;
-5

4.抛物线的离心率是确定的,为1;

思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大开口越大

方程
y ? 2 px
2
l

图形
y
O

准线

焦点
p 2
p F ( 2 ,0)

对称轴

( p ? 0)
y ? ?2 px ( p ? 0)
2

F
l
O

x

x??

x轴
x轴

y
F

x

x?
y??

p 2
p 2
p 2

F (? ,0)
p 2
o

x 2 ? 2 py ( p ? 0)

y
F
O

l

x

F (0, )
F (0,? )
p 2

p 2

y轴 y轴

x ? ?2 py
2

y
l
O
F

( p ? 0)

x

y?

练习:填空(顶点在原点,焦点在坐标轴上)
方程 焦点 准线 开口方向
3 2

y ? 6x
2

F ( ,0)
3 2

x??

开口向右 开口向左

y ? ?4 x
2

F (?1,0)

x ?1
y ? ?1

x ? 4y
2

F (0,1)
7 8

开口向上
开口向下

2 x ? 7 y ? 0 F (0,? )
2

y?

7 8

(二)归纳:抛物线的几何性质
图 形
y
l
O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈ R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( , 0 ) x?? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F (? ,0) x ? 2 x(p>0) 2

y∈R
(0,0) 1

y
O

F

l

x2 = 2py p p y≥0 F (0, ) y ? ? 2 2 x∈R x (p>0) y轴 x2 y≤0

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2

l

x∈R

类型 焦点 准线 性 质 对称轴 顶点 离心率 开口方向 范围

y2=

y2=-

x2=

x2=- 2py(p>0)
? p? ?0,- ? 2? ?

2px(p>0) 2px(p>0) 2py(p>0)
?p ? ? ,0? ?2 ? ? p ? ?- ,0? ? 2 ? ? p? ? 0, ? 2? ?

p x=-2 x≥0,y ∈R x轴

p x=2 x≤0,y ∈R

p y=-2 y≥0,x ∈R

p y=2 y≤0, x∈R y轴

原点(0,0) e=1 向右 向左 向上 向下

5、

通径

过焦点而垂直于对称轴的弦 AB,称为抛物线的通径, |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.

y
A O B F

y2=2px
?p ? ? , p? ?2 ?

2p

x

?p ? ? ,? p ? ?2 ?

2p越大,抛物线张口越大.
P越大,开口越开阔

课堂练习:
1、已知抛物线的顶点在原点,对称 轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,那 么抛物线通径长是

16

.

2、一个正三角形的三个顶点,都在抛 物线

y ? 4 x上,其中一个顶点为坐标
2

原点,则这个三角形的面积为 48 3 。

6、

焦半径

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 y 焦半径公式:
p/2 x0

P

|PF|=x0+p/2
O F

x

焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离
p P(x0,y0)在y2=2px上, PF ? x0 ? 2 p

P(x0,y0)在y2=-2px上, PF ?

? x0 2 p P(x0,y0)在x2=2py上, PF ? y0 ? 2 p 2 P(x0,y0)在x =-2py上, PF ? -y0
2

归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它 也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; (4)、抛物线的离心率e是确定的为1,

⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张 口越大.

三、典例精析
例3:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 ?2 2),求它的标准方程. 点,并且经过点M(2, 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 解: 点,并且经过点M(2, ?2 2 ), 所以设方程为:

y ? 2 px ( p ? 0)
2
2

又因为点M在抛物线上: 所以: (?2

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2

因此所求抛物线标准方程为: y2

? 4x

y ? 4 x 作图:
2

(1)列表(在第一象限内列表)
x
y

0

1

2

3

4




0

2
y

2.8 3.5

4

(2)描点:
(3)连线:

1
O

1

x

课堂练习:
求适合下列条件的抛物线的方程: (1)顶点在原点,焦点F为(0,5);

x ? 20 y
2

(2)顶点在原点,关于x轴对称,并且
经过点M(5,-4).

16 y ? x 5
2

练习 求满足下列条件的抛物线的方程 (1)顶点在原点,焦点是(0,-4)
x ? ?16 y
2

(2)顶点在原点,准线是x=4

(3)焦点是F(0,5),准线是y=-5

y ? ?16 x
2

(4)顶点在原点,焦点在x轴上, 过点A(-2,4) y 2 ? ?8 x

x 2 ? 20 y

(三)、例题讲解:

练习1:顶点在坐标原点,焦点在y 轴上,并且经过点M(4,2)的抛物线 的标准方程为

A.x ? 8 y
2 2

B.x ? 4 y C .x ? 2 y
2

A

D.x ? y
2 1 2

(三)、例题讲解:

练习2:顶点在坐标原点,对称轴是X 轴,点M(-5,2 5 )到焦点距离为6, 则抛物线的标准方程为

A. y ? ?4 x
2 2

B. y ? ?2 x C. y ? 2 x
2 2 2

A

D. y ? ?4 x或x ? ?36 y

探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变 成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。

平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都 经过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。

例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。
y

解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.

A (40,30)

?

O
B

x

设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 45 2 解之: p= 4 30 =2p· 40 45 45 2 故所求抛物线的标准方程为: y = 2 x, 焦点为( 8 ,0)

例 6 已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P ( ?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公 共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?

解:直线l的方程为y ? 1 ? k ( x ? 2).
? y ? 1 ? k ( x ? 2) 由方程组? 2 y ? 4x ?
?

可得

ky 2 ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0
?k ? 0 ⑴只有一个公共点 ? k ? 0, 或 ? 2 △ ? ? 16(2 k ? k ? 1) ? 0 ?

1 ? k ? ?1, 或 k ? 0, 或 k= 2

⑵有两个公共点

?k ? 0 ?? 2 △ ? ? 16(2 k ? k ? 1) ? 0 ?

1 ? ?1 ? k ? 0, 或0 ? k ? 2
1 ?k ? 0 ? k ? ?1, 或k ? ? ? ⑶没有公共点 2 2 △ ? ? 16(2 k ? k ? 1) ? 0 ?
综上所述 1 当k ? ?1, 或k ? 0, 或k ? 时,直线与抛物线只有一个公共点; 2 1 当 ? 1 ? k ? 0或0 ? k ? 时,直线与抛物线有两个公共点; 2 1 当k ? ?1或k ? 时,直线与抛物线没有公共点。 2

例题3
思考题 例3:图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离 水面2米,水面宽4米. 若在水面上有一宽为 水下降1米后,水面宽多少? 2米,高 为1.6米的船只,能否安全通过拱桥? y A(2,-2) x2=-2y y=-3代入得 x ?

6
l

o

? 水面宽2 6
B(1,y) y=-0.5 B到水面的距离为1.5米

2

B A

x

不能安全通过

4

四、课堂练习
(1)已知点A(-2,3)与抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
4

的焦点的距离是5,则P =
(2)抛物线
2



y ? 4 x 的弦AB垂直x轴,若|AB|= 4
2
2

3 ,

则焦点到AB的距离为 (3)已知直线x-y=2与抛物线



y ? 4 x交于A、B两
(4, 2)


点,那么线段AB的中点坐标是

2.点 A 的坐标为(3,1),若 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上 的一动点, F 是抛物线的焦点, 则 |PA|+|PF|的最小 值为( B ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

准线为 l, | PF |? P 到 l 的距离. ∴ (| PA | ? | PF |)min ? A 到 l 的距离=4

有困难,找准线!

34

已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到 点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点 距离之和取得最小值时,点P的坐标为 ________

1 ( ,?1) 4
有困难,找准线!
35

1.AB 是抛物线 x=y2 的一条焦点弦, 且|AB|=4, 则 AB 的中点到直线 x+1=0 的距离为( D ) 5 11 (A) (B)2 (C)3 (D) 2 4

有困难,找准线!

6、已知Q(4,0),P为抛物线 y 则|PQ|的最小值为( ) 3 10 19 A. B. C. 2 2 2

2

? x ? 1 上任一点,
D.
3

C

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

解:设 AB 的方程为 y=x+b, ?y ? x?b 由? 2 消去 x 得 y2-y+b=0, ?y ? x

设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB ? 1 ? 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=
4?b 2

( y1 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 = 2 ? 8b ,
,由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b =
4?b 2

,

解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

4、求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点在直线x-2y-4=0上.
2

y ? 16 x或x ? ?8 y
2 2

(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 15.

y ? 12 x或y ? ?4 x
2

2.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1),B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,则|AB|=( A.8 C.6 B.10 D.4 )

解析: ∵y2=4x,∴2p=4,p=2. ? ∴由抛物线定义知: |AF|= x1+1, |BF|= x2+1 , ? ∴ |AB|= |AF|+ |BF|= x1 + x2 + 2 = 6 + 2 = 8. 故选 A. ? 答案: A
?

【变式训练】直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公 共点,则k的值为( D )

(A )1
(C )0

(B )1 或3
(D )1 或0
? y ? kx ? 2
2 ? y ? 8x

【解析】选D.由 ?

2 , 得ky -8y+16=0,若k=0,

则y=2,若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0,解得k=1,此 时直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,综 上,k=0或k=1.

练习:过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个 公共点的直线的方程是__________________________.
?y ? k x ?1 联立 ? 2 ? y ? 4x

y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1

消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

k

?k≠ 0 k = 0, 或 ? ?△=16 -16k = 0

k = 0, 或 k =1
y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1

已知抛物线的顶点在原点,x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜 π 角为4的直线,被抛物线所截得的弦长为 6,求抛物线方程.

[规范作答]

当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时,可设抛物线标准

方程是 y2=2px(p>0), 则焦点
?p ? F?2,0?,直线 ? ?

p l 为 y=x- .2 分 2

设直线 l 与抛物线的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),过 A、B 分别向抛 物线的准线作垂线 AA1、BB1,垂足分别为 A1、B1. 则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|
? p? ? p? =?x1+2?+?x2+2?=x1+x2+p=6; ? ? ? ?

∴x1+x2=6-p.①4 分

p ? ?y=x- ? p?2 2 由? 消去 y,得?x-2? =2px, ? ? 2 ? ?y =2px
2 p 即 x2-3px+ 4 =0.8 分

3 ∴x1+x2=3p,代入①式得:3p=6-p,∴p= .10 分 2 ∴所求抛物线标准方程是 y2=3x.当抛物线焦点在 x 轴负半轴上 时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是:y2=-3x.12 分

[题后感悟] 求抛物线焦点弦长的一般方法 ? ①用直线方程和抛物线方程列方程组; ? ②消元化为一元二次方程后,应用韦达定理, 求根与系数的关系式,而不要求出根; ? ③若弦过焦点,则据定义转化为 x1 + x2 = |AB| - p 或 y1 + y2 = |AB| - p. 结合②中的结果可求解 ;
?

?

3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,若 |AB| = 7 ,求 AB 的中 点M到抛物线准线的距离.
解析: 抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1. p p 由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ 2 2 =x1+x2+p, 即 x1+x2+2=7,得 x1+x2=5,于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为

5 5 7 ,因此点 M 到抛物线准线的距离为 +1= . 2 2 2

五、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大. 6、光学性质: 从焦点出发的光线,通过抛物线反射就 变成了平行光束.

2.焦半径与焦点弦 ? 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半 径,过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做 焦点弦,设抛物线上任意一点 P(x0 , y0) ,焦 点弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则四种标准形 式下的焦点弦,焦半径公式为
?

思考 2: 2 若抛物线 y ? x 存在关于直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: ?2 ? k ? 0

分 析: 假设 存在 关于 直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k ? 0 不合题意,∴ k ? 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.

试试看!

标准方程

y2= 2px(p>0) |PF|=

y2=- 2px(p>0) |PF|= p 2-x0 |AB|=

x2= 2py(p>0) |PF|= p y0+2 |AB|=

x2=- 2py(p>0) |PF|= p 2-y0 |AB|=

焦半径|PF|

p x0+2 |AB|=

焦点弦|AB|

x1+x2+p p-x -x 1 2

y1+y2+p

p-y1-y2

判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

2 y ? 2x 当k为何值时,直线y= kx+2与抛物线

(1)两个交点(2)一个交点,(3)没有交点

例4:斜率为1的直线l经过抛物线 y ? 4 x 的焦点F,且 与抛物线相交于A,B两点.求线段AB的长度.
2
A’

提示(解法一:联立方程组求解A、B两点坐标, A 利用两点距离公式即可。)
x (解法二:利用抛物线定义可将 O |AB|的长度 B’ B 转化为A、B两点到准线的距离和,然后用 韦达定理求解。) F

y

例2 斜率为1的直线L经过抛物线y2=4x的焦点, 且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
法1 利用两点间距离公式
AB ?
x+1=0
2

y A

( x1? x 2) ? ( y1? y 2)
2

A ‘

? 1 ? k ? | x1 ? x2 |
2

o

法2 |AB|=x1+x2+P
2p 法3 AB ? sin 2 ?

F(1,0)


x

B ‘

一般地, 题目改为: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.

2p AB ? 2 sin ?

解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.

法三: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维.

问题: 证明方法1:利用韦达定理 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. p 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,焦点 F ( , 0) M ( x1 , y1 ) 2 p
准线 l : x ? ?
2 线,垂足分别为 M、N.

,分别过点 A、B 作 l 的垂

由抛物线定义可知 FA ? MA , FB ? NB N

( x 2 , y2 )

p ∵直线 AB 的方程为 x ? y cot ? ? 2 p ? ? x ? y cot ? ? 由? 2 消去 y 并整理得 x 2 ? (2 p cot 2 ? ? p) x ? p2 ? 0 ? y 2 ? 2 px ? 2p 2 ∴ AB = 2 p cot ? ? 2 p ? sin 2 ?

∴ AB ? FA ? FB = x1 ? x2 ? p

p ∴直线 AB 的方程为 x ? y cot ? ? 2 p ? ( x , y ) 2 2 ? x ? y cot ? ? 由? 2 消去 x 并整理得 y 2 ? 2 py cot ? ? p 2 ? 0 ? y 2 ? 2 px ? ∴ y1 ? y2 ? 2 p cot ? , y1 ? y2 ? ? p2
AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 = (1 ? cot 2 ? )( y1 ? y2 )2 2p 2 2 = (1 ? cot ? ) ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 = 2 sin ?

p ∵焦点 F ( , 0) ,直线 AB 的倾斜角为 ? 2

证明方法1:利用韦达定理 问题: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

问题: 证明方法2:利用三角函数 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.

解 : 如图记焦点 F , 准线 l , 分别过点 M A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、N. 由抛物线定义可知 FA ? MA , FB ? NB

过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E.

K
N

Q
E

在△ AFE 中 EF ? AF cos ? .

p ∴ FA = MA ? KE ? p ? FA cos ? ∴ FA ? 1 ? cos ?

记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF ? p

p p p 2p ? ? 同理 FB ? ,∴ AB ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin 2 ?

引伸: 过抛物线y2=2px的焦点F任作一 条直线m,交这抛物线于A、B两点,求证: 以AB为直径的圆和这抛物线的准线相 切. y
C
分析:运用抛物线的定义和平 面几何知识来证比较简捷.

B E F
x

H O D

A

证明:如图.
设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线l引垂线AD, EH,BC,垂足为D、H、C,

则|AF|=|AD|,|BF|=|BC| y ∴|AB| C B =|AF|+|BF| =|AD|+|BC| E H =2|EH| O F x 所以EH是以AB为直径的D A 圆E的半径,且EH⊥l,因 而圆E和准线l相切.

抛物线的焦点弦:

如图所示,弦AB过抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)的焦点F, 设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),弦AB的中点为P(x0 ,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线,垂足分别为A1、B1、P 1,依据 抛物线的定义,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线, 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此,我们容易得到
p1 B1 F B p x l A1 y
A

抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB |? x1 ? x2 ? p ? 2 x0 ? p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外,将直线方程与抛物线方程联立方程组, l 我们还可以推得以下结论:
2P (1)若直线的倾斜角为?,则 | AB |? . 2 sin ?
(2) A、B两点间的横坐标之积,纵坐标之积均为 定值,即x1x2 ? p , y1 y2 ? ? p 2 . 4
2

y
A

A1 p1 p

?
F

(3)设 | AF |? m,| BF |? n, 则

1 1 2 ? ? . m n p

B1

B

x

2P 通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为| AB |? 的最小值 2 sin ?

(4)所有的焦点弦中,通径是最短的.

2.如何认识抛物线的焦点弦? 如图,AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过焦点 F 的一条弦,设 A(x1,y1), B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),相应的准线为 l (1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切;
? p? (2)|AB|=2?x0+2?(焦点弦长与中点关系); ? ?

(3)|AB|=x1+x2+p;

2p (4)若直线 AB 的倾斜角为 α,则|AB|= 2 ;如当 α=90° 时,AB sin α 叫抛物线的通径,是焦点弦中最短的; p2 (5)A、 B 两点的横坐标之积、 纵坐标之积为定值, 即 x1· x2= 4 , y1· y2 =-p2.

例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和 抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行 于抛物线的对称轴。 抛物线的焦点弦的如下性质:
证明:以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点,建立直角 坐标系。设抛物线的方程为y 2 ? 2 px,
2 y0 y 点A( , y0 ) 2p p2 p 联立可得 yD ? ? . 准线 x ? ? y0 2 p x? p y 又点F ( ,0), 直线AF 为 ? 2 2 . O F 2 y0 y0 p ? D B 2 p 2 p2 2 与y =2px联立可得yB ? ? . 由y ? y 知, DB / / x轴。 D B y0

2p 则直线OA的方程为y ? x, y0

A
x

当y0 2 ? p 2时, 结论显然成立.

所以,直线DB平行于抛物线的对称轴。

例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛 物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物 线的对称轴.
另证:以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点,建立直角坐标 系。设抛物线的方程为y 2 ? 2 px,
y

A

当直线AB存在斜率时,设AB为 p y ? k ( x ? ) 与y2=2px联立,得 2
yAyB=-p2
x

F O D B

p2 即yB ? ? . yA
p2 yD ? ? . yA

2p 直线OA的方程为y ? x, yA
由yD ? yB知, DB / / x轴。

所以,直线DB平 行于抛物线的对称轴。

当直线AB不存在斜率时,结论显然成立.

2 C : y ? 4 x 的焦点, A, B 例 4、已知 F 是抛物线 是 C 上的两个点, 线段 AB 的中点为 M (2, 2) ,

求 ?ABF 的面积 .

一、抛物线的几何性质:
性质

方程

设抛物线方程为:y ? 2 px, ( p ? 0)
2

l

y

d
O

M

图形

K

F

x

范围 对称性

x ? 0, y ? R 关于x轴对称
坐标原点(0,0)
e ?1
| MF |? x0 ? p , 2 | AB |? 2 p M ( x0 , y0 )

顶点坐标
离心率 焦半径 通径

方程
图 形 范围
对称性

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y x l

x2 = 2py (p>0) y F x

x2 = -2py (p>0) y l x l

(p>0)
y l O F

F

O

O

O

F

x

x≥0

关于x轴对称

y∈ R

关于x轴对称

x≤0 y∈ R
(0,0)
p ? x0 2

x∈ y≥0 x∈R y≤0 R
关于y轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? y1 ? y2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

练习1、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作两条互相垂直的弦 OA, OB, 求证:直线AB与x轴的交点为定点.
1 x (k ? ?1) k
y

解:(1)设lOA : y ? kx, 则lOB : y ? ?
?y ? kx ? x ? 2 , y ? 2 联立? 2 A A 2 k k ? y ? 2x

1 ? ?y ? ? x 联立? k ? x ? 2k 2 , y ? ?2k B B ? y2 ? 2x ?

A
O F ?

.

x

k AB

2 ? 2k k k ? ? 2 2 1 ? k 2 ? 2k 2 k

B

k AB

2 ? 2k k k ? ? 2 2 1 ? k 2 ? 2k 2 k

y

A
O F ?

2 k 2 AB : y ? ? ( x ? 2 ), 2 k 1? k k k 即 y? ( x ? 2) 2 1? k

.

x

B

直线AB与x轴的交点为定点(2, 0).

当k ? ?1时, AB∥y轴, AB与x轴相交于点(2,0)
综上所述, 直线AB与x轴的交点为定点(2,0).

练习1、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作两条互相垂直的弦 OA, OB, 求证:直线AB与x轴的交点为定点.

另解 设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ), AB : y ? kx ? b
? y ? kx? b 联立 ? 2 ? k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b 2 ? 0 y ? y ? 2x

b2 ? x1 x2 ? 2 k

2b 同理y1 y2 ? k

A
O F ?

由OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

.

x

b 2 2b 即 2? ? 0 ? b ? ?2k k k
? AB : y ? kx ? 2k 与x轴交点(2,0)

B
综上所述, 直线AB与

0). 当AB∥y轴时, AB与x轴相交于点(2,0) x轴的交点为定点(2,

练习巩固: 1. 顶 点 在 原 点 , 关 于 x 轴 对 称 , 并 且 经 过 点 16 2 y ? x M (5, ?4) 的抛物线的方程是______________. 5 2. 顶点 在原 点 , 准 线为 y ? 2 的 抛 物线的 方程是 2 x ? ?8 y _________________. (1, ? 2) 2 3.抛物线 ( x ? 1) ? 4( y ? 2) 的顶点坐标为_______, 对称轴方程是 _________, 焦点坐标为 _________, 准线方程为____________________. 4. 以点 (1,1) 为焦点 , 直线 x ? 3 为准线的抛物线的 方程是_______________.

x ?1 y ? ?3
2

(1, ?1)

( y ? 1) ? ? 4( x ? 2)

73

发现一个结论: 2 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 ? y2 ? ? p .
2

M

几何解释,就是
MK ? NK ? KF
2

K?
N

思考: “一条直线和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 ? ? p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?

刚才发现的结论的逆命题是否成立? 已知直线 l 和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交,两个交点的纵坐 p 2 标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 ? ? p ,求证:直线 l 过焦点 F ( , 0) . 2

大胆猜想: 过定点 P (a , 0) (a>0) 的一条直线和抛物线 2 y ? 2 px( p ? 0) 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y1 、y2 ,求证: y1 ? y2 是定值.

选做作业: A 、B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点,满 足 OA ? OB ( O 为坐标原点). 求证 : ⑴ A 、B 两点的横坐标之积, 纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,中点 P(x0,y0) y y ⑴ kOA ? 1 , kOB ? 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2
2 2 y y ∵ y12=2px1,y22=2px2∴ 1 ? 2 ? y1 y2 ? 0 2p 2p ∵ y1≠0,y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 ⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2) 2p 2p y1 ? y2 2p ( x ? x1 ) ∴ ∴ k AB ? ∴直线 AB: y ? y1 ? ? y1 ? y2 y1 ? y2 x1 ? x2 y1 ? y2

y12 ? 2 px1 ? y1 y2 2 px1 2 px 2 px ? ∴ y? ∴ y? ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

∵ y12 ? 2 px1 ,

2 2 px ? 4 p y1 y2 ? ?4 p 2 ∴ y ? ? y1 ? y2 y1 ? y2

2p ( x ? 2 p ) ∴ AB 过定点(2p,0). ∴ y? y1 ? y2

学习小结: 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.

课外思考: 1.求抛物线 y ? 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 (即在抛物线的内部) 的轨迹方程. x ? 2 ( y ≥ 2 2 ) 2.若抛物线 y ? 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直 3 1 线 y ? x ? m 对称,且 x1 x2 ? ? ,则 m ? _____ . 2 2

直线与抛物线的位置关系 ⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交 : 直线与抛物线交于两个不同点 , 或直线与抛物线 的对称轴平行; 相切 : 直线与抛物线有且只有一个公共点 ,且直线不平 行于抛物线的对称轴; 相离:直线与抛物线无公共点. ⑵直线与抛物线的位置关系的判断. 把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是: ①方程组有一组解 ? 直线与抛物线相交或相切(1 个公 共点; ②方程组有两组解 ? 直线与抛物线相交(2 个公共点); ③ 方程组无解 ? 直线与抛物线相离

例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点, 2 另外两个顶点在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上, 求这个三角形的边长。
解:如图,设正三角形OAB的顶 点A、B在抛物线上,且坐标分别 为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 y
A

y ? 2 px1
2 1



y2 ? 2 px2
2

o

x

又|OA|=|OB|,所以x12+y12=x22+y22 即 :x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,
B

? (x1-x2)(x1+x2+2p)=0. ? X1>0,X2>0,2p>0,

y

A

? X =x .
1 2

o

x

由此可得|y1|=|y2|,,即线段 AB关于x轴对称。因为x轴垂直 于AB,且 ?Aox ? 30? , 所以
y1 3 ? tan 30? ? x1 3

B
2

y1 ? x1 ? , 2p

? y1 ? 2 3 p,| AB |? 2 y1 ? 4 3 p.

x2 16y2 1.若双曲线 - 2 =1 的左焦点在抛物线 y2=2px(p>0)的准线 3 p 上,则 p 的值为( A.2 C.4 解析: 由题意知 ) B.3 D.4 2 p2 p 3+ = , 16 2

解得 p=4.

?

答案: C

?

3 .顶点在原点,焦点在 x 轴上且通径长为 6 的 抛物线方程是________.
解析: ∴|y|= 设抛物线的方程为 y =2ax,则 a 2a× = a2=|a|. 2
2

?a ? F?2,0?. ? ?

由于通径长为 6,即 2|a|=6,∴a=± 3. ∴适合题意的抛物线方程为 y2=± 6x.

?

答案: y2=±6x

?

4.设抛物线y =mx的准线与直线x=1的距离 ? m ? ?- 为 ,求抛物线方程. -1?=3,∴m=8 或 m=-16. 则3 ? 4 ?
故所求抛物线方程为 y2=-16x 或 y2=8x.

解析:

m 抛物线 y =mx 的准线方程为 x=- , 4 2
2

1.抛物线 y=-4x2 的焦点坐标是( A.(0,-1)
? 1? C.?0,-16? ? ?

)

B.(0,1)
? 1? D.?0,16? ? ?
2

解析:

1 抛物线方程化为标准式为 x =- y, 4

1 ∴p= ,焦点在 y 轴负半轴上, 8 ∴焦点
? 1? F?0,-16?,故选 ? ?

C.

?

答案: C

x2 y2 2.抛物线的焦点与双曲线 - =1 的焦点重合, 则抛物线的准线 16 9 方程是________. 解析: x2 y2 在双曲线 - =1 中,a2=16,b2=9, 16 9

∴c= a2+b2= 16+9=5, ∴焦点坐标是 F1(-5,0),F2(5,0).

p 当抛物线焦点是 F1(-5,0)时, =5,准线方程是 x=5; 2 p 当抛物线焦点是 F2(5,0)时, =5,准线方程是 x=-5, 2 所以应填 x=-5 或 x=5.

?

答案: x=±5

1 .从几何性质上看,抛物线与双曲线有何区 别和联系? ? (1) 抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较 起来,差别较大,它的离心率为 1 ,只有一个 焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线.它 没有对称中心. ? (2) 抛物线与双曲线的一支,尽管它们都是不 封闭的有开口的光滑曲线,但是它们的图象性 质是完全不同的.事实上,从开口的变化规律 来看,双曲线的开口是越来越阔,而抛物线开 口越来越趋于扁平.
?

1 2 ◎抛物线 y=- x 的焦点坐标是( 2
? 1? A.?0,2? ? ? ? 1? C.?0,-2? ? ?

)

? 1 ? B.?-8,0? ? ? ? 1 ? D.?-2,0? ? ?

?

【错解】 B

【错因】

1 p 1 由于 2p = ,所以 = ,即抛物线的焦点坐标为 2 2 8

? 1 ? ?- ,0?,而这种解法是对抛物线标准方程认识不清楚造成的,事实 ? 8 ?

上应将其转化为标准方程 x2=-2y, 然后再求解, 由条件得 x2=-2y,
? 1? p 1 则 2p=2, = ,即焦点坐标是?0,-2?. 2 2 ? ?

?

【正解】 C


推荐相关:

2.4.2抛物线的简单几何性质(综合)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(综合) - 一、温故知新 (一) 圆锥曲线的统一

2.4.2抛物线的简单几何性质_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质 - 2.4.2抛物线的简单几 何性质(1) 一、

2.4.2抛物线的简单几何性质.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质 - 第二章 圆锥曲线与方程 第二章 2.4 抛物

2.4.2抛物线的简单几何性质(1).doc

2.4.2抛物线的简单几何性质(1) - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,

2.4.2抛物线的简单几何性质(二).ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(二) - 2.4.2抛物线的几何性质(二) 学习

2.4.2抛物线的简单几何性质(1).doc

2.4.2抛物线的简单几何性质(1) - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,

2.4.2-抛物线的简单几何性质 (2)_图文.ppt

2.4.2-抛物线的简单几何性质 (2) - 2.4.2 抛物线的简单几何性质 一、复习回顾: 1、抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F和一条定直线l (l不经 过点F )...

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时) - 抛物线的几何性质 (1) 一.抛

§2.4.2_抛物线的简单几何性质公开课_图文.ppt

§2.4.2_抛物线的简单几何性质公开课 - X §2.4.2 抛物线的简单几何性质(1) 一、温故知新 定义:在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)...

2.4.2抛物线的简单几何性质(二)_图文.doc

2.4.2抛物线的简单几何性质(二)_职高对口_职业教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 2.4.2抛物线的简单几何性质(二)_职高对口_职业教育_教育...

2.4.2抛物线的简单几何性质(2)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - 抛物线的简单几何性质(2) 方程 图形

2.4.2抛物线的简单几何性质(2)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - 抛物线的简单几何性质(2) 复习练习:

§2.4.2_抛物线的简单几何性质(2)_图文.ppt

§2.4.2_抛物线的简单几何性质(2) - X §2.4.2 抛物线的简单几何性质(2) 一、直线与抛物线位置关系种类 1、相离;2、相切;3、相交(一个交点, 两个交点) ...

§2.4.2抛物线的简单几何性质(二)_图文.ppt

§2.4.2抛物线的简单几何性质(二) - X §2.4.2 抛物线的简单几何性质(2) 直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法: 1、根据几何图形判断的直接判断 形 ...

2.4.2_抛物线的简单几何性质(3)_图文.ppt

2.4.2_抛物线的简单几何性质(3) - X §2.4.2 抛物线的简单几 何性质(3) 复习回顾: 1、性质: 抛物线范围,对称性,顶点,离心率,通径, 焦半径 2、位置关系:...

2.4.2抛物线的简单几何性质(1)_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(1) - X 一、温故知新 定义:在平面 内,与

2.4.2抛物线的简单几何性质教学案.doc

2.4.2抛物线的简单几何性质教学案 - 2.4.2 一、内容及其解析 抛物线的简单几何性质(4 课时) 辅备教师:马能礼 主备教师:周雷凤 本次课学的内容是抛物线的一些...

2.4.2抛物线的简单几何性质(第2-3课时)好-理科_图文.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质(第2-3课时)好-理科 - 2.3.2抛物线的简

§2.4.2抛物线的简单几何性质(一)课堂达标课件_图文.ppt

§2.4.2抛物线的简单几何性质(一)课堂达标课件 - §2.4.2抛物线的简单几何性质(一) 授课人:蒋德亮 一、学习目标 1、能够类比椭圆及双曲线的几何 性质,说出...

...数学(人教A版,选修2-1)作业:2.4.2抛物线的简单几何性质.doc

2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-1)作业:2.4.2抛物线的简单几何性质_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 抛物线的简单几何性质 课时目标 1.了解抛物线的几何...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com