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2013届复旦大学附中高三数学一轮复习单元训练:不等式


复旦大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:不等式 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设 M=2a(a-2)+3,N=(a-1)(a-3),a∈R,则有( A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 【答案】B 2.不等式 (a ? 2) x A. (?2,2) 【答案】B 3.今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。当甲、乙两人为一方,丙、丁两人 为另一方时,双方势均力敌;当甲与丙对调以后,甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方; 而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。那么,甲、乙、丙、丁四人的“体力”由强到 弱的顺序是( ) B.乙、丁、甲、丙 D.乙、丁、丙、甲 A.丁、乙、甲、丙 C.丁、乙、丙、甲 【答案】A 4.已知不等式 xy ? ax 围是( )
2

)

2

? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,那么 a 的取值范围是(
B. (?2,2] C. (??,2] D. ( ??,?2)

)

? 2 y 2 ,若对任意 x ? ?1, 2? 及 y ? ? 2,3? ,该不等式恒成立,则实数 a 的范
B. ?3 ? a ? ?1 C. a ? ?3 D. a ? ?1

A. ?1 ? a ? ? 【答案】D

35 9

5.已知 a ? 0, b ? 0 ,以下三个结论:①

2ab a ? b a?b a2 ? b2 ,② ? ? , a?b 2 2 2
) B.1 C.2 D.3

2 2 ③ b ? a ? a ? b ,其中正确的个数是( a b A.0

【答案】D 6.设函数 f ( x) ? 2 x ? A.有最大值 【答案】A 7.实数 a, b 满足 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式正确的是( A. a ? b
b a

1 ? 1( x ? 0) ,则 f (x) ( x
B.有最小值

) D.是减函数

C.是增函数

)

B. a

?b

? b?b
b

C. a 【答案】A

?a

? b?b

D. b ? a
b

8. 某种生产设备购买时费用为 10 万元, 每年的设备管理费用为 9 万元, 这种生产设备的维护费用: 第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依每年 2 千元的增量逐年递增,则这套生产设 备最多使用( A.3 )年报废最划算。 B.5 C.7 D.10

【答案】D 9.若

1 1 b a ? ? 0 ,则下列不等式:①a+b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④ ? ? 2 中,正确的不等 a b a b
) B.②③ C.①④ ) D.③④

式有( A.①② 【答案】C

10.如果 a ? b ,那么下列不等式一定成立的是( A. a ? c ? b ? c C. ? 2a ? ?2b 【答案】A

B. c ? a ? c ? b D. a ? b
2 2

11.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式成立的是(

)

A.a >b 【答案】D

2

2

b B. a <1

C.lg(a-b)>0

?1? ?1? ? ? ?? ? ?3? D. ? 3 ?

x

y

??? ??? ??? ? ? ? ? 12.已知 ?ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足: PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 ? 满足: ??? ??? ? ? ??? ? ) AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为(

A.3 【答案】A

B.

2 3

C.2

D.8

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.设 a, b ? R, a 【答案】1
?2 x ? 1 ? x 14.等式组 ? 的解集是 ?4 x ? 3 x ? 2
2

? 2b 2 ? 6 ,则

b 的最大值是 a?3
.



【答案】 ?1 ? 15.若函数

x?2

f (x) 是定义在(0,+ ? )上的增函数,且对一切 x>0,y>0 满足

f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,则不等式 f ( x ? 6) ? f ( x ) ? 2 f ( 4) 的解
集为 【答案】 (0,+ ? ) 16.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的 ?0 ? y ? 2

距离大于 2 的概率是 【答案】

4 ?? 4
4 4 4 2 2 2 2 2 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.求证:a +b +c ≥a b +b c +c a .

1 4 4 4 2 2 2 2 2 2 【答案】证法 1:∵a +b +c -(a b +b c +c a )= 2 =

[(a -2a b +b )+( b -2a b +c )+( c -2c a +a )]

4

2 2

4

4

2 2

4

4

2 2

4

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 [(a -b ) +(b -c ) +(c -a ) ] ≥0,∴a +b +c ≥a b + b c + c a 。 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

证法 2:不妨设 a ≥b ≥c ,则由排序原理顺序和≥乱序和,得 a ×a +b ×b +c ×c ≥a b + b c +c a , 即 a +b +c ≥a b + b c +c a ,当且仅当 a = b = c 时,等号成立. 18.已知 26 辆货车以相同速度 v 由 A 地驶向 400 千米处的 B 地,每两辆货车间距离为 d 千米,现 已知 d 与 v 的平方成正比,且当 v=20(千米/时)时,d=1(千米) . (1)写出 d 与 v 的函数关系; (2)若不计货车的长度,则 26 辆货车都到达 B 地最少需要多少小时?此时货车速度是多少? 【答案】 (1)设 d=kv (其中 k 为比例系数,k>0) ,由 v=20,d=1 得 k=
2

1 1 2 ∴d= v 400 400

(2)∵每两列货车间距离为 d 千米,∴最后一列货车与第一列货车间距离为 25d,∴最后一列货车 达到 B 地的时间为 t=

400 25d 1 2 ,代入 d= ? v 得 v v 400

t=

400 v 400 v =10,当且仅当 v=80 千米/时等号成立。∴26 辆货车到达 B 地最少用 ? ≥2 v 16 v 16
x 2 ? ax ? 2a 2

10 小时,此时货车速度为 80 千米/时。 19. 设命题 P: 关于 x 的不等式 a 的定义域为 R。 如果 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围 【答案】(1)依题得: y ? 50 12 x ? ?
2

>1(a>0 且 a≠1)为{x|-a<x<2a};命题 Q: y=lg(ax -x+a)

2

? ?

x( x ? 1) ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40 x ? 98. (x ? N*) 2 ?

(2)解不等式 ?2 x ? 40 x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? ∵x ? N ,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。
*

51

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 当且仅当 2x ? 时,即 x=7 时等号成立. x ? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.
(3) (Ⅰ)? (Ⅱ)y=-2x +40x-98=-(x-10) +102,当 x=10 时,ymax=102 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理. 20.已知正数 a、b、c 满足 a ? b ? 2c ,求证: c ? 【答案】要证 c ? 只需证 ?
2 2

c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab .

c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab ,

c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab ,

即只要证 | a ? c |?

c 2 ? ab

? 两边都是非负数,

? 只要证(a ? c) 2 ? c 2 ? ab, 只要证a 2 ? 2ac ? ?ab 即只要证a (a ? b) ? 2ac, ? a ? 0, 只需证a ? b ? 2c,
这就是已知条件, 且以上各步都可逆,

? c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab .
21.已知 a,b∈R,且 a+b=1.求证: ?a ? 2 ? ? ?b ? 2 ? ?
2 2

25 . 2

【答案】? a, b ? R, a ? b ? 1,? b ? 1 ? a

?? a ? 2? ? ?b ? 2? ?
2 2

25 9 ? a 2 ? b 2 ? 4(a ? b) ? 2 2 9 1 1 ? a 2 ? (1 ? a ) 2 ? 4 ? ? 2a 2 ? 2a ? ? 2(a ? ) 2 ? 0 2 2 2 25 1 2 2 即 ?a ? 2 ? ? ?b ? 2 ? ? (当且仅当 a ? b ? 时,取等号) 2 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 22.已知关于 x,y 的二元一次不等式组 ? x ? y ? 1 ?x ? 2 ? 0 ?
(1)求函数 u=3x-y 的最大值和最小值; (2)求函数 z=x+2y+2 的最大值和最小值.

?x ? 2 y ? 4 ? 【答案】 (1)作出二元一次不等式组 ? x ? y ? 1 ,表示的平面区域,如图所示: ?x ? 2 ? 0 ?

由 u=3x-y,得 y=3x-u,得到斜率为 3,在 y 轴上的截距为-u,随 u 变化的一组平行线, 由图可知,当直线经过可行域上的 C 点时,截距-u 最大,即 u 最小,
? ?x+2y=4, 解方程组? ? ?x+2=0,

得 C(-2,3),

∴umin=3×(-2)-3=-9. 当直线经过可行域上的 B 点时,截距-u 最小,即 u 最大,

? ?x+2y=4, 解方程组? ? ?x-y=1,

得 B(2,1),

∴umax=3×2-1=5. ∴u=3x-y 的最大值是 5,最小值是-9.

?x+2y≤4, ? (2)作出二元一次不等式组?x-y≤1, ?x+2≥0 ?

表示的平面区域,如图所示.

1 1 1 1 由 z=x+2y+2,得 y=- x+ z-1,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为 z-1,随 z 变化的一组 2 2 2 2 平行线, 1 由图可知,当直线经过可行域上的 A 点时,截距 z-1 最小,即 z 最小, 2
?x-y=1, ? 解方程组? ? ?x+2=0,

得 A(-2,-3),

∴zmin=-2+2×(-3)+2=-6. 当直线与直线 x+2y=4 重合时,截距 1 z-1 最大, 2

即 z 最大, ∴zmax=4+2=6. ∴z=x+2y+2 的最大值是 6,最小值是-6.


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