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2018版高考数学一轮复习1.2命题及其关系充分条件与必要条件课件理_图文

必考部分

第一章

集合与常用逻辑用语

§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

考纲展示? 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆 否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

考点 1

命题及其相互关系

1.命题 概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以
真假 判断______________ 的陈述句

特点 (1)能判断真假;(2)陈述句 分类
假 真 ______________ 命题、______________

命题

2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:

答案:(1)若 q,则 p

若綈 p,则綈 q

若綈 q,则綈 p

(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题 ________,
逆命题 . 原命题的否命题等价于________ 在四种形式的命题中真命题的 0,2,4 . 个数只能是________

(1)[教材习题改编]命题“若 m<0,则方程 x2+x-2m=0 有
2 若 m ≥ 0 ,则方程 x +x-2m=0 无实根 . 实根”的否命题是_____________________________________

(2)[教材习题改编]“若 a,b 都是偶数,则 ab 必是偶数”的

若 ab 不是偶数,则 a,b 不都是偶数 逆否命题为_________________________________________ .

命题中的易错点:对条件、结论的否定不当. “单调函数不是周期函数”的逆否命题是
周期函数不是单调函数 ____________________________________________________.

解析: 原命题可改写为“若函数是单调函数, 则函数不是周 期函数”, 故其逆否命题是“若函数是周期函数, 则函数不是单 调函数”,简化为“周期函数不是单调函数”.

[典题 1] ( C )

(1)命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题是

A.若 a>b,则 a-1≤b-1 B.若 a>b,则 a-1<b-1 C.若 a≤b,则 a-1≤b-1 D.若 a<b,则 a-1<b-1

[解析]

根据否命题的定义可知,命题“若 a>b,则 a-1>b

-1”的否命题应为“若 a≤b,则 a-1≤b-1”.

(2)[2017· 宁夏银川模拟]命题“若 x2+y2=0,x,y∈R, 则 x=y=0”的逆否命题是( D )

A.若 x≠ y≠0,x,y∈R,则 x2+y2=0 B.若 x=y≠0,x,y∈R,则 x2+y2≠0 C.若 x≠0 且 y≠0,x,y∈R,则 x2+y2≠0 D.若 x≠0 或 y≠0,x,y∈R,则 x2+y2≠0

[解析]

将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由

x=y=0 知 x=0 且 y=0,其否定是 x≠0 或 y≠0.

(3)已知:命题“若函数 f(x)=e x-mx 在(0,+∞)上是增函数, 则 m≤ 1”,则下列结论正确的是( D )

A.否命题是“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数, 则 m>1”,是真命题 B.逆命题是“若 m≤ 1,则函数 f(x)=e x-mx 在(0,+∞)上 是增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=e x- mx 在(0,+∞) 上是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=e x-mx 在(0,+∞) 上不是增函数”,是真命题

[解析]

由 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 f′(x)

=ex-m≥0 恒成立,∴m≤1. ∴命题 “若函数 f(x)=e x- mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”是真命题, ∴其逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞) 上不是增函数”是真命题.

[点石成金]

1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:

(1)对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命 题是假命题,只需举出反例即可. 3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同 真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为 判断其等价命题的真假.

考点2

充分条件、必要条件 的判定

充要条件

答案: 充分 子集 充要

必要

充分不必要

真子集 包含

必要不充分



A =B

既不充分也不必要

1.充要条件的易混点:混淆条件的充分性和必要性.

必要不充分 条件. “x(x-1)=0”是“x=1”的_____________
解析:x(x-1)=0?x=0 或 x=1;反之,由 x= 1 可得 x(x -1)=0.故“x(x-1)=0”是“x=1”的必要不充分条件.

2.充要条件的易错点:否定形式下充分条件、必要条件判 断错误.
必要不充分 “a≠b”是“a2≠b2”的________________ 条件.

解析: 由 a≠b 不能得到 a2≠b2, 但由 a2≠b2 一定得出 a≠b, 故为必要不充分条件.

1.充分、必要条件的判断方法:定义判断法;集合判断法. (1)[2014· 浙江卷改编]设四边形 ABCD 的两条对角线分别为 AC , BD , 则 “ 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ” 是 “AC ⊥ BD” 的

充分不必要 __________________ 条件.
解析:若四边形 ABCD 为菱形,则 AC⊥BD;反之,若 AC ⊥BD,则四边形 ABCD 不一定为菱形.故“四边形 ABCD 为菱 形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.

(2)[2015· 安徽卷改编]设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q

必要不充分 条件. 成立的_____________
解析:因为 p:x<3,q:-1<x<3,所以 q?p,但 p? / q, 所以 p 是 q 成立的必要不充分条件.

2.充要条件的两个结论:传递性;等价性. (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 r 的充分不必要条件,

充分不必要 条件. 则 p 是 r 的______________
解析:根据充分条件的概念可知,p?q,q?r,则 p?r.又 因为 q? / p,r? / q,则 r? / p,所以 p 是 r 的充分不必要条件.

充分不必要 (2)若 p 是 q 的充分不必要条件, 则綈 q 是 綈 p 的____________

条件
解析: 因为原命题和它的逆否命题是等价命题,所以 綈 q 是綈 p 的充分不必要条件.

[典题 2] 的( A )

(1)设 x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x -2>0”

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

[解析]

|x-2|<1 ?1<x<3,x2+x-2>0?x>1 或 x <-2.

由于{x |1<x<3}是{x |x>1 或 x<-2}的真子集, 所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.

(2)若 p 是綈 q 的充分不必要条件,则綈 p 是 q 的( B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

[解析]

∵p 是綈 q 的充分不必要条件,

∴綈 q 是 p 的必要不充分条件. ∴綈 p 是 q 的必要不充分条件,故选 B.

(3)已知 a,b∈R,下列四个条件中,使 a>b 成立的必要 不充分的条件是( A A.a>b-1 C. |a |>|b | ) B.a>b+1 D.2a>2b

[解析]

因为 a>b?a>b-1,但 a>b-1?/ a>b,故 A 是 a>b

的必要不充分条件;B 是 a>b 的充分不必要条件;C 是 a>b 的既 不充分也不必要条件;D 是 a>b 的充要条件.

[点石成金]

充要条件的三种判断方法

(1)定义法:根据 p?q,q?p 进行判断. (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进 行判断. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性, 把判 断的命题转化为其逆否命题进行判断. 这个方法特别适合以否定 形式给出的问题,常用的是逆否等价法.如 “xy≠1” 是 “x≠1 或 y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy =1”的某种条件.

①綈 q 是綈 p 的充分不必要条件?p 是 q 的充分不必要条件; ②綈 q 是綈 p 的必要不充分条件?p 是 q 的必要不充分条件; ③綈 q 是綈 p 的充要条件?p 是 q 的充要条件.

1.[2017· 山东淄博模拟]“a = 2”是“函数 f(x) = x2- 2ax -3 在区间[2,+∞)上为增函数”的( A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析: “a=2”?“函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[2, + ∞) 上为增函数”,但反之不成立.

2.[2017· 河北武邑中学高三上期中]设 a,b∈R,则“(a -b)a2≥0”是“a≥b”的( B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析: 若 “(a - b)a2≥0” ,则 “a≥b” 不成立,故 “(a - b)a2≥0” 不 是 “a≥b” 的 充 分 条 件 ; 若 “a≥b” , 则 “(a - b)a2≥0”成立, 故“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的必要条件, 故选 B.

考点3

充分条件、必要条件 的应用

[典题3]

(1)[2017· 江西南昌模拟]已知条件p:|x -

4|≤6;条件q :(x-1)2-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要 条件,则m的取值范围是( B A.[21,+∞) C.[19,+∞) )

B.[9,+∞) D.(0,+∞)

[解析]

条件 p:-2≤x≤10,条件 q:1-m≤x≤m+1,

又因为 p 是 q 的充分不必要条件,
? ?1-m≤-2, 所以有? ? ?1+m≥10,

解得 m≥9.

(2)已知 P={x |x2-8x-20≤0},非空集合 S={x |1 -m≤x≤1
[0,3] +m}. 若 x∈P 是 x∈S 的必要条件, 则 m 的取值范围为________ .

[解析]

由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10,

∴P={x |-2≤x≤10}, 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件,知 S? P. ?1-m≤1+m, ? 则?1-m≥-2, ?1+m≤10, ?

∴0≤m≤3.

所以当 0≤m≤3 时,x∈ P 是 x∈S 的必要条件,即所求 m 的取值范围是[0,3].

[题点发散 1]

本例(2)条件不变,问是否存在实数 m,使 x

∈P 是 x∈S 的充要条件.

解:若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
? ?1-m=-2, ∴? ? ?1+m=10, ? ?m=3, ∴? ? ?m=9,

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件.

[题点发散 2]

本例(2)条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充

分条件,求实数 m 的取值范围.
解:由例题知 P={x |-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S ? / P. ∴[-2,10]? [1-m,1+m],
?1-m≤-2, ? ∴? ? ?1+m>10 ?1-m<-2, ? 或? ? ?1+m≥10,

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞).

[点石成金]

充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数

问题的求解上.解题时需注意: (1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关 系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 ( 或不等式 组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.

1.已知 p:x>1 或 x<-3,q: x>a,若 q 是 p 的充分不必 要条件,则 a 的取值范围是( A A.[1,+∞) C.[-3,+∞) )

B.(-∞,1] D.(-∞,-3)

解析:解法一:设 P={x |x>1 或 x<-3},Q={x |x >a},因为 q 是 p 的充分不必要条件,所以 Q? P,因此 a≥1. 解法二:令 a=-3,则 q:x>-3,则由命题 q 推不出命题 p,此时 q 不是 p 的充分条件,排除 B, C;同理,取 a=-4, 排除 D.故选 A.

1 1 2. 已知不等式 |x-m |<1 成立的充分不必要条件是 3<x<2, 则 m 的取值范围是( D
? 1? A. ?-∞,- ? 2? ? ? 4 1? C.?-3,2? ? ?

)
?4 ? B.? ,+∞? ?3 ? ? 1 4? D.?-2,3? ? ?

解析:由|x-m |<1 得 m-1<x<1+m, 1 1 又因为 |x-m |<1 的充分不必要条件是 <x< ,借助数轴,所 3 2 1 ? ?m-1≤3, 以? ?m+1≥1, 2 ? 1 4 解得- ≤m≤ . 2 3

[方法技巧]

1.判断四种命题间关系的方法

写出一个命题的逆命题、 否命题及逆否命题的关键是分清原 命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题、逆命题、 否命题以及逆否命题的真假时, 要借助原命题与其逆否命题同真 或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定.

2.充分、必要条件的判断方法 (1)定义法: 直接判断“若 p, 则 q”“若 q, 则 p ”的真假即 可. (2)利用集合间的包含关系判断: 设 A={x|p(x)}, B={x |q(x)}, 若 A?B,则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件;若 A? B, 则 p 是 q 的充分不必要条件;若 A=B,则 p 是 q 的充要条件.

[易错防范]

1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题

时,必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结 构,可以先把命题改写成“若 p,则 q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注 意“A 是 B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是 B” 的区别,要正确理解“p 的一个充分不必要条件是 q”的语言.


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