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公开课教案——函数的单调性与导数

2015-2016 学年第 1 学期禹王中学公开课

课题:导数的应用——函数的单调性
时间:2015 年 12 月 23 日 节次:第四节课 班级:高二文(1)班 教师:邵磊

教学目标: 1、 知识目标:使学生了解可导函数的单调性与其导数的关系,掌握如何利用导 数符号判断函数的单调区间和证明函数的单调性,提高学习导数和应用导数 的意识。 2、能力目标:使学生提高用新知识解决复杂函数单调性的能力;培养学生数形 结合的数学思想。 3、德育目标: 通过带领学生对实例的分析培养学生用普遍联系的观点看待事物, 加强师生间的交流,感受数学内容的统一性。 教学重点: 如何利用导数的符号判断函数的单调区间 教学难点: 导数符号与函数单调性的关系 教学方法、教学手段: 教学方法:建够式教法 或建立模型式教学方法 通过让学生观察图象,判断切线斜率的正负号,并结合导数的几何意义, 得到 f ' ( x) 的正负号,从而得到判断函数单调性的新方法。 教学手段:计算机课件演示 教学课时:1 课时 教学过程: [设置情境,引入新课] 提出问题: 1、函数 y ? f(x) 的导数的几何意义是什么? 2、判断函数单调性的方法有几种? 3、函数 f ( x ) 在某个区间上是增函数(减函数)的意义? [观察图象,探索研究] 带领学生一起通过计算机演示观 1 ? x 2 ? 2x ? 1 察 下 面 函 数 f(x) 3 的图象:

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请同学回答问题: (1) 此函数在哪个区间内是增函数?哪个区间是减函数? 1 ? x 2 ? 3 x ? 1 的导数有 (2) 在增区间或减区间内曲线的切线的斜率和 f(x) 2 什么特征呢? 说明: (1)为了让学生更直观地理解,利用几何画板进行计算机演示, (2)同时也培养学生数形结合的数学思想。 学生活动: 通过讨论分析,得出结论,列出表格: 1 切线的斜率 ' f(x) ? x 2 ? 3x ? 1 f( x) 2 ??) ( ? 3, 增函数 正 大于 0 ?3) (- ?, 减函数 负 小于 0 继续向学生提问:能否根据函数的导数的正负来判断函数的单调性呢? 学生回答,老师板书: 定理:设函数 y ? f(x) 在某个区间内可导
' (1)如果 f( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数; ' (2)如果 f( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数。

在学生得出上面结论的基础上提问:如果在某个区间内恒有 f‘ 是 (x) ? 0 , f(x) 什么函数? 学生活动:相互讨论交流,回答:函数 f(x) 为常函数。同时老师板书。 [运用知识,解决问题] 例 1、确定函数 f(x)=x2-2x+4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 处理方式: 让学生先根据以前的知识将函数的图象画出来,找出相应的单调 区间,然后利用新知识加以判断。 学生活动: 解:f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2. 令 2x-2>0, 解得 x>1. ∴当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. 令 2x-2<0,解得 x<1. ∴当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 说明:先让学生从“形”的角度上得出结论,然后用导数的 符号加以判断, 这样不仅起到了对定理的验证, 而且还培养

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了学生“数”与“形”的结合思想。 例 2、确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 处理方式:由于学生对这个函数图象比陌生,因此,让学生先利用新学的定 理确定出单调区间,然后根据结论画出相应函数的草图。 学生活动: 解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x 令 6x2-12x>0,解得 x>2 或 x<0 ∴当 x∈(-∞, 0)时, f′(x)>0, f(x)是增函数. 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数. 令 6x2-12x<0,解得 0<x<2. ∴当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 说明: 这道例题处理方式有别于例 1, 是因为学生利用 图 3—18 以往知识来研究高次函数的单调区间很困难,因此, 先利用导数符号确定单调区间,不仅让学生体会到导 数的优越性,而且又从“数”回到“形” ,让“数”与“形”有机的结合起来, 使学生更直观地认识这一函数。 通过解决这两道例题, 让学生明白利用导数符号可以确定单调区间,尤其是复杂 函数的单调区间,请学生总结提炼出利用定理确定单调区间的步骤。 学生活动: 步骤: (1)先求函数 y ? f(x) 的定义域;
' (2)求导数 y' ? f( ; x) ' ( 3 )解不等式 f( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;解不等式 ' f( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间。

例 3、证明函数 y ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 1在区间(-2,1)内是减函数。 学生活动:写出证明过程 证明: y ' ? 6x 2 ? 6x ? 12 当 x ? (?2,1) 时, y ' ? 0 所以函数 y ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 1在区间(-2,1)内是减函数。 增选例题 3 的说明(1)是为了下节求函数的极值做准备,这样可以起到承上起 下的作用, (2 )是让学生明白利用导数的符号也可以证明函数的单调 性, (3) 进一步说明用导数符号证明复杂函数单调性要比用函数 单调性的定义证明要简捷,体现了导数的广泛应用。 [练习反馈,巩固知识] 学生活动:完成教材第 128 页练习 1、2

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[小结归纳,知识重现] 老师带领学生小结: 1、这节课主要学习了利用导数符号确定函数单调区间及证明函数单调性的方 法: 定理:设函数 y ? f(x) 在某个区间内可导
' (1)如果 f( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数; ' (2)如果 f( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数,

' (3) 如果 f( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数。

2、确定函数单调区间时,首先确定函数的定义域,然后再利用导数的符号来判 断相应的单调区间。 3、应用导数的符号可以解决一些复杂函数单调性的问题,提高应用导数知识的 意识。 课后作业: 课后反思:


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