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2018-2019学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程讲义 新人教A版必修2

章 圆与方程

4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程

[学习目标] 1.了解二元二次方程、圆的标准方程与 圆的一般方程之间的关系(重点). 2.理解圆的一般方程 及其特点,会用待定系数法求圆的方程,并能把圆的一般 方程转化为标准方程(重点、难点). 3.掌握二元二次方 程表示圆的条件,并会应用坐标法求动点的轨迹(方程)(难 点、易错点).

1.圆的一般方程的概念 当 D2+E2-4F>0 时,二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey +F=0 叫做圆的一般方程.

2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2- 4F>0)表示的圆的圆心为_???-__D_2_,__-__E2_???__,半径长为 __12__D_2_+__E_2_-__4_F__.

温馨提示 如果 x2,y2 的系数相等,且是不为 1 的非 零常数,只需在方程的两边同除以这个数,系数就可变为 1.

1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) (2)二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 一定是某个 圆的方程.( ) (3) 方 程 x2 + y2 - 2x + Ey + 1 = 0 表 示 圆 , 则 E≠0.( )

解析:(1)圆的一般方程与标准方程可以互化,故(1) 正确.
(2)二元二次方程表示圆的方程需满足 D2+E2-4F>0 故(2)不正确.
(3)由圆的方程的一般式定义知(3)正确. 答案:(1)√ (2)× (3)√

2.圆 x2+y2+4x-6y-3=0 的圆心和半径分别为 ()
A.(4,-6),r=16 B.(2,-3),r=4 C.(-2,3),r=4 D.(2,-3),r=16 解析:由圆的一般方程可知圆心坐标为(-2,3),半 径 r=12 42+(-6)2+12=4.
答案:C

3.方程 x2+y2+2ax-2y+a2+a=0 表示圆,则实数

a 的取值范围是( )

A.a≤1

B.a<1

C.a>0

D.0<a<1

解析:由 D2+E2-4F>0,得(2a)2+(-2)2-4(a2+

a)>0,即 4-4a>0,解得 a<1,故选 B.

答案:B

4.若方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(2,-4) 为圆心,4 为半径的圆,则 F=________.
解析:由-D2=2,-E2=-4,12 D2+E2-4F=4, 解得 F=4.
答案:4

5.若方程 x2+y2-4x+2y+5k=0 表示圆,则实数 k 的取值范围是________.
解析:由 D2+E2-4F=(-4)2+22-4×5k=20-
20k>0 得 k<1.
答案:k<1

类型 1 圆的一般方程的概念(自主研析)
[典例 1] 下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出 圆心和半径.
(1)x2+2y2-7x+5=0; (2)x2-xy+y2+3x+5y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)-2x2-2y2+10y=0.

解:(1)由于 x2,y2 的系数不相等,故不表示圆. (2)由于该方程中含有 xy 这样的二次项,故不表示圆. (3)方程 x2+y2-2x-4y+10=0 可化为(x-1)2+(y- 2)2=-5,显然不表示圆. (4)方程-2x2-2y2+10y=0 可化为 x2+???y-52???2=245, 所以其可以表示以???0,52???为圆心,以52为半径的圆.

归纳升华 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的两种判断方法 1.配方法.对形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的二元 二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否 表示圆. 2.运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2+E2-4F 是否为正,确定它是否表示圆.

[变式训练] 若方程 x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0 表示圆.
(1)求实数 m 的取值范围; (2)求圆心坐标和半径. 解:(1)据题意知
D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,

即 4m2+4-4m2-20m>0,解得 m<15, 故 m 的取值范围为???-∞,15???. (2)将方程 x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0 写成标准 方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径 r= 1-5m.

类型 2 求圆的方程 [典例 2] (1)已知圆经过 A(2,-3)和 B(-2,-5), 若圆心在直线 x-2y-3=0 上,求圆的方程; (2)求过点 A(-1,0),B(3,0)和 C(0,1)的圆的方程. 解:(1)法一 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则

??4+(-3)2+2D+(-3)E+F=0, ??(-2)2+(-5)2+(-2)D+(-5)E+F=0, ???-D2 -2·???-E2???-3=0.
??D=2, ? 所以?E=4, ? ??F=-5.
所以圆的方程为 x2+y2+2x+4y-5=0.

法二 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则

??(2-a)2+(-3-b)2=r2, ??a=-1,

??(-2-a)2+(-5-b)2=r2,???b=-2,

?

?

??a-2b-3=0,

??r2=10.

所以圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

法三 线段 AB 中垂线的方程为 2x+y+4=0.它与直 线 x-2y-3=0 的交点(-1,-2)为圆心,由两点间距离 得 r2=10,
所以圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

(2)法一 设圆的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0,(*)

把 A、B、C 三点坐标代入方程(*)得

??1-D+F=0, ??D=-2,

?

?

?9+3D+F=0,所以?E=2,

?

?

??1+E+F=0, ??F=-3.

故所求圆的方程为 x2+y2-2x+2y-3=0.

法二 线段 AB 的中垂线方程为 x=1,线段 AC 的中

垂线方程为 x+y=0,

??x=1,

由?

得圆心坐标为 M(1,-1),

??x+y=0,

半径 r=|MA|= 5,

所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.

归纳升华 1.求圆的方程的基本方法:确定圆的方程需要三个 独立条件,“选标准,定参数”是解题的基本方法.其中, 选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式,进而确 定其中三个参数.一般来讲,条件涉及圆上的点多,可选 择一般方程,条件涉及圆心与半径,可选择标准方程.

2.求圆的方程的一般步骤: (1)根据题意选用圆的两种形式的方程中的一种; (2)根据所给条件,列出关于 D,E,F 或 a,b,r 的 方程组; (3)解方程组,求出 D,E,F 或 a,b,r 的值,并把 它们代入所设的方程中,得到所求的圆的方程.

[变式训练] 求经过点 A(1, 5)和 B(2,-2 2),且 圆心在 x 轴上的圆的方程.
解:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2- 4F>0).
因为圆心在 x 轴上,所以-E2=0,即 E=0.

又因为圆过点 A(1, 5)和 B(2,-2 2), 所以 12+( 5)2+D+F=0,22+(-2 2)2+2D+F= 0, 即 D+F+6=0,① 2D+F+12=0.②

??D=-6, 联立①②,解得?
??F=0. 故所求圆的方程为 x2+y2-6x=0.

类型 3 求与圆有关的动点的轨迹(方程)
[典例 3] 等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边的一个 端点是 B(3,5),求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它 的轨迹是什么.
解:设另一端点 C 的坐标为(x,y). 依题意,得|AC|=|AB|.
由两点间距离公式,

得 (x-4)2+(y-2)2= (4-3)2+(2-5)2,
整理得(x-4)2+(y-2)2=10. 这是以点 A(4,2)为圆心,以 10为半径的圆,如图 所示,又因为点 A,B,C 为三角形的三个顶点,所以 A, B,C 三点不共线,即有点 B,C 不能重合,所以 C 点的 横坐标 x≠3.

x+3 而且点 B,C 不能为一直径的两端点,所以 2 ≠4, 点 C 的横坐标 x≠5. 故端点 C 的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,x ≠5), 所以端点 C 的轨迹是以 A(4,2)为圆心, 10为半径 的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.

归纳升华 1.求轨迹方程的三种常用方法. (1)直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点 坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明. (2)定义法:动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利 用定义写出动点的轨迹方程.

(3)代入法:若动点 P(x,y)依赖于某圆上的一个动点 Q(x1,y1)而运动,把 x1,y1 用 x,y 表示,再将 Q 点的坐 标代入到已知圆的方程中得 P 点的轨迹方程.
2.(1)求出轨迹方程后应说出最后是什么样的图形; (2)要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.

[变式训练] 设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2 =4 上运动,以 OM,ON 为两边作?MONP,求点 P 的轨 迹方程.
解:如图所示,
设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为???x2,2y???, 线段 MN 的中点坐标为????x0-2 3,y0+2 4????.
因为平行四边形的对角线互相平分, 故x2=x0-2 3,2y=y0+2 4,

则?????xy00==yx-+43,,即 N(x+3,y-4). 又点 N 在圆 x2+y2=4 上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 直 线 OM 与 轨 迹 相 交 于 两 点 ???-195,152??? 和 ???-251,258???,不合题意,舍去. 因此点 P 的轨迹为圆,其轨迹方程为(x+3)2+(y- 4)2=4. 且不包括???-195,152???和???-251,258???两点.

1.任何一个圆的方程都可写成 x2+y2+Dx+Ey+F =0 的形式,但方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的曲线 不一定是圆,只有 D2+E2-4F>0 时,方程才表示圆心为 ???-D2,-E2???,半径为 r=12 D2+E2-4F的圆.

2.在圆的方程中含有三个参数,因此必须具备三个 独立条件才能确立一个圆.求圆的方程时是选用标准方 程还是一般方程的依据:当给出的条件与圆心坐标、半 径有关,或者由已知条件容易求得圆心和半径时,一般 用标准方程.当上述特征不明显时,常用一般方程,特 别是给出圆上三点,用待定系数法求圆的方程时,常用 一般式.


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