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高中数学新课程创新教学设计案例50篇(25)圆的方程


25 圆的方程

教材分析
圆是学生比较熟悉的曲线, 在初中几何课中就已学过圆的定义及性质. 这节主要是用坐标的 方法画圆———建立圆的方程.首先是根据圆的定义,建立圆的标准方程,进而研究圆的一 般方程,并在此基础上,运用坐标法,探讨直线与圆、圆与圆的位置关系.由于圆是一种对 称、和谐的图形,有很多优美的几何性质,因此,在运用坐标法解决问题的同时,充分利用 了圆的几何性质.这节课的重点是圆的两种方程的求法及互化,直线与圆位置关系、数量关 系的判定与求解.难点是对待定系数法、数形结合等方法的理解及灵活应用.

教学目标
1. 理解和掌握圆的标准方程和一般方程,并会熟练地进行方程的互化,能根据条件灵活选 用适当的方法建立圆的方程. 2. 在直线的方程、圆的方程的基础上,用代数、几何两种方法研究直线与圆的位置关系. 3. 初步学会用待定系数法、数形结合法解决与圆有关的一些简单问题. 4. 能应用圆的方程解决一些简单的实际问题,培养学生应用数学分析、解决实际问题的能 力.

任务分析
圆是学生比较熟悉的一种曲线,建立圆的方程也比较容易.学习时,应根据问题条件,灵活 适当地选取方程形式,否则,可能导致解题过程过于烦锁.在解决直线与圆、圆与圆位置关 系问题时,要尽可能挖掘、应用关于圆的隐含条件,要注意数形结合、待定系数法的应用.

教学设计
一、问题情境 圆是最完美的曲线,它是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合.定点是圆心,定长是 半径.在平面直角坐标系中,怎样用坐标的方法刻画圆呢? [问 题] 河北省赵县的赵州桥, 是世界著名的古代石拱桥, 也是造成后一直使用到现在的最古老的石 桥.赵州桥的跨度是 37.02m,圆拱高约为 7.2m.建立适当的平面直角坐标系,写出这个圆 拱所在的圆的方程.

解析:要求圆的方程,只要确定圆心的位置和半径的大小.

第一步:以圆拱对的弦所在的直线为x轴、弦的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系.根据平 面几何知识可知,圆拱所在圆的圆心 O 必在 y 轴上,故可设 O1(0,b). 第二步:设圆拱所在圆的半径为 r,则圆上任意一点 P(x,y)应满足 O1P=r,即

① 因此,只须确定 b 和 r 的值,就能写出圆的方程. 第三步:将点 B(18.51,0),C(0,7.2)分别代入①,



解得 故赵州桥圆拱所在的圆的方程为 x2+(y+20.19)2=750.21. 二、建立模型 (1)一般地,设点 P(x,y)是以 C(a,b)为圆心、r 为半径的圆上的任意一点,则 CP =r.

由两点间的距离公式,得 ① 即(x-a)2+(y-b)2=r2.



反过来,若点 P1 的坐标(x1,y1)是方程①的解,

则(x1-a)2+(y1-b)2=r2,即 这说明点 P1(x1,y1)在以 C(a,b)为圆心、r 为半径的圆上. 结论:方程(x-a)2+(y-b)2=r2 叫作以(a,b)为圆心、r 为半径的圆的标准方程. 特别地,当圆心为原点 O(0,0)时,圆的方程为 x2+y2=r2. 三、解释应用(1) [例 题] 1. 已知两点 M(4,9),N(2,6),求以 MN 为直径的圆的方程. 分析:先利用两点间距离公式求出半径 r,然后分别将两点的坐标代入圆的标准方程,解方 程组求出 a,b. 2. 已知动点 M(x,y)与两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离之比为 1∶2,那么点 M 的坐标应满足什么关系?请你根据这个关系,猜想动点 M 的轨迹方程.

解:根据题意,得 即 x2-2x+y2-3=0, ① 变形,得(x-1)2+y2= 4.



由方程①通过配方化为②,可知动点 M 的轨迹是以(1,0)为圆心、2 为半径的圆. 思考:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否都表示圆呢? [练 习] 写出满足下列条件的圆的方程. (1)圆心在原点,半径为5. (2)圆心在 C(6,-2),经过点 P(5,1). 思考:点 P(x0,y0)与(x-a)2+(y-b)2=r2 位置关系的判断方法是什么?

四、建立模型(2)

将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方,得 圆的标准方程比较,可知

,与

(1)当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(- 以 为半径的圆.

,-

)为圆心、

(2)当 D2+E2-4F=0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有一个解,表示一个点(- - ).



(3)当 D2+E2-4F<0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 无实数解,不表示任何图形. 结论:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程. 思考:(1)圆的标准方程与一般方程的特点. 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心及半径,而一般方程突出了方程形式上的特 点:x2,y2 的系数相同且不等于 0,没有 xy 这样的项,是特殊的二元一次方程. (2)探讨一般的二元一次方程:Ax2+Cy2+Bxy+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件. Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件为 A=C≠0,B=0 且 D2+E2-4F>0. 五、解释应用(2) [例 题] 1. 求过三点 O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心 坐标. 分析:确定圆的一般方程,只要确定方程中三个常数 D,E,F,为此,用待定系数法. 解:设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为 O,M1,M2 在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程, 得

于是,得到所求圆的方程:x2+y2-8x+6y=0.

由前面的讨论可知,所求的圆的半径 思考:本题能否利用圆的标准方程求解?有无其他方法?

,圆心坐标是(4,-3).

2. 已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶.问:一辆宽为 2.7m、高为 3m 的货运车能不能驶入这个隧道? 解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴,建立直角坐标 系如图 25.2,那么半圆的方程为 x2+y2=16,(y≥0).

将 x=2.7 代入,得 即离中心线 2.7m 处,隧道的高度低于货车的高度. 因此,货车不能驶入这个隧道. 思考:假设货车的最大宽度为 am,那么货车要驶入该隧道,限高至少为多少米? [练 习] 1. 求经过三点 A(-1,5),B(5,5),C(6,2)的圆的方程. 2. 求过两点 A(3,1),B(-1,3)且圆心在直线 3x-y-2=0 上的圆的方程. 六、拓展延伸 1. 自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线,求切线 l 的方程. 思考:(1)当点A的坐标为(2,2)或(1,1)时,讨论该切线 l 与圆的位置关系分别有 什么变化? (2)如何判定直线与圆的位置关系的判定方法. 直线与圆的位置关系的判定常用两种方法: 几何法和代数法.若直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2 =r2.

①几何法

设圆心(a,b)到直线 l 的距离为 d,则 d>r d=r d<r l 与 c 相离; l 与 c 相切; l 与 c 相交.

②代数法

Δ>0 Δ=0

方程有两个不同解 方程组有两个不同解 相切;Δ<0 相离.

l 与 C 有两个不同交点

相交;

2. 若圆 x2+y2=m 与圆 x2+y2+6x-8y-11=0 有公共点,求m的取值范围. 思考:如何判定圆与圆的位置关系. 圆与圆的位置关系的判定主要就是几何法. 已知

,则 d>r1+r2 d=r1+r2 C1 与 C2 外离; C1 与 C2 相外切; C1 与 C2 相内切; C1 与 C2 相交;

d=|r1-r2|

|r1-r2|<d<r1+r2 d<|r1-r2|

C1 与 C2 内含.

3. 画出方程:|x|-1=

表示的曲线.

4. 已知圆 C:x2+y2=r2,直线 l:ax+by=r2.当点 P(a,b)在圆 C 上、圆 C 内和圆 C 外 时,分别研究直线 l 与 C 具有怎样的位置关系. 5. 已知:圆满足:①截 y 轴所得的弦长为 2;②被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3∶1;

③圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为

.求该圆的方程.

点 评
这节课重点研究了圆方程的两种表示形式, 突出了利用待定系数法、 几何法来确定圆的方程, 及利用圆的方程解决简单的实际问题,对圆与直线、圆与圆位置关系稍作涉列.由于初中几 何中研究这些知识较多, 所以对这些内容的探究放手于学生, 对学生能力的培养与锻炼大有 好处.此外,例题和练习的选取配置较好,突出了与实际问题的联系,易激发学生的学习兴 趣.这篇案例在继承中国传统的“双基”同时,着眼于在体现课程新理念上(尤其是体现新的 探究、自主学习理念)有所突破.


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