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高中数学必修4学生培训辅导学案集学生版


学生培训辅导资料
专题四
一、基本内容串讲

做感动中国人的教育!
(必修 4)第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ?

?

? ? ? ?
?

第二象限角的集合为 ? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?
? ? ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?
? ? ?

?

第四象限角的集合为 ? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?
? ? ? ?

?

终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 , k ? ?
?

?

? ? ? ?
k ? ??

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?
? ?

?

终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90 , k ? ?
?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ? 或 ? ? ? 2k? ? ? ,
?

?

4、弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?
?

l . r

?

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? ? 57.3 . ? ? ?

?

7、若扇形的圆心角为 ? ? 为弧度制 ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S , 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ?

?

?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

8、任意角的三角函数的定义:设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与 原点的距离是 r r ?

?

x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

y P T v O M A x

9、三角函数在各象限的符号口诀: “一全正,二正弦,三两切,四余弦. ”或“正一二,切一三,余一四。 ” 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

1

11、同角三角函数的基本关系: ?1? sin ? ? cos ? ? 1
2 2

?

? sin

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号原函限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? ,cos ? ? ? ? ? sin ? .? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? ,cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 综合得“

k? ? ? ”型诱导公式口诀: “奇变偶不变,符号原函限”。 2

13、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? ? 2?

14、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax , 则??

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、作函数 y ? A sin??x ? ? ? 的图象的两种方法: (1)用“五点法”作图:主要是通过变量代换,设 z ? ?x ? ? ,由 z 取 0, 的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。 (2)用“图象变换法”作图: 法一:先平移后伸缩
(? ?0) 或向右 (? ?0) y ? sin x ?向左 ?????? ?? y ? sin( x ? ? ) 平移|? |个单位


? ? 3? , , , 2? 来求出相应 2 2

? ????????? y ? sin (? x ? ?)
纵坐标不变

1 横坐标变为原来的 倍

A倍 ?纵坐标变为原来的 ?????? ?? y ? A sin(?x ? ? ) 横坐标不变

2

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法二:先伸缩后平移

做感动中国人的教育!

(? ?0) 或向右 (? ?0) ??? y ?sin x ? ?????? y ? sin ?x ?向左 ?????? ?? y ? sin(?x ? ? )
纵坐标不变

1 横坐标变为原来的 倍

A倍 ?纵坐标变为原来的 ?????? ?? y ? A sin(?x ? ? ) 横坐标不变

平移 |? |个单位

?

16、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 质 函 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ?

? ?1,1?
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,

R

?
2

?k ? ?? 时,
?
2

最值

ymax ? 1;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期性 奇偶性 在 ? 2 k? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2?
偶函数

2?
奇函数

?
奇函数

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?
在 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上是 增函数;在 ? 2k? , 2k? ? ? ? 在 ? k? ?

? k ? ? ? 上是增函数;
单调性 在 ? 2 k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? ?

?
2

, 2 k? ?

3? ? 2 ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对称性 对称轴 x ? k? ? 对称中心 ? k? ?

?
2

? k ? ??

? ?

?

? , 0 ? ? k ? ?? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ? ? ?
3

三角函数复习巩固训练题
1、已知角 α 是第三象限角,则角-α 的终边在 A、第一象限 B、第二象限 2、在 0 到 2? 范围内,与角 ? A. ( C、第三象限 D、第四象限 ( D. ) )

2? ? ? B. C. 3 6 3 3、若 cos ? ? 0 , sin ? ? 0 ,则角 ? 的终边在
A.第一象限 4、 sin150 的值等于 A.
?

4? 终边相同的角是 3

4? 3
( ) )

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 (

3 3 1 C. D. ? 2 2 2 1 2? ]上满足 sin x ? 的x的取值范围是 5、 在[0, ( 2 ? ?? ? ? 5? ? ? ? 2? ? ? 5? ? A. ?0, ? B. ? , ? C. ? , ? D. ? ,? ? ? 6? ?6 6 ? ?6 3 ? ? 6 ? 2? 6、若角 的终边上有一点 ?? 4, a ? ,则 a 的值是 ( 3 A. 4 3 B. ? 4 3 C. ? 4 3 D. 3

1 2

B. ?





7、

的图象关于 (A) 轴对称; (B) 对称; (C) 对称;



)。

(D)原点对称。 ( )

8、函数 y ? sin(2 x ? A、 x ? ?

?
4

5 ? ) 的图像中的一条对称轴方程是 2
B、 x ? ?

?

9、函数 y ? sin(3x ? A、 ( ?

?
4

2

C、 x ?

?

8

D、 x ?

5 ? 4
( )

) 图像的对称中点是
B、 ( ?

?
12

,0)

10、下列函数中,最小正周期为 ? 的是 A. y ? cos 4x 11、若 sin ? ? B. y ? sin 2 x

7 ? ,0) 12

C、 (

7 ? ,0) 12

D、 (

11 ? ,0) 12
( )

C. y ? sin

x 2

D. y ? cos

x 4
( )。

5 ,且 ? 是第二象限角,则 sin(270? ? ? ) 的值为 13 12 12 5 (A) ; (B) ? ; (C) ; (D) ? 。 13 13 13

12、要得到函数 y ? cos(x ? A、向右平移

?

? 6

6

) 的图象,只需将 y ? cos x 的图像

( D、向左平移



B、向左平移

13、要得到函数 y ? cos(3x ?

?
6

? 6

C、向右平移

? 18

? 18
( )

) 的图象,只需将 y=cos3x 的图像

4

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A、向右平移

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C、向右平移

? 6
? 6

B、向左平移

14、函数 y ? 5 sin(2 x ? A、向右平移

?
6

? 6
? 6

? 18

D、向左平移

? 18
( )

) 的图象经过下列平移变换,就可得到函数 y=5sin2x
C、向右平移

? ? D、向左平移 12 12 ? 15、要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos(x ? ) 的图象 ( 3 ? ? ? ?
B、向左平移 A、向左平移



3

B、向右平移

3

C、向左平移

6

D、向右平移

6
( )

16、函数 y=Asin(ω x+φ )在一个同期内的图象如图,则 y 的表达式为 A、 y ? 3 sin(x ? B、 y ? 3 sin(x ?

?

?

6

) )

y 3

3

C、 y ? 3 sin(2 x ? D、 y ? 3 sin(2 x ?

?
?
6

)

?

?
6

0

) -3 3 17、 y ? A sin(wx ? ? ) 的图象如图,则解析式是
A、 y ? 2 2 sin(

5? 6

x





?

x? ) 8 6

?

y
(2, 2 2 )

B、 y ? 2 sin(2 x ? C、 y ? 2 2 sin( D、 y ? 2 sin(

?

?

6

)

?x

x? ) 8 4

?

2
0
? 2 2

6

x

? ) 8 4

?

18、已知函数 y ? A sin(wx ? ? ) ,在同一周期内,当 x ? 小值-2,那么这个函数解析式是

?
12

时,取得最大值 2;当 x ?

7? 时,取得最 12


( C、 y ? 2 sin(2 x ?

x ? A、 y ? 2 sin(2 x ? ) B、 y ? 2 sin( ? ) 3 2 6 19、如果 | cos x |? cos( ? ? x). 则 x 的取值范围是

?

?
6

)

D、 y ? 2 sin(2 x ? ( )

?
3

)

A. [2k? ? C. [

?
2

, 2k? ?

?
2

] (k ? Z )

B. (2k?

?

?

?
2

3 , 2k? ? ? ) (k ? Z ) 2 2
(k ? Z )
( )

? 2k? ,

3 ? ? 2k? ] (k ? Z ) 2

D. (?? ? 2k? , ? ? 2k? )

20、观察正切曲线,满足|tanx|≤1 的 x 取值范围是 A、 [2k? ? C、 [k? ?

?

? ? 3? D、 [k? ? , k? ? , k? ? ]( k ? Z ) ]( k ? Z ) 4 4 4 4 21、若 f (cos x) ? cos3x, 那么 f (sin 30?) 的值为

?

, 2k? ? ]( k ? Z ) 4 4

?

B、 [k? , k? ?

?
4

]( k ? Z )





5

A.0

B .1

C.-1

D.

3 2
( ( ( ( ; (D) ( )。 ). )。 ) )。

变式 1、若 f (sinx)=cos2x,则 f(cosx)等于 (A)-cos2x (B)cos2x (C) -sin2x (D)sin2x 变式 2、若 ,则 等于 (A) ;(B) ;(C) ;(D) 。 22、已知函数 f ( x) ? a sin x ? b tan x ? 1 ,满足 f (5) ? 7. 则 f (?5) 的值为 A.-5 B .5 C .6 D.-6 23、将 化为最简得 (A) ;(B) 2 24、方程 sin x ? x 的实根个数是 (A)4; (B)3; ;(C) (C)2; (D)1 ; (2) = . 。

9? = 4 ? 2? 3? 4? 26、 cos ? cos = ? cos ? cos 5 5 5 5
25、求下列三角函数的值: (1) cos 27、将函数

的图象各点纵坐标不变,横坐标扩大为原来的两倍,再左移 的图象,原 的解析式为_____ 在 ___。 内,有最高点 ___。 和最低点

个单位,得函数

28、 ___

,则解析式

_

12 29、 (1)已知 sin ? ? ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? . 13 4 (2)已知 cos ? ? ,并且 ? 是第四象限角,求 sin ? , tan ? . 5

30、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求(1)、

sin ? ? 4 cos? 5 sin ? ? 2 cos?

(2)、 2sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ?.
2 2

6

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三角函数复习巩固训练题 2
1.角 α 的终边上有一点 P(a,a) ,a∈R,a≠0,则 sinα 的值是 A.
2 2

(C D.1 (B

)

B.-

2 2

C.

2 2 或- 2 2

2.有下列命题中正确的个数是 ①终边相同的角的三角函数值相同; ②同名三角函数的值相同的角也相同; A.0 3.若 B .1

)

③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相同; ④不相等的角,同名三角函数值也不相同. C .2 D.3 ( D ) D.第一象限角 ( A )

| sin x | cos x | tan x | + + =-1,则角 x 一定不是 sin x | cos x | tan x

A.第四象限角 4.sin2· cos3· tan4 的值 A.小于 0 5.若 θ 是第二象限角,则 A.sin

B.第三象限角

C.第二象限角

B.大于 0

C.等于 0

D.不存在 ( C )

? >0 ?

B.cos

? <0 ?

C.tan

? >0 ?

D.tan 2? <0 ( A )

6. 若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 A.4 cm2 B.2 cm2 C.4πcm2 D.2πcm2

7.如果|cosx|=cos(x+π) ,则 x 的取值集合是 A.- C.
π π +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z) 2 2

( C )
π 3π +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z) 2 2

B.-

π 3π +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z) 2 2

D. (2k+1)π≤x≤2(k+1)π(k∈Z)

8.sin(-

19 π )的值是 6
B.-
1 2

( A )
3 2 3 2

A.

1 2

C.
π 的值相同的是 3

D.-

9.下列三角函数中函数值与 sin ①sin(nπ+
4π ) ; 3

( C ) ③sin(2nπ+
π ) ; 3

②cos(2nπ+
π ] ; 6

π ) ; 6

④cos[ (2n+1)π- A.①②

⑤sin[ (2n+1)π- C.②③⑤

π ] (n∈Z) . 3

B.①③④

D.①③⑤

7

10.若 cos(π+α)=- A.-
6 3

10 π 3π ,且 α∈(- ,0) ,则 tan( +α)的值为 5 2 2

( B )

B.

6 3

C.-

6 2

D.

6 2

11.设 A、B、C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是 A.cos(A+B)=cosC 12.函数 f(x)=cos A.{-1,- 13.(1)sin2( B.sin(A+B)=sinC C.tan(A+B)=tanC

( B ) D.sin
A? B C =sin 2 2

πx (x∈Z)的值域为 3

( B ) C.{-1,-
3 3 , ,1} 2 2 89 (2)sin21° +sin22° +sin23°+…+sin289° =____ ___. 2 3 3 ,0, ,1} 2 2

1 1 1 1 ,0, ,1} B.{-1,- , ,1} 2 2 2 2

D.{-1,-

π π -x)+sin2( +x)=____1_____. 3 6

14.若角 α 的终边经过 P(-3,b) ,且 cosα=-
2

3 4 ,则 b=__± 4 __,sinα=___± ___. 5 5

15.在(0,2π)内满足 cos x =-cosx 的 x 的取值范围是___[ 16.已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在第

π 3π , ]______. 2 2



象限.

17. 根据下列三角函数值,求作角 α 的终边,然后求角 α 的取值集合. (1)sinα=
1 1 1 ; (2)cosα= ; (3)tanα=-1; (4)sinα> . 2 2 2

解: ( 1) {α|α=2kπ+ (3) {α|α=kπ±

π 5π ,或 α=2kπ+ ,k∈Z} . 6 6
3 π,k∈Z} . 4

(2) {α|α=2kπ± (4){α|2kπ+

π ,k∈Z} . 3

π 5π <α<2kπ+ ,k∈Z}. 6 6

18.求证:

2 sin(π ? ? ) ? cos? ? 1 tan(9 π ? ? ) ? 1 ? . tan(π ? ? ) ? 1 1 ? 2 sin 2 ?
(sin ? ? cos? ) 2 sin ? ? cos? ?2 sin ? cos? ? ? = - , ? 2 2 (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) sin ? ? cos? cos ? ? sin ?

证明: 左边=

右边=

? tan? ? ? tan? ? ? sin ? ? cos? , ? ? ? tan? ? ? tan? ? ? sin ? ? cos?

左边=右边, ∴原等式成立.

19. 化简:(1)

1 ? 2 sin 290 ? cos 430 ? . sin 250 ? ? cos 790 ?

(2)

tan(2 π ? ? ) sin(?2 π ? ? ) cos(6 π ? ? ) cos( ? ? π) sin(5 π ? ? )

解:

1 ? 2 sin 290 ? cos 430 ? (sin 70? ? cos 70?) 2 sin 70? ? cos 70? 1 ? 2 sin 70? cos 70? == = = =-1. cos 70? ? sin 70? cos 70? ? sin 70? cos 70? ? sin 70? sin 250 ? ? cos 790 ?

tan(2 π ? ? ) sin(?2 π ? ? ) cos(6 π ? ? ) tan(?? ) sin(?? ) cos(?? ) (? tan ? )( ? sin ? ) cos? ? = =tanθ cos( ? ? π) sin(5 π ? ? ) (? cos? )( ? sin ? ) cos? sin ?

8

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三角函数复习巩固训练题 3
1.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是 A.B=A∩C B.B∪C=C C.A C D.A=B=C ( C ) ( B )

2.将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是 A. 3.已知

sin ? ? 2 cos ? 3sin ? ? 5cos ?

? 3

B.-

? 3

C.

? 6

D.-

? 6
( D )

? ?5, 那么tan? 的值为
B .2 C.

A.-2 4.要得到 y ? 3 sin(2 x ? A.向左平移

23 16

D.-

23 16
( C )

?
4

) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象

? ? ? ? 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 4 8 8 ? 5.函数 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图象 ( B ) 3 ? ? A.关于原点对称 B.关于点(- ,0)对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 x= 对称 6 6
6.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 相 ? 分别为 A. T ? 6 , ? ? 7.函数 y ? sin( x ? A. [ ?

π? ?π ?? x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 1) ,则该简谐运动的最小正周期 T 和初 2? ?3 ??
( B ) B. T ? 6 , ? ?

?
2

π 3

π 6

C. T ? 6π , ? ?

π 6

D. T ? 6π , ? ? ( B )

π 3

), x ? R 是

, ] 上是增函数 B. [0, ? ] 上是减函数 C. [?? ,0] 上是减函数 D. [?? , ? ] 上是减函数 2 2 8.函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, y
则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) 的值为 A.0 9.函数 y ? B.2 C.2+ 2 ( C ) D. 2

? ?

2
O ?2

2 4

6

x

? ?? ? 2 cos x ? 1 的定义域是 ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) 3 3? ?
2? 2? ? ? 2cos x ? 1 的定义域是 ? 2k? ? , 2 k? ? (k ? Z ) 3 3 ? ? ?

变式:1、函数 y ?

变式:2、函数 y ?

? 5? ? ? 2sin x ? 1 的定义域是 ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) 6 6 ? ?

9

变式:3、函数 y ?

? 5? ? ? 2sin 2 x ? 1 的定义域是 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 12 12 ? ?

10、函数 y ? 2 sin?x(? ? 0) 在区间 [?

? ?

, ] 上的最小值是-2,则 ? 的最小值是 3 4
? 3 2
.

3 2

11、已知 sin ? ? cos? ?
2

1 ? ? , 且 ? ? ? , 则 cos? ? sin? ? 8 4 2
2

12、化简求值 sin 120? ? cos180? ? tan 45? ? cos (?330?) ? sin(?210?) 答案: ?

1 2

13.已知

3 sin ? ? 2 cos? 4 ? , 4 sin ? ? 3 cos? 5

求(1) tan ?

(2) sin ? ?
2

3 8

5 1 sin ? cos ? ? cos 2 ? 4 2

答案: tan ? ? 2,

3 2 5 1 1 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ? ? 8 4 2 10

14、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,相邻

2? ? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 3 2

(1) 求 f ( x) 的解析式; 答案: f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)

(2)说明 y ? f ( x) 的图象是由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到?

(3)求函数的单调递减区间

, 答案: ? k? ? , k? ? 6 3 ? ? ?

?

?

2? ?

k?z

10

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专题五
1、三角形中的三角问题
A? B ?C ?? , A? B ?C ? ? 2 2 , A? B ? C ? 2 2 2

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(必修 4)第三章 三角公式及恒等变形复习指南

? A? B? ?C ? Sin? A ? B ? ? Sin?C ? , Cos? A ? B ? ? ?Cos?C ? , Sin? ? ? Cos? ?, ? 2 ? ?2?

? A? B? ?C ? Cos? ? ? Sin? ? ? 2 ? ?2?

2、三角公式以及恒等变换 ? 两角的和与差公式:
Sin?? ? ? ? ? Sin?Cos? ? Cos?Sin? Sin?? ? ? ? ? Sin?Cos? ? Cos?Sin? , S (? ? ? ) , S (? ? ? )

Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) Cos?? ? ? ? ? Cos?Cos? ? Sin?Sin? , C (? ? ? ) tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ? tan?? ? ? ? ?
? 二倍角公式:

tan ? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?
变形:

, T (? ? ? ) , T (? ? ? )

tan ? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan? ? tan ? tan ? tan? 其中? , ? , ?为三角形的三个内角

Sin2? ? 2 Sin?Cos? Cos2? ? 2Cos 2? ? 1 ? 1 ? 2 Sin2? ? Cos 2? ? Sin2? tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

? 半角公式:

Sin

?
2

?? ??

1 ? Cos? 2 1 ? Cos? 2
2

Cos

?
2

tan

?
2

??

1 ? Cos? Sin? 1 ? Cos? ? ? 1 ? Cos? 1 ? Cos? Sin?
1 ? Cos2? 2

? 降幂扩角公式: Cos2? ? 1 ? Cos2? ? 辅助角公式:
1. y ? aSin? ? bCos? ? 2. y ? aCos? ? bSin? ? 3. y ? aSin? ? bCos? ? 4. y ? aCos? ? bSin? ?

, Sin2? ?

a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Sin?? ? ? ? a 2 ? b 2 Cos?? ? ? ?

其中 , 其中 , 其中 , 其中 ,

tan? ?

b a a tan? ? b b tan? ? a b tan? ? a

? 补充公式变换: 1. tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? ? ? 当? ? ? ? ?? ? , k ? Z时, 1 ? tan? tan ? 4

?1 ? tan? ??1 ? tan ? ? ? 2

2. tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ?
11

(必修 4)第三章
一、填空题 1. sin 21? cos81? ? sin 69? cos9? = 2. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20? tan 40? = 3.
sin15 cos5 ? sin 20 ? cos15? cos5? ? cos 20?
? ? ?

两角和与差的三角函数巩固训练



; ; ; ; ;

4. tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ?2, 则 tan ? ? 5.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f ( cosx)= 6. cos 2? ?
3 , 则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 2

1 3

1 ? ? 7.已知 sin 2? ? , 且 ? ? ? ,则 cos? ? sin? 的值为 4 4 2

8. ? ? (

3? , 2? ), 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ? 2

; ; ;

1 1 9.已知 sin ? ? cos ? ? ,sin ? ? cos ? ? , 则 sin(? ? ? ) ? 3 2

10.在△ ABC 中, C ? 90? , 则 cos Acos B 的取值范围是 二、解答题 11. 已知 ? 、 ? 均为锐角, sin ? ?
5 10 ,sin ? ? , 求: ? ? ? 。 5 10

12. .已知 tan ? , tan ? 是方程 3x2 ? 5x ? 7 ? 0 的两根,求下列各式的值: (1) tan(? ? ? ); (2)
sin(? ? ? ) ; cos(? ? ? )

13.已知 ? , ? ? ?

? ? 12 ?? 3 ? 3? ? ? ? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? , 求 cos ?? ? ? 4 ? 13 4? 5 ? 4 ? ? ?

14.已知 sin(? ? ? ) ?

tan ? 2 1 的值 ,sin(? ? ? ) ? ? ,求 tan ? 3 5
12

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必修 4 三角函数综合练习 1
1.已知角 ? 的顶点在原点, 始边在 x 轴的正半轴上, 且终边上一点 P(3a, ?4a), 其中 a < 0, 那么 sin? 的值为( B )

3 4 3 4 ; (B) ; (C) ? ; (D) ? . 4 5 4 5 ? ? ? ? 3 1 2.设 a = ( , sin ? ) , b = (cos? , ) ,且 a ∥ b ,则锐角α 为:( 2 3
(A) (A)30 ; (B) 60 ; (C) 45 ; (D) 75 3.在 ?ABC 中, 已知 sinA = 2 sinBcosC, 则 ?ABC 一定是( B ) (A) 直角三角形; (B) 等腰三角形; (C) 等边三角形; 4.将函数 y ? sin( x ? 移
0 0 0 0

C

)

(D) 等腰直角三角形.

?
3

,再将所得图像向左平 ) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)

? 个单位,则所得函数图像对应的解析式为 ( C ) 3 1 1 ? A. y ? sin x B. y ? sin( x ? ) 2 2 2 1 ? ? C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 6 6 4 3 5.若 ? , ? 为锐角,且满足 cos ? ? ,   则 sin ? 的值是 cos(? ? ? ) ? ,   5 5 3 1 17 7 A. B. C. D. 5 5 25 25
6. 已知函数

( D



y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如右图所
?
2
,则( C )

示,如果 A ? 0, ? ? 0, | ? |? A. A ? 4 B. ? ? 1

C. ? ?

?
6

D. B ? 4

7.在下列给出的函数中,以π 为周期,且在(0, (A) y ? sin

x ; 2

(B)y=cos2x;

? )内是增函数的是:( D ) 2 ? ? (C)y=sin (2 x ? ) ; (D) y ? tan(x ? ) 4 4
?
2 ]时,

8. 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数,又是周期函数 . 若 f ( x) 的最小正周期 ? 且当 x ? [0,

f ( x) ? sin x ,则 f (
A. ?

5? 3

)? ( D
C. ?
2

)

1 2

B.

1 2

3 2

D.

3 2

9.一个扇形的面积是 1 cm ,它的周长为 4cm, 则其中心角弧度数为___2_____ 10. 函数 y=3sin( 11.sin50?(1 +

? -2x)的单调增区间是 6
3 tan10?)=
1

[ k? +

?
3

, k? ?

5? ] 6

k? Z

.

13

12.给出下列命题: ①函数 y ? sin(

5? ? 2 x) 是偶函数; 2

②函数 y ? sin(x ?

, ] 上是增函数; 2 2 5? ? ③直线 x ? 是函数 y ? sin(2 x ? ) 图象的一条对称轴; 4 8 4
其中正确的命题的序号是:
2

?

) 在闭区间 [?

? ?

⑴⑶
2



13.已知 tan ? ? 6 tan ? ? 7 ? 0,  tan ? ? 6 tan ? ? 7 ? 0. ?、? ? (0, ? ),且? ? ? . 求 ? ? ? 的值. 解: tan ? , tan ? 可视为一元二次方程 x ? 6 x ? 7 ? 0 的二个根.
2

??

? tan ? ? tan ? ? ?6 ? tan ? tan ? ? 7

????????????????????(4 分)

? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?

?6 1? 7

?1

????????????(6 分)

??、? (0, ? ) 且 tan ? tan ? ? 7 ? 0   tan ? ? tan ? ? ?6 ? 0 ? tan ? ? 0,  tan ? ? 0
??、? ? ( , ? ) 2 ?? ? ? ? (? , 2? )
故? ? ? ?

?

??????????????????????(10 分)

5? 4
2

????????????????????????(12 分) f(

14.设函数 f(x)=2acos x+bsinxcosx 满足 f(0)=2, (1)求 a,b 的值 解: (1)∵f(0)=2 ∴2acos0+bsin0cos0=2 又 f(

3 ?1 ? )= 2 3

(2)求使 f(x)>2 成立的 x 的取值范围



a=1
3 ?1 2

? ? 2 ? ? 3 ?1 )= ∴2(cos ) +bsin cos = 2 3 3 3 3

∴b=2 故 a=1, b=2 (2)由(1)知 a=1, b=2 ∴f(x)=2cos x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+ 2 sin(2x+
2

? ) 4

由 f(x)>2 ∴2kπ +

∴1+ 2 sin(2x+

3? ? ? <2x+ <2kπ + 4 4 4

2 ? ? )>2 即 sin(2x+ )> 2 4 4 ? 故 kπ <x< kπ + (k ? Z) 4

14

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必修 4 三角函数综合练习 2
1、 (2010 全国卷 1 文数) cos300? ? (A) ? ( C )

3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2
( D )

2、 (2010 湖北文数)函数 f(x)= A.

? 2

x ? 3 sin( ? ), x ? R 的最小正周期为 2 4
C.2 ? D.4 ?

B.x

3、 (2010 全国卷 2 文数)已知 sin ? ? (A) ?

2 ,则 cos(? ? 2? ) ? 3
(C)

( B )

5 3

(B) ?

1 9
? ?

1 9
?

(D)
?

5 3
( A )

4、 (2010 福建理数) 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于

A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

5、同时具有性质:⑴ 最小正周期是 ? ;⑵ 图象关于直线 x ? 个函数是 A. y ? sin( ?

?
3

对称;⑶ 在 [?

? ?

, ] 上是增函数的一 6 3
( D )

x 2

?
6

)

B. y ? cos(2 x ?

?
3

)

C. y ? cos(2 x ?

?
6

)

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

6、 (2010 全国卷 2 理数) 为了得到函数 y ? sin(2 x ? (A)向左平移

? 4

(B)向右平移

? 4

只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 ( B ) ) 的图像, 3 6 ? ? (C)向左平移 (D)向右平移 2 2 ( C ) (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (D)最小正周期为 π 的偶函数

?

?

7、 (2010 陕西文数)函数 f (x)=2sinxcosx 是 (A)最小正周期为 2π 的奇函数 (C)最小正周期为 π 的奇函数 8、 (2010 辽宁文数)设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 的最小值是( C ) (A)

?
3

) ? 2 的图像向右平移

4? 个单位后与原图像重合,则 ? 3

2 3

(B)

4 3

(C)

3 2

(D) 3

9、 (2010 重庆文数)下列函数中,周期为 ? ,且在 [ (A) y ? sin(2 x ?

? ?

?
2

)

(B) y ? cos(2 x ?

?
2

, ] 上为减函数的是( A ) 4 2
(C) y ? sin( x ?

)
15

?

2

)

(D) y ? cos( x ?

?
2

)

? ? ? ) ? sin(? ? ? ), 则 tan? = 10、已知 ? 、 ? 均为锐角,且 cos(
11、 (2010 浙江理数)函数 f ( x) ? sin(2 x ?

1

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是______π________ .
?

2 5 5 ______ 12、 (2010 全国卷 2 文数)已知 α 是第二象限的角,tanα=1/2,则 cosα=____
13、 (2010 浙江文数)函数 f ( x) ? sin 2 (2 x ?

?
4

) 的最小正周期是

? 2



3 24 ,则 tan 2? ? ? 5 7 4 1 15、 (2010 全国卷 2 理数)已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a) ? ? ,则 tan a ? ? 3 2
14、 (2010 全国卷 1 文数)已知 ? 为第二象限的角, sin a ? 16、若 θ 满足 cosθ>-

. .

2? 2? 1 ? ? ,则角 θ 的取值集合是___ ?? | 2k? ? ? ? ? 2 k? ? , k ? z ? ___. 3 3 2 ? ?

17、已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (I)求 f ( x) 的最小正周期;

?
2

), x ? R .
(II)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

18、已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x , x ? R .求:
2 2

(I) 函数 f ( x) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合;

(II) 函数 f ( x) 的单调增区间.

16

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(必修 4)第二章 平面向量
一、基本内容串讲: 1、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

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?

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?

C

?

?

?

? a

?

?

?

?

?

? b

?

? ? ? ? ?? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 则?

? ?x 1

x2 y ,1 ? y2

?.

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

4、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时,? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? a ? b ? ? a ? ? b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 5、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 6、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基 底)
17

?

?

?

?

?

?

?

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?

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?

?

??

?? ?

??

?? ?

7、分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1? 2 上的一点,?1 、? 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ?? 2 时,点 ? 的坐标是 ?

??? ?

????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? (当 ? ? 1 时,就为中点公式。) , ?. 1? ? ? ? 1? ?

8、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180
?

? ?

? ?

??

? ?

?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a 与 b 反
2 向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?2
?

?

? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ? a b . ? ?

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

? ?

? ?

?

?? ?
?

? ?

?

?? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?2

?

? ? x 2 ? y 2 . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则

?

?

?

?

?

?

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2
[基础训练 A 组] 1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( A. AB

????

??? ?

??? ?

??? ?

) C. BC D. 0 )

??? ?

B. DA

?

2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( A. a0 ? b0

?? ? ?? ? ?? ?

? ?

?? ?

B. a ? b ? 1 0 0

?? ? ?? ?

C. | a0 | ? | b0 |? 2

?? ?

?? ?

D. | a0 ? b0 |? 2

?? ? ?? ?

3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 , (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

b ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( (4)若 a 与 b 平行,则 a?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
18

? ?



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4.下列命题中正确的是( )

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A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a|

B.若 a?b=0,则 a∥b D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)
2

5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

?

?

?

?



6.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 ,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( A. 4 2 ,0 ) C. 16, 0 D. 4, 0

B. 4, 4 2

1 AB =_________ 3 ? ? ? ? ? 8.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。
7.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则
0 9.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?

?

?

?

?



10.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。 11.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。 12.如图, ? ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b ,试以 a , b 为 基底表示 DE 、 BF 、 CG .

?

?

?

?

??? ? ?

?

?

?

??? ?

??? ?

D

F G E B

C

A

13.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4, (a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
?

? ?

?

?

?

?

?

?

14.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

(2) k a ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

19

(数学 4 必修)第二章 平面向量 [综合训练 B 组] 1.下列命题中正确的是( A. OA ? OB ? AB ) B. AB ? BA ? 0

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

C. 0 ? AB ? 0

? ??? ?

?

D. AB ? BC ? CD ? AD

??? ? ??? ? ??? ?

????

2.设点 A(2,0) , B(4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP , 则点 P 的坐标为( A. (3,1) ) B. (1, ?1) C. (3,1) 或 (1, ?1) D.无数多个 )

????

????

3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 o ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? ( A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3)

D. (?6,3)

4.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于 A. ?2 B. 2 C.

?

?

? ?

?

?

1 2

D. ?

1 2
? ? ? ?

5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( A.

? ?

?

?

?

?



? 6
3 2

B.

6.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( A. 30
0

?

?

? 3
1 3

C.

?

?

2? 3

D.

5? 6


0

B. 60

0

C. 75

0

D. 45

7.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?


? ?

8.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2, 3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。
0 9.若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,若 (3a ? 5b) ? ( ma ? b) ,则 m 的值为

?

?

?

?

?

?

? ?



10.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。 11.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。 12.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.
? ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ?

?

?

?

13.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).
20
?

?

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?

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[提高训练 C 组] 1.若三点 A(2,3), B(3, a), C(4, b) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0 )

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C. 2a ? b ? 3

D. a ? 2b ? 0

2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin? ? ,

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos? ? ,则向量 P1 P2 长度的最大值是(
A. 2 B. 3 C. 3 2 ) D. 2 3



3.下列命题正确的是( A.单位向量都相等

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量( C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1
0 4.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (



? ?

? ?

? ?

?

?



A. 7

B. 10

C. 13

D. 4

5.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.

?

?

?

?

? ?

?

?

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
) D. (4,2) 或 (?4,?2)

6.若平面向量 b 与向量 a ? ( 2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. (4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

7.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2 a ? b 的最大值是 8.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 9.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 10.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

?

?

?

?



?

?

?

?

? ? ?

?

?



11.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a ? b ? 5 ,则向量 b ? ______。 12.已知 A、B、C 是坐标平面上的三点,其坐标公别为 A(1,2) ,B(4,1) ,C(0,-1) ,求 AB ? AC 和 ∠ACB 的大小,并判断△ABC 的形状.(△ABC 是等腰直角三角形.)
21

?

? ?

向量的加法与减法(一)
1.等腰梯形 ABCD 中,O 是 AD 中点,且 ABCO 为平行四边形, OA =a, OB =b,满足 a+c=b 的 向量 c 等于( B )

A.

CD

B.

OC

C.

CO

D. DB

2.已知正方形 ABCD 的边长等于 1, AB =a, BC =b, AC =c,则 a+b+c 的模等于( D A.0 B .3 C. 2 D.2 2 )

)

3.如图 2,D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,则下列结论正确的是( B A. DF 和 FE 共线 C. BE + ED = DB B. ED 和 AC 共线 D. AF + AD = DF

4.对非零向量 a、b,若|a+b|=|a|+|b|,则( C ) A.a,b 共线 B.a,b 共起点 C.a,b 同向 D.a,b 反向 5.如图 3,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则下列等式中正确的是( A

)

A. FD + DA = FA C. DE + DA = EB

B. FD + DE + FE =0 D. DA + DE = FD

6.已知向量 a 表示“向东航行 3 千米” ,b 表示“向南航行 3 千米” ,则 a+b 表示_向东南方向航行了 3 2 千米_______. 7.向量 a 与 b 方向相反,且|a|>|b|,则向量 a+b 的方向与 a 的方向____相同 _;且|a+b|与|a|-|b|___ 相等_____. 8.在水流速度为 3 km/h 的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以 4 km/h 的速度航行,则这艘船实 际船行的速度的大小为___5 km/h _____, 9.如图,B、C 是线段 AD 的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写出___6__个互不 相等的非零向量.

10.向量 a、b 满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值为__20______. 11.如图 4,已知向量 a、b,求作向量 a+b.

22

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实数与向量的积(一)
1.设 e1、e2 是两个不共线的向量,则 a=2e1-e2 与向量 b=e1+??e2 (??∈R)共线的充要条件是( D ) A.??=0 B.??=-1 C.??=-2 D.??=-

1 2

2.已知 AD、BE 分别是△ABC 的边 BC、AC 上的中线,且 AD =a, BE =b,则 AC 是( A ) A.

4 2 a+ b 3 3

B.

2 4 a+ b 3 3

C.

4 2 a- b 3 3

D.

2 4 a- b 3 3

3.下列命题中是真命题的是( C ) A.若|a|=|b|,则 a=b B.若 a、b 为两个非零向量,则|a+b|>|a-b| C.若两个非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|,则 a⊥b D.若两个非零向量 a、b 满足 a=kb,则 a 与 b 同向 4.已知 G1、G2 分别是△A1B1C1 与 A2B2C2 的重心,且 A1 A2 =e1, B1 B2 =e2, C1C 2 =e3,则 G1G2 等 于( B ) A.

1 (e1+e2+e3) 2

B.

1 (e1+e2+e3) 3

C.

2 (e1+e2+e3) 3

D.-

1 (e1+e2+e3) 3
1 b ____. 2

5.3(a+b)-5(a-b)+3a=___ a+8b _____. 6.已知 ABCDEF 为正六边形,且 AC =a, AD =b,则用 a、b 表示 AB 为____ a-

7.如图 1,ABCD 为平行四边形,若 OA =e1, OB =e2, OC =e3,则 OD =___ e1+e3-e2_____.

图1 8.向量 a、b 满足|a|=2,|b|= 5 ,|a+b|=3.则|a-b|=__ _3___. 9.已知向量 a 和 b 不共线,实数 x、y 满足 2xa+(5y-7)b=(5-3y)a-3xb,则实数 x+y 等于___3____. 10.已知 a、b 是两个不共线的非零向量: (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)确定实数 k 的值,使 ka+b 和 a+kb 共线.

23

平面向量的基本概念及表示
1.在直角坐标系中,已知 | OA |? 2 ,那么点 A 构成的图形是 A.一个点 2.下列说法错误的是 A.零向量没有方向 B.零向量长度为 0 C.零向量与任一向量平行 B.一条直线 C. 一个圆 D.不能确定 ( A ) D.零向量的方向任意 ( D ) B.若 a ? b ? 0 ,则 a, b 所在直线平行或重合

??? ?

( C )

3. 下列说法中不正确的是 A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? b C.若 a, b 同向,则 | a ? b |?| a | ? | b | 4. 设 AB ? a, AD ? b, BC ? c ,则 DC 等于 A、 a ? b ? c

? ?

?

?

?

? ?
?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

D.若 a ? b ,则 a, b 所在直线重合 ( A )

?

? ?

??? ?

? ????

? ??? ? ?

?

????

?

?

?

B、 b ? (a ? c)

?

?

C、 a ? b ? c

?

?

?

D、 b ? a ? c 菱形

?

?

?

5. 在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 | AB |?| AD | ,则四边形是

??? ?

????

??? ?

????

6. 若 | a |?| b | ,且非零向量 a, b 不平行,则 a ? b 与 a ? b 所在直线所成的角是 7. 已知 A(1, 2), B(3, 2) , a ? ( x ? 1, x ? 3x ? 4) 与 AB 相等,则 x ?
2 2

?

?

? ?

?

?

?

?

90?

?

??? ?

?1

8.若向量 a ? ( ?1, m), b ? ( ?m, 3) 共线且方向相反,则 m =

?

?

? 3
? ? ?

9. 若 e1 和 e2 是平面内所有向量的一组基底,且 a ? 3e1 ? 4e2 , b ? 6e1 ? ke2 不能作为一组基底,则 k 的值 为

?

?

?

?

?8
??? ?

10.已知 A( ?3, 2), AB ? (8, 0) ,则线段 AB 中点坐标为

(1, 2 )

11.已知向量 a, b 的模 | a |? 4,| b |? 6, 求 | a ? b |,| a ? b | 的最大值和最小值。(最大值 10,最小值 2)

? ?

?

?

?

?

?

?

12..设 AB ? a ? b , BC ? ?5a ? 4b, CD ? 6a ? 3b ,其中 a 、 b 为两个不共线的向量, 求证: A, B, D 三点共线。

??? ?

?

? ??? ?

?

? ??? ?

?

?

?

?

24

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平面向量的数量积及应用
1.与向量 a ? (3, 4) 垂直的单位向量为 (A) ( , )

?

( C )

4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 (B) (? , ? ) (C) (? , ? ) 或 ( , ) (D) ( , ? ) 或 ( ? , ) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ? ? ? ? 2.已知 a ? (?2, ?1), b ? ( ?,1), ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 ( A ) 1 1 1 , 2) ? (2, ??) (B) (2, ??) (C) (? , ??) (D) (??, ? ) 2 2 2 ? ? ??? ? ? ??? ? ? 3.在 ?ABC 中, AB ? a, BC ? b ,且 a ? b ? 0 ,则 ?ABC 是
(A) (? (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形

( C )

? ? ? 4.下面给出的几个有关向量的关系式:① 0 ? a ? 0
其中正确的关系式有 ②③

? ? ? ? ? ②0?a ? 0 ③ 0?a ? 0 ④0?a ? 0 ,
(填序号)

5.正三角形 ABC 的边长为 2,则 AB ? BC =

. ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6.已知 a ? b ? c ? 0 ,并且 | a |? 3,| b |? 1,| c |? 4 ,则 a ? b ? b ? c ? c ? a = 7.已知向量 a ? (?2,2), b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是

??? ? ??? ?

?13
?6 ? k ? 2



8.直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P( x, y ) 满足 OP ? OA ? 4 ,则点 P 的轨迹 方程是

x ? 2y ? 4

9. 已知点 M 1 (4,3) , M 2 (3,1) ,点 M 在 M 1 M 2 的延长线上,且 M 2 M =3 M 1 M 2 , 则点 M 的坐标为_____ (0, ?5) ________ 10. 已知向量 e1 , e2 不共线,若 OA = e1 + e2 , OB =3 e1 - e2 , OC = m e1 -5 e2 , 且 A , B , C 三点共线,则 m =____ 7 _____

?? ?? ?

??? ?

??

?? ?

??? ?

??

?? ?

??? ?

??

?? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 11.已知: AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? ( ?2, ?3), 若BC // DA, ???? ??? ? AC ? BD (其中x ? 0),求x, y的值及四边形ABCD的面积.
(x=2, y= -1, 面积16)

12.已知 a 与 b 是非零向量,且 (a ? b) ? (a ? b) ,(a ? 2b) ? (2a ? b) ,求:3a ? 4b 与 2a ? b 的夹角.(

?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ) 2

25

平面向量检测题 1
1、向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于 A. ?2 B. 2 C.

?

?

? ?

?

?





1 2

D. ?

2、 (2010 重庆文数)若向量 a ? (3, m), (A) ?

?

? b ? (2, ?1),

? ? a ? b ? 0 ,则实数 m 的值为(
(D)6

1 2



3 (C)2 2 ? ? ? ? ? 3、 (2010 重庆理数)已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, a ? 1,
(B) A. 0 B.

3 2

? ? ? b ? 2, 则 2a ? b ? (
D. 8 (



2 2
1 1 2 2

C. 4

4、 (2010 安徽文数)设向量 a ? (1,0) , b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是 (A) a ? b (B) a ? b ?



2 2
? ?

(C) a / /b

(D) a ? b 与 b 垂直

5、 (2010 广东文数)若向量 a=(1, 1), b=(2, 5), c=(3,x) 满足条件 (8a-b) ? c=30, ,则 x= ( A. 6 B. 5 C. 4 D.3 (

?

? ? ?



6、 (2010 湖南文数)若非零向量 a,b 满足| a |?| b |,(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为 A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500



7、已知| a |= 3 ,| b |=2, a 与 b 的夹角为 30°,则| a + b |等于 A.2 3 ? B.

?

?

?

?

?

?

( D.3 (

)

13 ?

C.5

8、已知△ABC 的顶点坐标为 A(1,1),B(4,1),C(4,5),则 cos A 的值为 A.

)

3 5

B.

4 ? 5
B.矩形

C.

1 ? 5
C.菱形

D.

2 5
) D.正方形

9、已知 A(1,2) 、B(4,0) 、C(8,6) 、D(5,8)四点,则对四边形 ABCD 描述最准确的是( A.平行四边形

10、 (2010 全国卷 2 理数) VABC 中,点 D 在 AB 上, CD 平方 ?ACB .若 CB ? a , CA ? b , a ? 1 ,

uur

uur

uuu r b ? 2 ,则 CD ?
(A) a ?

( (B)



1 3

2 b 3

2 1 a? b 3 3

(C) a ?

3 5

4 b 5

(D)

4 3 a? b 5 5

11、已知 A( ?3, 2),

??? ? AB ? (8, 0) ,则 B 点坐标为
26

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12、若 a =(-3,4) , b =(5,2)则 a · b =______, a =_____。 13、 (2010 陕西文数)已知向量 a=(2,-1) ,b=(-1,m) ,c=(-1,2)若(a+b)∥c,则

m= -1

.

14、 (2010 江西理数)已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? b ? 15、已知向量 a=(2,x), b=(3,4)且 a、b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 .

?

?

?

?

?

?

?

?

3

16、已知点 A(3,-1) 、B(-6,3)和向量 CB =(-2,-1) ,求向量 AB 和点 C 的坐标.

17、已知向量 a =(x,1) ,和向量 b =(3,y)且 3a ? 4b =(6,19) . (1)求 x, y 值; (2)向量 a ? 2b 的坐标.

18、已知

ABCD 的顶点 A(1,-2) 、B(-3,-1) 、C(-5,1) ,求顶点 D 的坐标.

19、已知 A、B、C 是坐标平面上的三点,其坐标公别为 A(1,2) ,B(4,1) ,C(0,-1) ,求 AB ? AC 和 ∠ACB 的大小,并判断△ABC 的形状。 (等腰直角三角形.)

27

高一数学必修 4 三角函数与平面向量综合训练
1、函数 y ? cos ? x ?

? ?

??

? , x?R是 2?



A



(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 2、化简 sin( x ? y)sin x ? cos( x ? y)cos x 等于 (A) cos(2 x ? y) (B) cos y

(D)既是奇函数也是偶函数 ( B (D) sin y ( A



(C) sin(2 x ? y)

3、已知 P1(2,-1) ,P2(0,5) ,且点 P 在线段 P1 P2 的延长线上,则 P 点的坐标是 (A)(-2,11) ; (B) ( ,1) ;



4 3

(C) ( ,3) ;

2 3

(D)(2,-7) ( B )

4、若 ? , ? 为锐角,且满足 cos ? ? A.

3 5

B.

7 25

? ? ? ? 3 1 5、设 a = ( , sin ? ) , b = (cos? , ) ,且 a ∥ b ,则锐角α 为 2 3
(A)30 ;
0

3 则 sin ? 的值是 ,  cos(? ? ? ) ? ,   5 5 1 17 C. D. 5 25

4



C



(B) 60 ;

0

(C) 45 ;
?? ?? ??

0

(D) 75
??

0

6、已知平行四边形 ABCD 满足条件 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,则该四边形是 ( A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 7、在△ABC 中,已知 AB =(3,0) , AC =(3,4) ,则 cos B 的值为 (A)0 (B)

B



??? ?

????



A



3 5

(C)

8、在下列给出的函数中,以π 为周期,且在(0, (A) y ? sin

x ; 2

(B)y=cos2x;

? )内是增函数的是 ( C ) 2 ? ? (C) y ? tan(x ? ) ; (D) y=sin (2 x ? ) 4 4

4 5

(D)1

9、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的部分图象如右图所示,若 A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ,则( D ) 2 A. A ? 4 C. B ? 4 B. ? ? 1 D. ? ?

?
6
( D )

10、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数,又是周期函数. 若 f ( x) 的最小正

? 5? 周期 ? 且当 x ? [0, ] 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ) ? 2 3
A. ?

1 2
?

B.

1 2
?

C. ?

3 2
?

D.

3 2

11、 cos1 ? cos 2 ? cos3 ? ? ? cos179 ? cos180 的值为
? ?

12、函数 y=3sin(

? -2x)的单调增区间是 6

[ k? +
28

?
3

, k? ?

5? ] 6

k? Z

.

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13、 将函数 y ? 3sin(2 x ?

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? ? / 按a ? ( , ) 则 F 的解析式为: y ?3 s i x n ?2 ____ 1 ) 的图像 F, 1? 平移到 F/, 3 6 ? ? ? ? ? ? 14、若向量 a =(1,1) , b =(1,-1) , c =(-1,-2) ,则 c 可以用 a , b 表示为 。

?

15、如下图,一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔顶的仰角为 ? ,由此处向铁塔的方向前进 30m,测 得铁塔顶的仰角为 2 ? ,再向铁塔的方向前进 10 3m ,又测得铁塔顶的仰角为 4 ? .如果测量仪的高为 1.5m,求铁塔的高度。

16、已知 A, B, C 的坐标分别为 A(4,0), B(0, 4), C (3cos ? ,3sin ? )

??? ? ??? ? ???? ? ??? ? 2sin 2 ? ? sin 2? (1)若 ? ? (?? ,0) ,且 | AC | ?| BC | ,求角 ? 的值。 (2)若 AC ? BC ? 0 ,求 的值。 1 ? tan ?

17、已知向量 a ? (cos

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ], 2 2 2 2 2

求: a ? b及 | a ? b | ;

? 18、已知 c ? ma ? nb ? (?2 3, 2) , a 与 c 垂直, b 与 c 的夹角为 120 ,且 b ? c ? ?4 , | a |? 2 2 ,

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

求:实数 m, n 的值。

29


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