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基础训练 抛物线(二)

新青蓝基础训练 抛物线 2
一、选择题: 1. ( )抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是 A.
5 15 B. 5 C. D.10 2 2 2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

B 2. ( )若抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为 A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14) 对 C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 3. ( )以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心 的抛物线的方程是 A. y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2 B. y ? 3x 2 C. y 2 ? ?9 x 或 y ? 3x 2 D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x D 4. ( A. C 圆心为 (1, ?3) ,设 x2 ? 2 py, p ? ? , x 2 ? ? y ;设 y 2 ? 2 px, p ? , y 2 ? 9 x
p 2 1 1 9 6 3 2 2 )设 AB 为过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为

B. p

C. 2 p

D.无法确定
p 2

垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ? , y ? ? p, AB min ? 2 p

5. ( )若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的 坐标为( ) A. ( , ? B
1 2 1 2 1 2 1 2 ) B. ( , ? ) C. ( , ) D. ( , ) 4 4 8 4 4 4 8 4 点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所作的高也是中线

2 1 2 1 ,? P( , ? ) ? Px ? ,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ? 4 8 4 8 2 6. ( )抛物线 y ? 2x 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称, 1 3 5 且 x1 ? x2 ? ? ,则 m 等于 A. B. 2 C. D. 3 2 2 2 y ?y 1 x ?x y ?y A k AB ? 2 1 ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 1 , 2 1 ) x2 ? x1 2 2 2 y ?y x ?x 在直线 y ? x ? m 上,即 2 1 ? 2 1 ? m, y2 ? y1 ? x2 ? x1 ? 2m 2 2 3 2( x2 2 ? x12 ) ? x2 ? x1 ? 2m, 2[( x2 ? x1 )2 ? 2 x2 x1 ] ? x2 ? x1 ? 2m, 2m ? 3, m ? 2 2 7. ( )若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移 1 动时,使 MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为 A. ?0,0 ? B. ? ,1? C. 1, 2 ? ? ?2 ?

?

?

D. ?2,2 ? D MF 可以看做是点 M 到准线的距离, 当点 M 运动到和点 A 一样高时,MF ? MA 取 得最小值,即 M y ? 2 ,代入 y 2 ? 2 x 得 M x ? 2
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二、填空题: 8.抛物线 y 2 ? 6 x 的准线方程为_____. x ? ?
3 2 2 p ? 6, p ? 3, x ? ? p 3 ?? 2 2

9.对于抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点 Q ,点 P(a,0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是____。
t ? ??, 2? 设 Q( t2 ? a)2 ? t 2 ? a 2 , t 2 (t 2 ? 16 ? 8a) ? 0, 4 4 t 2 ? 16 ? 8a ? 0, t 2 ? 8a ? 16 恒成立,则 8a ? 16 ? 0, a ? 2 , t ) ,由 PQ ? a 得 (
2

10.若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y 2 ? 8 x 交于 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标 是2, 则 AB ? ______。
? y 2 ? 8x 4k ? 8 , k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? ?4 2 15 ? k2 ? y ? kx ? 2 得 k ? ?1, 或2 ,当 k ? ?1 时, x2 ? 4 x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根,不合题意

当 k ? 2 时, AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 16 ? 4 ? 2 15 11. 已知 A(0, ?4), B(3, 2) , 抛物线 y 2 ? 8 x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________。
3 5 5
d?

直线 AB 为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,设抛物线 y 2 ? 8 x 上的点 P(t , t 2 )
2t ? t 2 ? 4 5 ? t 2 ? 2t ? 4 (t ? 1) 2 ? 3 3 3 5 ? ? ? 5 5 5 5

三、解答题: 12.在抛物线 y ? 4 x 2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。 解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 17

当 t ? 时, d 取得最小值,此时 P( ,1) 为所求的点。 13.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 求抛物线的方程。 解:设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,则 ?
, 消去 y 得 y ? 2x ?1 ? p?2 1 4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 4 p?2 2 1 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 ( ) ? 4 ? ? 15 , 2 4 ? y 2 ? 2 px

1 2

1 2



p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4 x,或y 2 ? 12 x

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