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专题3.2 导数在研究函数中的应用(讲)-2018年高考数学(文)一轮复习讲练测(原卷版)


2018 年高考数学第 13 节 导数导数的概念及其在研究函数中的应用 【考纲解读】
考 点 考纲内容 ①了解函数单调性和导 数的关系;能利用导数 研究函数的单调性,会 求函数的单调区间(对 多项式函数一般不超过 三次)。 1.导数在 研究函数 中的应用 ②了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分 条件;会用导数求函数 的极大值、极小值(对 多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上 函数的最大值、最小值 (对多项式函数一般不 超过三次)。 近 5 年无.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K][来源:Zxxk.Com]

5 年统计 2013·新课 标 I.16, 21;新课标 II.10, 21; 2014?新课标 I.11, 21;新课标 II. 8,21; 2015?新课标 I. II.12,21; 2016?新课标 I. 7 , 21;II.16,21;III.15,21; 2017?新课标 I.21;II. III.11,21.

分析预测 1. 以研究函数的单调 性、单调区间、极值 (最值)等问题为主, 与不等式、函数与方 程、函数的图象相结 合; 2. 单独考查利用导数 研究函数的某一性质 以小题呈现,综合研 究函数的性质以大题 呈现; 3. 适度关注生活中的 优化问题. 3.备考重点: (1) 熟 练 掌 握 导 数 公式及导数的四则运 算法则是基础; (2) 熟练掌握利用导

2.生活中 的优化问 题

数研究函数的单调 会利用导数解决某些实 际问题。 性、极值(最值)的 基本方法,灵活运用 数形结合思想、分类 讨论思想、函数方程 思想等,分析问题解 决问题.
[来源:学科网 ZXXK]

【知识清单】
1

1.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数

f(x)=c(c 为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x
2.导数的运算法则

f′(x)= f′(x)= f′(x)= f′(x)= f′(x)= f′(x)= f′(x)= f′(x)=

(1) [f(x)±g(x)]′=______________; (2) [f( x)·g(x)]′=_______________________; (3) ?

? f ( x) ? f '( x) ? g ( x) ? g '( x) ? f ( x) (g(x)≠0). '? ? g 2 ( x) ? g ( x) ?

对点练习:
?x 【2017 广东佛山二模】若直线 y ? kx 与曲线 y ? x ? e 相切,则 k ? __________.

2.函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数几何意义
函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度 就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

对点练习:
2 【2017 课标 1,文 14】曲线 y ? x ?

1 在点(1,2)处的切线方程为______________. x

3.利用导数研究函数的单调性
在 ( a, b) 内可导函数 f ( x ) , f '( x) 在 ( a, b) 任意子区间内都不恒等于 0.

f '( x) ? 0 ? f ( x) 在 ( a, b) 上为增函数.

f '( x) ? 0 ? f ( x) 在 ( a, b) 上为减函数.

对点练习:
【2016 新课标 1 文数】若函数 f ( x) ? x - sin 2 x ? a sin x 在 ? ??, ??? 单调递增,则 a 的取值范围是(
2

1 3



(A) ??1,1?

(B) ? ?1, ? 3

? ?

1? ?

(C) ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

(D) ? ?1, ? ? 3

? ?

1? ?

4.函数的极值
(1)函数的极小值: 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的 极小值. (2)函数的极大 值: 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点 x =b 附近的左侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0,则点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x) 的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

对点练习:
【2017 山东,文 20】 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ?

1 3 1 2 x ? ax , a ? R ., 3 2

(I)当 a=2 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 3, f ?3? 处的切线方程; (II)设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? a ? cos x ? sin x ,讨论 g ? x ? 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

?

?

5.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a ,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在[a, b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

对点练习:
【2017 北京,文 20】已知函数 f ( x) ? ex cos x ? x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值.
3

π 2

【考点深度剖析】
1. 本节中导数的运算、导数的几何意义等是重点知识,基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点 内容,考查题型多为选择、填空题,也常出现在解答题中前几问,难度较低.归纳起来常见的命题探究角 度有: (1)求切线方程问题.(2)确定切点坐标问题.(3)已知切线问题求参数.(4)切线的综合应用. 2.导数是研究函数性质的重要工具,它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的 零点等.从题型看,往往有一道选择题或填空题,有一道解答题.其中解答题难度较大,常与不等式、方程 等结合考查.

【重点难点突破】
考点 1 导数的运算

【1-1】求下列函数的导 数.

?1? y ? ? 2x 2 ? 1? (3x ? 1)
x2 ? x ?1 ? 2? y ? 2 x ? x ?1 ? 3 ? y ? 3x e x ? 2 x ? e

? 4? y ?

lnx x2 ?1
5

? 5? y ? ? 3 ? 2x ?
【领悟技法】

1.求函数导数的一般原则如下:(1)遇到连乘积的形式,先展开化为多项式形式,再求导; (2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂分式,先将分式化简,再求导. 2.复合函数的求导方法 求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量; ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量; ③根据基本函数的 导数公式及 导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数; ④复合函 数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的 复合过程.

【触类旁通】
【变式一】已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(e) ? ln x ,则 f ?(e) ? ( ) A. e B. ?1 C. ? e
?1

D. ? e

4

【变式二】已知函数 f ( x) ? a sin x ? bx3 ? 4(a, b ? R), f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,则

f (2014) ? f (?2014) ? f ?(2015) ? f ?(?2015) ? (
A. 0 B.2014 C.2015

) D.8

考点 2

导数的几何意义

【2-1】曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 3 在点 P 处的切线平行于直线 y ? 2 x ? 1 ,则 P 点的坐标为( ) A. (1,3) B. (?1,3) C. (1,3) 和 (?1,3) D. (1,?3)

【2-2】 【2017 山西孝义二模】曲线 f ( x) ? x2 过点 P(?1, 0) 处的切线方程是_____________. 【2-3】已知曲线 y ?

1 3 4 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; x ? , 3 3

(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为 4 的曲线的切线方程..

【领悟技法】
1.求函数 f ( x ) 图象上点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率 k ,由导数的几何意 义知 k ? f '( x0 ) ,故当 f '( x0 ) 存在时,切线 方程为 y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) . 2.可以利用导数求曲线的切线方程,由于函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数表示曲线在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切 线的斜率,因此,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程,可按如下方式求得: 第一,求出函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,即曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率; 第二,在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程 y ? y0 ? f '( x0 )( x ? x0 ) ;如果曲线 y ? f ( x) 在 点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线的定义可知,切线的方程为 x ? x0 .

【触类旁通】

5

【变式一】 已知函数 y ? f ? x ? 的图象在点 M 2, f ? 2? 处的切线方程是 y ? x ? 4 , 则 f ? 2? ? f ? ? 2? ?

?

?



【变式二】已知函数 f ( x) ? ln x ? x ,则函数 f ( x) 点 P(1, f (1) )的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积 为 .

考点 3

确定函数的单调性或求函数的单调区间
f ( x) 的递减区间为( ex


【3-1】已知函数 f ( x) 与 f ' ( x) 的图象如下图所示,则函数 g ( x ) ?

A. (0,4)

B. (0,1) , (4,??)

C. (0, )

4 3

D. (??,1) , ( ,4)

4 3

1 2 【3- 2】2017·深圳模拟】已知函数 f(x)= x -2aln x+(a-2)x,当 a<0 时,讨论函数 f(x)的单调性. 2

【领悟技法】
1.导数法证明函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内的单调性的步骤:(1)求 f '( x) ;(2)确认 f '( x) 在 ( a, b) 内 的符号; (3)作出结论: f '( x) ? 0 时为增函数; f '( x) ? 0 时为减函数. 2.求函数的单调区间方法一:①确定函数 y ? f ( x) 的定义域; ③解不等式 f '( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式 f '( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3.求函数的单调区间方法二:①确定函数 y ? f ( x) 的定义域; ②求导数 y ' ? f '( x) ,令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数 f ( x ) 的间断点(即 f ( x ) 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然 后用这些点把函数 f ( x ) 的定义区间分成若干个小区间; ④确定 f '( x) 在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. ②求导数 y ' ? f '( x) ;

【触类旁通】
【变式一】 【2017·鸡西模拟】函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是(
6
x

)

A.(-∞,2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D.(2,+∞)

【变式二】已知函数 f ( x) ? ax2 ? 1(a ? 0), g ( x) ? x3 ? bx . (1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的 交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间.
2

考点 4

已知函数的单调性求参数的范围
a ( x ? 1) ? ln x 在 [1, ??) 上是减函数,则实数 a 的取值范围为( x ?1
B. a ? 2 C. a ? 2 ) ) D. a ? 3

【4-1】已知函数 f ( x) ? A. a ? 1 【4-2】若 f ( x) ? ? A.[-1,+∞) C.(-∞,-1]

1 ( x ? 2) 2 ? b ln x 在(1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B.(-1,+∞) D.(-∞,-1)

【领悟技法】
已知函数单调性,求参数范围的两个方法: (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间( a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减,则 f′(x)≤0” 来求解. 提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内的任一非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.

【触类旁通】
x2 ,-x) , b=(1,t ) ,若函数 f ? x ?=a· 【变式一】已知向量 a =(e ? b 在区间(-1,1)上存在增区间,则 t 2
x

的取值范围为________. 【变式二】已知函数 f ( x) ? ln (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 g ( x) 在区间 [2, ??) 上为增函数,求 a 的取值范围;
7

ex 3 x 2a ? f ?(1) ? x , g ( x) ? ? ? f ( x) (其中 a ? R ). 2 2 x

考点 5 应用导数研究函数的极(最)值问题
【5-1】 【2017 河北武邑三调】已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ? (1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 的极值;

1 ? 2ax . x

(2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调增区间.

【5-2】 【2016 新课标 2 理数】(Ⅰ)讨论函数 f (x) ?

x?2 x e 的单调性,并证明当 x ? 0 时, x?2

( x ? 2)ex ? x ? 2 ? 0 ;
(Ⅱ)证明: 当 a ?[ 0 1 ,) 的值域.

g x) = 时, 函数 (

e x ? ax ? a ( x ? 0) 有最小值.设 g ( x) 的最小值为 h(a) , 求函数 h(a) x2

【领悟技法】
1.求函数 f(x)极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数 f′(x);(3)解方程 f′(x)=0,求出函数定 义域内的所有根;(4)列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x) 在 x0 处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值.

8

2. 求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点 的函数值 f(a),f(b);(3)将函数 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一 个为最小值.

【触类旁通】
【变式一】 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ? 2n?1 ? k , 则 f ? x ? ? x ? kx ? 2x ?1 的极大值为 (
3 2



A .2

B.3

C.

7 2

D.

5 2

3 2 x 【变式二】已知函数 f ? x ? ? ? ? x ? ? a ? 1? x ? ax ? a ? ? e ,若 x ? 0 是 f ? x ? 的一个极大值点,则实数 a 的取

值范围为



【易错试题常警惕】
易错典例:已知函数 f(x)=(x-k)e . (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 易错分析:解答本题时,易于忽视对 k-1 不同取值情况 的讨论,而错误得到 f(x)在区间[0,1]上的最小值 为 f(k-1). 温馨提醒:1.求函数极值时,易于误把导数为 0 的点作为极值点;极值点的导数也不一定为 0. 2.极值与最值:注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念.
x

【学科素养提升之思想方法篇】
_____化整为零,积零为整——分类讨论思想 1.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、 积零为整的思想与归类整理的方法,这种思想在简化研究对象,发展思维方面起着重要作用,因此,有关 分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论,就是在研究和解决数学问题时, 当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分 为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想方法,我 们称 之为“分类讨论的思想”. 2.分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的; ⑵问题中的条件是分类给出的; ⑶解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的; ⑷涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
9

x 【典例】 【2017 湖北襄阳四校期中联考】已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ?

1 2 ax 2

(a ? R)

?I?

当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间;

? II ? 当 x ? (0, +?) 时, y ?

f ?( x) 的图象恒在 y ? ax3 ? x 2 ? (a ? 1) x 的图象上方,求 a 的取值范围.

高考感悟 1.
【2016 高考四川文科】已知错误!未找到引用源。函数错误!未找到引用源。的极小值点,则错误! ) (C)4 (D)2 )

未找到引用源。=( (A)-4 (B) -2

2.

【 2014 湖南文 9】若错误!未找到引用源。 ,则(

A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 )

3.【2015 高考湖南,文 8】设函数错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。是(
A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数 B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数

4. 5.

【2014 高考广东卷.文.11】曲线错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处的切线方程为

________. [2016 高考新课标Ⅲ文数]已知 为偶函数,当错误!未找到引用源。 时,错误! 错误!未找到引用源。 ,则曲线 在 处的切线方程式 未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 _____________________________.

6.

【2015 高考陕西,文 15】函数错误!未找到引用源。在其极值点处的切线方程为____________.

7.【2015 高考新课标 1,文 14】已知函数错误!未找到引用源。的图像在点错误!未找到引用源。的处的
切线过点错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 .

8.

【2015 高考天津,文 11】已知函数 ,其中 a 为实数, 为 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错 的导函数,若 ,则 a 的值为 错误!未找到引用源。 .

误!未找到引用源。

9.

【2015 新课标 2 文 16】已知曲线错误!未找到引用源。在点 处的切线与曲线 错误!未找到引用源。
10

错误!未找到引用源。

相切,则 a=



10.【2014 高考北京文第 20 题】 (本小题满分 13 分)
已知函数错误!未找到引用源。. 值; (1)求错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上的最大

11.

【2014 全国 2,文 21】 (本小题满分 12 分)

已知函数错误!未找到引用源。 ,曲线错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处的切线与错误! 未找到引用源。轴交点的横坐标为错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求错误!未找到引用源。 ;

12. 【2015 高考重庆,文 19】已知函数错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 )在 x=错误!未找到
引用源。处取得极值.

(Ⅰ)确定错误!未找到引用源。的值,

11


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