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中考数学一轮复习精品——第11讲 二次函数(含答案)


初中数学第一轮复习教案

第十一讲:二次函数
二次函数这一章在初中数学中占有重要地位,同时也是高中数学学习的基础.作为初高 中衔接的内容,二次函数在中考命题中一直是“重头戏”,根据对近几年中考试卷的分析,预 计 2010 年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题,中高档的解答题,分值 一般为 9~15 分,除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外,还会出现与二次函数有 关的贴近生活实际的应用题,阅读理解题和探究题,二次函数与其他函数方程、不等式、几 何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大. 知识梳理:

练习: 1.抛物线 y ? 3( x ? 1) ? 2 的对称轴是(
2

) C.

A. x ? 1
2

B. x ? ?1

x?2
2

D. x ? ?2 ).

2.要得到二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 2 的图象,需将 y ? ? x 的图象( A.向左平移 2 个单位,再向下平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位,再向上平移 2 个单位 C.向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位 D.向右平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位

最新考题 1.(2009 年四川省内江市)抛物线 y ? ( x ? 2) ? 3 的顶点坐标是( )
2

A.(2,3)

B.(-2,3)

C.(2,-3)

D.(-2,-3)

1

初中数学第一轮复习教案

2. 2009 年泸州) ( 在平面直角坐标系中, 将二次函数 y ? 2x 2 的图象向上平移 2 个单位, 所得图象的解析式为 A. y ? 2 x 2 ? 2 C. y ? 2( x ? 2) 2 B. y ? 2 x 2 ? 2 D. y ? 2( x ? 2) 2

知识点 2:二次函数的图形与性质 例 1:如图 1 所示,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和 (1,0)且与 y 轴交于负半轴.

第(1)问:给出四个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0,其中正确的结论的序号 是 .

第(2)问:给出四个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是 _______.

例 2:抛物线 y=-x2+(m-1)x+m 与 y 轴交于(0,3)点,(1)求出 m 的值并画出这条 抛物线;(2)求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标;(3)x 取什么值时,抛物线在 x 轴 上方?(4)x 取什么值时,y 的值随 x 的增大而减小?

2

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思路点拨:由已知点(0,3)代入 y=-x2+(m-1)x+m 即可求得 m 的值,即可知道 二次函数解析式,并可画出图象,然后根据图象和二次函数性质可得(2)(3)(4). 解:(1)由题意将(0,3)代入解析式可得 m=3, 图象(图 2): ∴ 抛物线为 y=-x2+2x+3.

(2)令 y=0,则-x2+2x+3=0,得 x1=-1,x2=3; ∴ 抛物线与 x 轴的交点为(-1,0),(3,0). ∵ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴ 抛物线顶点坐标为(1,4); (3)由图象可知:当-1<x<3 时,抛物线在 x 轴上方; (4)由图象可知:当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小. 练习: 1.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是( ... A. h ? m B. k ? n C. k ? n D. h ? 0,k ? 0 )

2.函数 y =ax+1 与 y =ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是(



y
1

y
1

y
1

y
1

x

o
A

o
B

x

o
C

x
D

o

x

3

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最新考题 1.(2009 深圳)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,若点 A(1,
A D O G B

y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则 y1 与 y2 的大小关系是() A. y1 ? y 2 B. y1 ? y 2 C. y1 ? y 2 D.不能确定

F C

E

2.(2009 北京)如图,C 为⊙O 直径 AB 上一动点,过点 C 的直线交⊙O 于 D、E 两点, 且∠ACD=45° DF⊥AB 于点 F,EG⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时, AF= x , , 设 DE= y , 下列中图象中,能表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是( )

3.(2009 年台州)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的 y 与 x 的部分对应值如下表:

x
y

… …

?1

0 1

1 3

3 1

… …

?3

则下列判断中正确的是( A.抛物线开口向上 C.当 x =4 时, y >0 知识点 3:二次函数的应用

) B.抛物线与 y 轴交于负半轴 D.方程 ax ? bx ? c ? 0 的正根在 3 与 4 之间
2

例 1:如图,从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度

h (单位:米)与小球运动时间 t (单位:秒)的函数关系式是

h ? 9.8t ? 4.9t 2 ,那么小球运动中的最大高度 h最大 ?



h

4

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例 2:“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高,房子的价格 y(元/平方米)随楼层 数 x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x,y)都在一个二次函 数的图像上(如图 6 所示),则 6 楼房子的价格为 思路点拨:观察函数图像得:图像关于 x ? 4 对称, 当 x ? 2时,y=2080元.因为 x=2 到对称轴的距离 与 x=6 到对称轴的距离相等。 所以,当 x ? 6时,y=2080元. 元/平方米.

练习: 1.出售某种文具盒, 若每个获利 x 元, 一天可售出 ? 6 ? x ? 个, 则当 x ? 一天出售该种文具盒的总利润 y 最大. 元时,

2.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位 AB 时,宽 20cm,水位上升 3m 就达到警戒线 CD,这时水面宽度为 10cm. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式; (2)若洪水到来时,水位以每小时 0.2m 的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时 才能到达拱桥桥顶?

5

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最新考题 1.(2009 年台湾)向上发射一枚炮弹,经 x 秒后的高度为 y 公尺,且时间与高度关系为 y=ax2?bx。若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高 的?( ) A. 第 8 秒 B. 第 10 秒 C. 第 12 秒 D. 第 15 秒 2.(2009 年河北)某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数

y?

1 2 x (x>0),若该车某次的刹车距离为 5 m,则开始刹车时的速度为( 20
B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s



A.40 m/s

过关检测
一、选择题 1.抛物线 y=-2(x-1)2-3 与 y 轴的交点纵坐标为( (A)-3 (B)-4 (C)-5 (D)-1 ) )

2.将抛物线 y=3x2 向右平移两个单位,再向下平移 4 个单位,所得抛物线是( (A) y=3(x+2)2+4 (B) y=3(x-2)2+4 (C) y=3(x-2)2-4 (D)y=3(x+2)2-4 3.抛物线 y = (A) y =

1 2 x ,y =-3x2,y =x2 的图象开口最大的是( 2



1 2 x (B)y =-3x2 (C)y =x2 (D)无法确定 2


4.二次函数 y =x2-8x+c 的最小值是 0,那么 c 的值等于( (A)4 (B)8 (C)-4 (D)16 )

5.抛物线 y=-2x2+4x+3 的顶点坐标是( (A)(-1,-5) (B)(1,-5)

(C)(-1,-4)

(D) (-2,-7) )

6.过点(1,0),B(3,0),C(-1,2)三点的抛物线的顶点坐标是( (A)(1,2) (B)(1,

2 ) 3

(C) (-1,5)

(D)(2, ?

1 ) 4

7. 若二次函数 y=ax2+c,当 x 取 x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当 x 取 x1+x2 时, 函数值为( (A)a+c ) (B)a-c (C)-c (D)c

6

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8. 在一定条件下,若物体运动的路程 s(米)与时间 t(秒)的关系式为 s ? 5t 2 ? 2t , 则当物体经过的路程是 88 米时,该物体所经过的时间为( (A)2 秒 (B) 4 秒 (C)6 秒 (D) 8 秒 )

9.如图 2,已知:正方形 ABCD 边长为 1,E、F、G、H 分别为各边上的点, 且 AE=BF=CG=DH, 设小正方形 EFGH 的面积为 s ,AE 为 x ,则 s 关于 x 的函数图象大致 是( )

图2 (A) (B) (C) (D)

10.抛物线 y=ax2+bx+c 的图角如图 3,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a> ④b<1.其中正确的结论是( (A)①② (B)②③ (C)②④ (D)③④ )

1 ; 2

二、填空题 1.已知函数 y=ax2+bx+c,当 x=3 时,函数的最大值为 4,当 x=0 时,y=-14,则函数 关系式____. 2.请写出一个开口向上,对称轴为直线 x=2,且与 y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的 解析式
2



3.函数 y ? x ? 4 的图象与 y 轴的交点坐标是________. 4.抛物线 y= ( x – 1)2 – 7 的对称轴是直线 .

5.二次函数 y=2x2-x-3 的开口方向_____,对称轴_______,顶点坐标________. 6.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的两个交点的坐标是(5,0),(-2,0),则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_______.
7

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7.用配方法把二次函数 y=2x2+2x-5 化成 y=a(x-h)2+k 的形式为___________. 8.抛物线 y=(m-4)x2-2mx-m-6 的顶点在 x 轴上,则 m=______. 9.若函数 y=a(x-h)2+k 的图象经过原点,最小值为 8,且形状与抛物线 y=-2x2-2x+3 相同,则此函数关系式______. 10.如图 1,直角坐标系中一条抛物线经过网格点 A、B、C,其中,B 点坐标为 (4, , 4) 则该抛物线的关系式__________.

三、解答题 21. 已知一次函 y ? ?m ? 2?x ? ?m ? 3?x ? m ? 2 的图象过点(0,5)
2

⑴ 求 m 的值,并写出二次函数的关系式; ⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.

8

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22.已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过(-1,0),(0,-3),(2,-3)三点. ⑴求这条抛物线的表达式; ⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

23.有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度 BM 为 3 米,跨度 OA 为 6 米,以 OA 所在直线为 x 轴,O 为原点建立直角坐标系(如右图所示). ⑴请你直接写出 O、A、M 三点的坐标; ⑵一艘小船平放着一些长 3 米,宽 2 米且厚度均匀的矩形木板,要使该小船能通过此桥 洞,问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)?

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24. 甲车在弯路作刹车试验,收集到的数据如下表所示: 速度 x(千米/ 0 小时) 刹车距离 y (米) (1)请用上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,在右图所示的坐标系中画出甲车 刹车距离 y(米). (2)在一个限速为 40 千米/时的弯路上,甲、乙两车相向速度 x(千米/时)的函数图 象,并求函数的解析式. 而行,同时刹车,但还是相撞了.事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为 12 米和 10.5 米,又知乙车的刹车距离 y(米)与速度 x(千米/时)满足函数 y ? 度方面分析相撞的原因.
3 04

1 5 0 2 5
15 4

1 0

2 2 35 5 4 6





1 x ,请你就两车的速 4

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25. 某企业投资 100 万元引进一条产品加工生产线,若不计维修、保养费用,预计投 产后每年可创利 33 万.该生产线投产后,从第 1 年到第 x 年的维修、保养费用累计为 y(万 元),且 y=ax2+bx,若第 1 年的维修、保养费用为 2 万元,第 2 年为 4 万元. (1)求 y 的解析式; (2)投产后,这个企业在第几年就能收回投资?

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二次函数答案
一、1-5 CCADB 6-10 DDBBB.

(2)顶点坐标是(-3,-4),对称轴是直线 x=-3.

?c ? ?3, ? 22.由已知,得 ? a ? b ? c ? 0, 解得 a=1,b=-2,c=-3. ? 4a ? 2b ? c ? ?3 ?
所以 y=x2-2x-3. (2)开口向上,对称轴 x=1,顶点(1,-4). 23. 解:(1)0(0,0),A(6,0),M(3,3).

(2)设抛物线的关系式为 y=a(x-3)2+3,因为抛物线过点(0,0),所以 0=a(0-3)2+3,解 得 a=-

1 1 1 ,所以 y=- (x-3)2+3=- x2+2x, 3 3 3 1 2 x +2x, 3

要使木版堆放最高, 依据题意, B 点应是木版宽 CD 的中点, x=2 代入 y=- 得 把 得 y=

8 8 ,所以这些木版最高可堆放 米. 3 3

24. 解:(1)如图, 设函数的解析式为 y=ax2+bx+c.因为图象经过点(0,0)、 (10,2)、(20,6), 所以 c=0.

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(2)因为 y=12,所以 y ?

1 2 1 x ? x =12, 100 10

解得 x1=30,x2=-40(不符合题意,舍去) 又因为 y 乙=10.5,所以

1 x ? 10.5 ,x=42. 4

因为乙车速度为 42 千米/时,大于 40 千米/时, 所以,就速度方面原因,乙车超速,导致两车相撞. 25.(1)由题意,x=1 时,y=2;x=2 时,y=2+4=6,分别代入 y=ax2+bx,得 a+b=2, 4a+2b=6,解得,a=1,b=1,所以 y=x2+x. (2)设 G=33x-100-x2-x,则 G=-x2+32x-100=-(x-16)2+156. 由于当 1≤x≤16 时,G 随 x 的增大而增大,故当 x=4 时,即第 4 年可收回投资.

14


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