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浙江省温州市2015年高考数学二模试卷(理科)


2015 年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题是 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是( ) A. y=﹣ B. y=2x C. y=log2x D. y=2
2 x

2.命题“任意的 x∈R,都有 x ≥0 成立”的否定是( 2 A. 任意的 x∈R,都有 x ≤0 成立 2 B. 任意的 x∈R,都有 x <0 成立 C. 存在 x0∈R,使得 x D. 存在 x0∈R,使得 x ≤0 成立 <0 成立



3.要得到函数 y= A. 向左平移 C. 向左平移

sin2x+cos2x 的图象,只需将函数 y=2sin2x 的图象( 个单位 B. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位 个单位



4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(



A. (18π﹣20)cm cm B. (24π﹣20)cm C. (18π﹣28)cm D. (24π﹣28) cm
3

2

3

3

23

5.若实数 x,y 满足不等式组

,且 z=y﹣2x 的最小值等于﹣2,则实数 m 的值

等于( ) A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2

6.已知 f(x)=

,则方程 f[f(x)]=2 的根的个数是(



A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个

7.在△ ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,且 状是( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 上述三种情况都有可能

=5,则△ ABC 的形

8.如图所示,A,B,C 是双曲线

=1(a>0,b>0)上的三个点,AB 经过原点 O, )

AC 经过右焦点 F,若 BF⊥AC 且|BF|=|CF|,则该双曲线的离心率是(

A.

B.

C.

D. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 6 分,共 36 分. 9. 集合 A={0, |x|}, B={1, 0, ﹣1}, 若 A?B, 则 A∩B= , A∪B= , CBA= . 10. 设两直线 l1: (3+m) x+4y=5﹣3m 与 l2: 2x+ (5+m) y=8, 若 l1∥l2, 则 m= 若 l1⊥l2,则 m= . 11.已知 ABCDEF 为正六边形,若向量 = . (用坐标表示) ,则| |= ,



12.设数列{ a12=

}是公差为 d 的等差数列,若 a3=2,a9=12,则 d= .
2



13.设抛物线 y =4x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点(在第一象限内) ,若以 PF 为直径的圆 的圆心在直线 x+y=2 上,则此圆的半径为 .

14.若实数 x,y 满足 4x +2x+y +y=0,则 2x+y 的范围是

2

2



15.如图所示的一块长方体木料中,已知 AB=BC=4,AA1=1,设 E 为底面 ABCD 的中心, 且 (0≤λ≤ ) , 则该长方体中经过点 A1、 E、 F 的截面面积的最小值为 .

三、解答题:本大题共 5 小体,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.已知函数 f(x)=cos2x﹣8sin
4



(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 y=f(2x﹣ )在 x 上的值域.

17.如图所示,在三棱锥 D﹣ABC 中,AB=BC=CD=1,AC= ∠BCD=90°. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABC; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

,平面 ACD⊥平面 ABC,

18.如图所示,椭圆 C:

=1(a>b>0)与直线 AB:y= x+1 相切于点 A.

(1)求 a,b 满足的关系式,并用 a,b 表示点 A 的坐标; (2)设 F 是椭圆的右焦点,若△ AFB 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形,求椭圆 C 的标 准方程.

19.已知函数 f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a. (1)若 f(x)在区间[0,1]上不单调,求 a 的取值范围; (2)若对于任意的 a∈(0,4) ,存在 x0∈[0,2],使得|f(x0)|≥t,求 t 的取值范围. 20.已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且 an+1=2an+3an﹣1(n≥2,n∈N ) . + (Ⅰ)设 bn=an+1+an(n∈N ) ,求证{bn}是等比数列; (Ⅱ) (i)求数列{an}的通项公式; (ii)求证:对于任意 n∈N 都有
+ +

2

成立.

2015 年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题是 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是( ) A. y=﹣ B. y=2x C. y=log2x D. y=2
x

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据反比例函数单调性,奇函数的定义,一次函数的单调性,对数函数和指数函数 的奇偶性即可找到正确选项. 解答: 解:反比例函数 y= 在其定义域上没有单调性;

一次函数 y=2x 时奇函数,且在其定义域上为增函数,∴B 正确; x 根据对数函数 y=log2x,和指数函数 y=2 的图象知,这两函数都不是奇函数. 故选:B. 点评: 考查反比例函数、一次函数的单调性,一次函数、对数函数,以及指数函数的奇偶 性,知道奇函数图象的特点. 2.命题“任意的 x∈R,都有 x ≥0 成立”的否定是( 2 A. 任意的 x∈R,都有 x ≤0 成立 2 B. 任意的 x∈R,都有 x <0 成立 C. 存在 x0∈R,使得 x D. 存在 x0∈R,使得 x ≤0 成立 <0 成立
2



考点: 专题: 分析: 解答:

命题的否定. 简易逻辑. 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 2 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“任意的 x∈R,都有 x ≥0 成立”的 <0 成立.

否定是:存在 x0∈R,使得 x

故选:D. 点评: 本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 3.要得到函数 y= A. 向左平移 sin2x+cos2x 的图象,只需将函数 y=2sin2x 的图象( 个单位 B. 向右平移 个单位 )

C. 向左平移

个单位 D. 向右平移

个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用两角和的正弦公式, 化简函数 y= (ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:函数 y= sin2x+cos2x=2sin(2x+

sin2x+cos2x 的解析式, 再利用 y=Asin ) , sin2x+cos2x 的图象,

)=2sin2(x+

故把函数 y=2sin2x 的图象向左平移

个单位,可得函数 y=

故选:C. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( )

A. (18π﹣20)cm cm B. (24π﹣20)cm C. (18π﹣28)cm D. (24π﹣28) cm
3

2

3

3

23

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 首先根据三视图把几何体的复原图展示出来,进一步利用体积公式求出结果. 解答: 解:根据三视图得知:该几何体是在一个圆柱中去除一个四棱台, 首先求出圆柱的底面半径 , 所以该几何体的体积是: V 圆柱﹣V 四棱台= =24π﹣28

故选:D 点评: 本题考查的知识要点:三视图的应用,利用几何体的体积公式求几何体的体积.主 要考查学生的空间想象能力和应用能力.

5.若实数 x,y 满足不等式组

,且 z=y﹣2x 的最小值等于﹣2,则实数 m 的值

等于(



A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z=y﹣2x 的最小值等于﹣2,结合数形结合即可 得到结论. 解答: 解:由 z=y﹣2x,得 y=2x+z, 作出不等式对应的可行域, 平移直线 y=2x+z, 由平移可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时, 直线 y=2x+z 的截距最小,此时 z 取得最小值为﹣2,即 y﹣2x=﹣2, 由 ,解得 ,

即 A(1,0) , 点 A 也在直线 x+y+m=0 上, 则 m=﹣1, 故选:A

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.

6.已知 f(x)=

,则方程 f[f(x)]=2 的根的个数是(



A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 考点: 专题: 分析: 解答: 根的存在性及根的个数判断. 计算题;函数的性质及应用. 由题意,根据分段函数分段讨论根的可能性,从而求 f(x) ,再由 f(x)求 x 即可. 解:由题意,
f(x)

当 f(x)≤0 时,f[f(x)]=2 =2, 无解; 当 f(x)>0 时,f[f(x)]=|log2f(x)|=2;

故 f(x)= 或 f(x)=4, 若 f(x)= ,则同上可得, 2 = ,|log2x|= ; 故 x=﹣2 或 x= 或 x= ;
x

若 f(x)=4,则同上可得, x 2 =4,|log2x|=4; 故 x=2(舍去)或 x=16 或 x= ;

故共有 5 个根; 故选:C. 点评: 本题考查了分段函数的应用及方程根的个数问题,属于基础题.

7.在△ ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,且 状是( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 上述三种情况都有可能

=5,则△ ABC 的形

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形;平面向量及应用. 分析: 在△ ABC 中,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,取 BC 的中点为 D,连接 AD、 OD、GD,运用重心和外心的性质,运用向量的三角形法则和中点的向量形式,以及向量的 平方即为模的平方, 可得 , 又 BC=5, 则有| | =|
2

|+ |

2

| >|

2

| +|

2

|,

2

运用余弦定理即可判断三角形的形状. 解答: 解:在△ ABC 中,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心, 取 BC 的中点为 D,连接 AD、OD、GD,如图: 则 OD⊥BC,GD= AD, ∵ 由 则( =﹣ 即﹣ 则 , =5, ) = ? =5, )=5, ,

?( ,

又 BC=5, 则有| | =|
2

|+ |

2

| >|

2

| +|

2

|,

2

由余弦定理可得 cosC<0, 即有 C 为钝角. 则三角形 ABC 为钝角三角形. 故选:B.

点评: 本题考查向量的数量积的性质和运用,主要考查向量的三角形法则和向量的平方即 为模的平方,运用余弦定理判断三角形的形状是解题的关键.

8.如图所示,A,B,C 是双曲线

=1(a>0,b>0)上的三个点,AB 经过原点 O, )

AC 经过右焦点 F,若 BF⊥AC 且|BF|=|CF|,则该双曲线的离心率是(

A.

B.

C.

D. 3

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半,求得 A 的坐标,由对称得 B 的坐标, 由于 BF⊥AC 且|BF|=|CF|, 求得 C 的坐标,代入双曲线方程,结合 a,b,c 的关系和离心率公式,化简整理成离心率 e 的方程,代入选项即可得到答案. 解答: 解:由题意可得在直角三角形 ABF 中, OF 为斜边 AB 上的中线,即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c, 2 2 2 设 A(m,n) ,则 m +n =c , 又 ﹣ =1,

解得 m=

,n=



即有 A(



) ,B(﹣

,﹣

) ,

又 F(c,0) , 由于 BF⊥AC 且|BF|=|CF|, 可设 C(x,y) ,即有 ? =﹣1,

又(c+

) +(

2

) =(x﹣c) +y ,

2

2

2

可得 x=

,y=﹣



将 C(

,﹣

)代入双曲线方程,可得


2 2 3

=1, (b ﹣a )=a ,

化简可得
2 2 2

由 b =c ﹣a ,e= , 可得(2e ﹣1) (e ﹣2) =1, 对照选项,代入检验可得 e= 成立.
2 2 2

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的 a,b,c 的关系和离心率的求法, 注意运用点在双曲线上满足方程,同时注意选择题的解法:代入检验,属于难题. 二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 6 分,共 36 分. 9.集合 A={0,|x|},B={1,0,﹣1},若 A?B,则 A∩B= {0,1} ,A∪B= {﹣1,0, 1} ,CBA= {﹣1} . 考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A,B,以及 A 为 B 的子集确定出 x 的值,进而确定出 A,求出 A 与 B 的交集, 并集,以及 A 的补集即可. 解答: 解:∵A={0,|x|},B={1,0,﹣1},且 A?B, ∴|x|=1,即 A={0,1},

则 A∩B={0,1},A∪B={﹣1,0,1},?BA={﹣1}. 故答案为:{0,1};{﹣1,0,1};{﹣1} 点评: 此题考查了交集及其运算,以及并集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关 键. 10.设两直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m 与 l2:2x+(5+m)y=8,若 l1∥l2,则 m= ﹣7 , 若 l1⊥l2,则 m= ﹣ .

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的平行和垂直关系分别可得 m 的方程,解方程验证可得. 解答: 解:∵两直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m 与 l2:2x+(5+m)y=8, ∴若 l1∥l2,则(3+m) (5+m)﹣4×2=0, 解得 m=﹣1 或 m=﹣7,当 m=﹣1 时两直线重合应舍去, ∴m=﹣7 若 l1⊥l2,则 2(3+m)+4(5+m)=0, 解得 m=﹣ 故答案为:﹣7;﹣ 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系,属基础题.

11.已知 ABCDEF 为正六边形,若向量 = . (用坐标表示)

,则|

|=



考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 画出图形,利用向量的坐标运算,求解即可. 解答: 解:ABCDEF 为正六边形,若向量 如图: A (0, 0) , B F(0,2) . | = 故答案为: ; |=|(0,﹣2)﹣ + . = , C |= . , D , , E =2 . ,

点评: 本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.

12.设数列{

}是公差为 d 的等差数列,若 a3=2,a9=12,则 d=

;a12= 20 .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由数列{ 项公式求 a12. 解答: 解:∵数列{ 则 ∴ ,即 }是公差为 d 的等差数列,且 a3=2,a9=12, ,解得:d= , }是公差为 d 的等差数列,结合已知列式求得公差,再代入等差数列的通

,即 a12=20.

故答案为: ;20. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础的计算题. 13.设抛物线 y =4x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点(在第一象限内) ,若以 PF 为直径的圆 的圆心在直线 x+y=2 上,则此圆的半径为 1 . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的方程求出焦点坐标,设出 P 的坐标,利用中点坐标公式求 PF 的中点, 把中点坐标代入直线 x+y=2 求得 P 的坐标,再由两点间的距离公式求圆的半径. 解答: 解:如图,
2

由抛物线 y =4x,得其焦点 F(1,0) ,

2

设 P(

) (y0>0) ,则 PF 的中点为(

)=(

) ,

由题意可知,点(

)在直线 x+y=2 上,

∴ ∴P(1,2) , 则圆的半径为

,解得:y0=2.



故答案为:1. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用,平面解析式的基础知识.考查了考生对基础知识的 综合运用和知识迁移的能力,是中档题. 14.若实数 x,y 满足 4x +2x+y +y=0,则 2x+y 的范围是 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 配方并三角换元可得 2x+y= 得. 解答: 解:把已知式子配方可得(2x+ ) +(y+ ) = ,
2 2 2 2

[﹣2,0] .

cosθ﹣ +

sinθ﹣ ,由三角函数的值域求解方法可



,∴



∴2x+y=

cosθ﹣ +

sinθ﹣ =sin(θ+

)﹣1,

∵﹣1≤sin(θ+

)≤1,∴﹣2≤sin(θ+

)﹣1≤0,

∴2x+y 的范围为:[﹣2,0], 故答案为:[﹣2,0]. 点评: 本题考查不等式求式子的取值范围,三角换元是解决问题的关键,属中档题. 15.如图所示的一块长方体木料中,已知 AB=BC=4,AA1=1,设 E 为底面 ABCD 的中心, 且 (0≤λ≤ ) ,则该长方体中经过点 A1、E、F 的截面面积的最小值为 .

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 首先找到经过点 A1、E、F 的截面为平行四边形,然后根据平行四边形面积公式结 合二次函数知识求得截面的最小值. 解答: 解:设截面为 A1FMN,显然 A1FMN 为平行四边形,过 A 点作 AG⊥MF 与 G,则 MG⊥A1G,作 MK⊥AD 与 K, 根据题意 AF=4λ,则 CM=DK=4λ,KF=4﹣8λ,MF= 易知 Rt△ MKF∽Rt△ AGF,∴
2 2 2

, ,

,∴AG=

∴A1G =AG +AA1 =

+1,

∴S 截面 =MF ×A1G =MF ×( =32(10λ ﹣2λ+1)=320(λ﹣ ∴当 λ=
2 2

2

2

2

2

+1)=16 λ +4 +(4﹣8λ) )+
2

2 2

2

2

(0≤λ≤ ) , ,此时 S 截面为 .

时,S 截面 =取得最小值 .

故答案为:

点评:本题考查了棱柱的结构特征. 本题中的长方体是一直棱柱, 所以棱 AA1⊥平面 ABCD, 则 AA1⊥AE. 三、解答题:本大题共 5 小体,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.已知函数 f(x)=cos2x﹣8sin
4



(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 y=f(2x﹣ )在 x 上的值域.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)首先对函数的关系式进行恒等变换,把函数的关系式变形成余弦型函数,进 一步求出函数的周期. (Ⅱ)直接利用函数的关系式,再利用函数的定义域求出函数的值域. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=cos2x﹣8sin =1﹣2sin x﹣2 =1﹣2sin x﹣2(1﹣cosx) =4cosx﹣3, 所以函数的最小正周期为 2π. (Ⅱ)由于 f(x)=4cosx﹣3, 所以:y=f( 由于: 所以:﹣ 则:﹣ cos(2x﹣ )≤1, )=4cos( )﹣3
2 2 2 4



则:﹣5≤y≤1 函数的值域为:[﹣5,1]. 点评: 本题考查的知识要点:三角函数的诱导公式,利用余弦型函数的关系式求函数的周 期,利用函数的定义域求函数的值域. 17.如图所示,在三棱锥 D﹣ABC 中,AB=BC=CD=1,AC= ∠BCD=90°. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABC; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值. ,平面 ACD⊥平面 ABC,

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (I)取 AC 中点 M,连结 BM,过 M 在平面 ACD 上作 MN⊥AC,通过已知条件可 分别以 MB、MC、MN 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,设 D(0,y,z) ,利用∠BCD=90° 即 ? =0,可得 D(0, ,1) ,进而 CD⊥平面 ABC; 的夹角

(II) 通过题意, 直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值即为平面 ABD 的法向量与 的余弦值的绝对值,计算即可. 解答: 解: (I)取 AC 中点 M,连结 BM,过 M 在平面 ACD 上作 MN⊥AC, ∵平面 ACD⊥平面 ABC,∴MN⊥平面 ABC, 又∵AB=BC,∴MB⊥AC, 分别以 MB、MC、MN 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图, 则有 B( ,0,0) ,C(0, 则有 =( , ,0) , ? ,0) ,设 D(0,y,z) , =(0,y﹣ , ,z) ,

∵∠BCD=90°,∴

=0,解得 y= ,1) ,

又∵CD=1,∴D(0, ∴

=(0,0,1) ,故 CD⊥平面 ABC; ,0) ,设平面 ABD 的法向量为 =(x,y,z) , =( , ,0) ,

(II)A(0,﹣ 由 =(0,

,0) ,



,取 =(

,1,

) ,

又∵

=(



,0) , |= = .

∴sinθ=|

点评: 本题考查线面垂直的判定定理,向量的数量积运算,注意解题方法的积累,属于中 档题.

18.如图所示,椭圆 C:

=1(a>b>0)与直线 AB:y= x+1 相切于点 A.

(1)求 a,b 满足的关系式,并用 a,b 表示点 A 的坐标; (2)设 F 是椭圆的右焦点,若△ AFB 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形,求椭圆 C 的标 准方程.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)直线方程与椭圆方程联立化为(a +4b )x +4a x+4a ﹣4a b =0,由于直线与 椭圆相切,可得△ =0,即可解出切点 A;
2 2 2 2 2 2 2

(2)设 AF 的斜率为 k,由∠BAF=45°,利用“到角公式”可得

=tan45°,解得 k.再利

用斜率计算公式可得

=﹣ ,由 BF⊥AF,可得 kBF=﹣ .得到直线 BF 的方程,

两条直线方程联立可得 B.利用|AF|=|BF|可得方程,联立解得:a ,c,再利用 b =a ﹣c 即 可得出.

2

2

2

2

解答: 解: (1)联立

,化为(a +4b )x +4a x+4a ﹣4a b =0, (*)

2

2

2

2

2

2 2

∵直线与椭圆相切, ∴△=16a ﹣4(a +4b ) (4a ﹣4a b )=0, 2 2 化为 a +4b =4. ∴2xA= = =﹣a ,
2 2 4 2 2 2 2 2

解得 xA=﹣ ∴A(﹣

,∴yA= ,b ) .
2

=b .

(2)设 AF 的斜率为 k,

由∠BAF=45°,∴

=tan45°=1,解得 k=





=﹣ ,化为

=

. (*)

∵BF⊥AF, ∴kBF=﹣ =3. ∴直线 BF 的方程为:y=3(x﹣c) , 联立 ,

解得 B ∵|AF|=|BF|, ∴



=



化为
2



与(*)联立解得:a = ,c=1, ∴b = .
2

∴椭圆 C 的标准方程为:



点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得 △ =0、等腰直角三角形的性质、“到角公式”、相互垂直的直线斜率之间的公式、两点之间的 距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19.已知函数 f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a. (1)若 f(x)在区间[0,1]上不单调,求 a 的取值范围; (2)若对于任意的 a∈(0,4) ,存在 x0∈[0,2],使得|f(x0)|≥t,求 t 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求导 f′(x)=2x+(a﹣4) ,从而可得 f′(0)?f′(1)=(a﹣4) (2+a﹣4)<0, 从而解得; (2)易知 f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a 的对称轴为 x= ]上是减函数,在[ 2],使得|f(x0)|≥t 为 对于任意的 a∈(0,4) ,|f(0)|≥t 或|f(2)|≥t 或|f( |,|f(2)|,|f( )|≥t 有一个成立即可,即{|f(0) )|}max={|f
2 2

∈(0,2) ,故函数 f(x)在[0,

,2]上是增函数;从而化对于任意的 a∈(0,4) ,存在 x0∈[0,

)|}max≥t 即可,再由 f(1)=0 知∴{|f(0)|,|f(2)|,|f(

(0)|,|f(2)|}max,从而解得. 2 解答: 解: (1)∵f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a, ∴f′(x)=2x+(a﹣4) , 又∵f(x)在区间[0,1]上不单调, ∴f′(0)?f′(1) =(a﹣4) (2+a﹣4)<0, 即 2<a<4, 即 a 的取值范围为(2,4) ; (2)f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a 的对称轴为 x= 又∵a∈(0,4) ,∴
2 2



∈(0,2) , ]上是减函数,

∴函数 f(x)=x +(a﹣4)x+3﹣a 在[0, 在[ ,2]上是增函数,

故对于任意的 a∈(0,4) ,存在 x0∈[0,2],使得|f(x0)|≥t 可化为 对于任意的 a∈(0,4) ,|f(0)|≥t 或|f(2)|≥t 或|f( )|≥t 有一个成立即可,

即{|f(0)|,|f(2)|,|f( 又∵f(1)=0, ∴{|f(0)|,|f(2)|,|f(

)|}max≥t 即可,

)|}max={|f(0)|,|f(2)|}max, )|}max= ,

故{|f(0)|,|f(2)|,|f(



的最小值为 1,

故 1≥t 即可, 故 t 的取值范围为(﹣∞,1]. 点评: 本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质与应用,同时考查了恒成立问题与存 在性问题,属于难题. 20.已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且 an+1=2an+3an﹣1(n≥2,n∈N ) . + (Ⅰ)设 bn=an+1+an(n∈N ) ,求证{bn}是等比数列; (Ⅱ) (i)求数列{an}的通项公式; (ii)求证:对于任意 n∈N 都有
+ +

成立.

考点: 数列的求和;等比关系的确定;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形,进一步的出数列是等比数 列. (Ⅱ) (i)根据(Ⅰ)的结论进一步利用恒等变换,求出数列的通项公式. (ii)首先分奇数和偶数分别写出通项公式,进一步利用放缩法进行证明. 解答: 证明: (Ⅰ)已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且 an+1=2an+3an﹣1(n≥2,n∈N ) . 则:an+1+an=3(an+an﹣1) 即: ,
+

所以:



数列{bn}是等比数列. (Ⅱ) (i)由于数列{bn}是等比数列. 则: ,

整理得:

所以: 则: 所以: 是以( )为首项,﹣1 为公比的等比数列.

求得:

(ii)由于:



所以:

则: (1)当 n 为奇数时,



当 n 为偶数时,



所以:

=

…+

所以:n∈k 时,对任意的 k 都有

恒成立.

点评: 本题考查的知识要点:利用定义法证明数列是等比数列,利用构造数列的方法来求 数列的通项公式,放缩法的应用.


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