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湖南省衡阳市第八中学2017届高三数学暑期第一次月考试题(实验班)


衡阳八中 2016 年下期高三年级第一次月考试卷 文数/理数(试题卷)
考试范围:集合、基本逻辑用语,函数与导数 注意事项: 1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次月考试卷,分两卷。其中共 22 题,满分 150 分, 考试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立 即向监考老师通报。开考 15 分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。 3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用 2B 铅笔填涂,非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。 ★预祝考生考试顺利★ 第 I 卷 选择题(每题 5 分,共 60 分) 本卷共 12 题, 每题 5 分, 共 60 分, 在每题后面所给的四个选项中, 只有一个是正确的。 [文 理科] 1.设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B=( A.{x|0≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} 2.下列命题中正确的个数为( B.{x|1≤x≤2} D.{x|1≤x≤4} ) )

①若“一个整数的末位数字是 0,则这个整数能被 5 整除”的逆命题; ②若“一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题; ③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题; ④“每个正方形都是平行四边形”的否定; ⑤设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分不必要条件. A.1 B.2
x

C.3 )

D.4

3.函数 f(x)=log2(3 ﹣1)的定义域为(

A.[1,+∞)B.(1,+∞ C.[0,+∞)D.(0,+∞)

4.已知命题

函数

的定义域为

,命题

不等式 ”

对一切正实数 均成立.如果,命题“ 为假命题,则实数 的取值范围为( A.
a

”为真命题,命题“

). D.?

B.
b

C. )

5.若 100 =5,10 =2,则 2a+b=( A.0 B.1 C.2 )

D.3

6.偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(﹣2),f(1), f(﹣3)的大小关系是( A.f(1)>f(﹣3)>f(﹣2) B.f(1)>f(﹣2)>f(﹣3) C.f(1)<f(﹣3)<f(﹣2)

D.f(1)<f(﹣2)<f(﹣3)

7.函数

的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

8.函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=1,对任意 x∈R,f′(x)>3,则 f(x)>3x+4 的解集为( A.(﹣1,1) C.(﹣∞,﹣1) ) B.(﹣1,+∞) D.(﹣∞,+∞)

9.已知函数 f(x)= A.1 10.已知函数 成立,则称 A. 个 11. 若函数 ( A.若 B.若 C.若 D.若 ) ,不存在实数 为函数 B . 个 B.2 C.3 ,若

,则 f(f(5))的值为( D.4 ,使



的一个“生成点”,函数 C . 个 D . 个

的“生成点”共有(



在区间

上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是

使得

; 使得 ; ;

,存在且只存在一个实数 ,有可能存在实数 ,有可能不存在实数 使得

使得

12.设函数 f (x) 的定义域 D, 如果存在正实数 m, 使得对任意 x∈D, 都有 f (x+m) >f (x) , 则称 f(x)为 D 上的“m 型增函数”.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0

时,f(x)=|x﹣a|﹣a(a∈R).若 f(x)为 R 上的“20 型增函数”,则实数 a 的取值范 围是( A.a>0 ) B.a<5 C.a<10 D.a<20 第 II 卷 非选择题(共 90 分) 二.填空题(每题 5 分,共 20 分)[文理科] 13.若函数 f(x)的定义域是[0,4],则函数 f(2x﹣3)的定义域是 . 14.已知奇函数 f(x)的定义域为[﹣2,2],且在定义域上单调递减,则满足不等式 f(1 ﹣m)+f(1﹣2m)<0 的实数 m 的取值范围是 . 15. 若函数 f(x)=x +ln(x+a)与 g(x)=x +e ﹣ (x<0)的图象上存在关于 y 轴对 称的点,则实数 a 的取值范围是 . 16.已知函数 y=f(x),x∈I,若存在 x0∈I,使得 f(x0)=x0,则称 x0 为函数 y=f(x)的 不动点;若存在 x0∈I,使得 f(f(x0))=x0,则称 x0 为函数 y=f(x)的稳定点.则下列 结论中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)
2 2 2 x

①﹣ ,1 是函数 g(x)=2x ﹣1 有两个不动点; ②若 x0 为函数 y=f(x)的不动点,则 x0 必为函数 y=f(x)的稳定点; ③若 x0 为函数 y=f(x)的稳定点,则 x0 必为函数 y=f(x)的不动点; ④函数 g(x)=2x ﹣1 共有三个稳定点; ⑤若函数 y=f(x)在定义域 I 上单调递增,则它的不动点与稳定点是完全相同. 三.解答题(共 6 题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分) [文科]已知集合 A={x ﹣3x﹣10≤0},B={x|m﹣1<x< 2m+1} (Ⅰ)当 m=3 时,求 A∩B. (Ⅱ)若 B? A,求实数 m 的取值范围. [理科]已知命题:“? x∈{x|﹣1≤x≤1},都有不等式 x ﹣x﹣m<0 成立”是真命题. (1)求实数 m 的取值集合 B; (2)设不等式(x﹣3a)(x﹣a﹣2)<0 的解集为 A,若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围.
2 2 2

18.(本题满分 12 分)

[文理科]已知函数 f(x)= 2).



+3(﹣1≤x≤

(1)若λ = 时,求函数 f(x)的值域; (2)若函数 f(x)的最小值是 1,求实数λ 的值.

19.(本题满分 12 分) [文科]已知函数 f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1﹣x),(a>0,且 a≠1). (1)设 a=2,函数 f(x)的定义域为[3,63],求函数 f(x)的最值. (2)求使 f(x)﹣g(x)>0 的 x 的取值范围. [理科]对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为不等函数. ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 已知函数 g(x)=x 与 h(x)=2 ﹣a 是定义在[0,1]上的函数. (1)试问函数 g(x)是否为不等函数?并说明理由; (2)若函数 h(x)是不等函数,求实数 a 组成的集合.
3 x

20.(本题满分 12 分) [文科]已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若存在实数 a∈[﹣2,2],使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有 3 个不相等的实 数根,求实数 t 的取值范围. [理科]定义在(0,+∞)上的函数 f(x),如果对任意 x∈(0,+∞),都有 f(kx)=kf (x)(k≥2,k∈N )成立,则称 f(x)为 k 阶伸缩函数.
*

(Ⅰ) 若函数 f (x) 为二阶伸缩函数, 且当 x∈ (1, 2]时, 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)为三阶伸缩函数,且当 x∈(1,3]时, 函数 在(1,+∞)上无零点;

, 求

,求证:

(Ⅲ)若函数 f(x)为 k 阶伸缩函数,且当 x∈(1,k]时,f(x)的取值范围是[0,1), 求 f(x)在(0,k ](n∈N )上的取值范围.
n+1 *

21.(本题满分 12 分) [文科]已知函数 f(x)= ax +lnx﹣(a+1)x+ a(a 为常数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间[1,+∞)的最小值为﹣1,求实数 a 的取值范围. [理科]已知函数 f(x)=lnx,g(x)= x ﹣2x. (1)设 h(x)=f(x+1)﹣g′(x)(其中 g′(x)是 g(x)的导函数),求 h(x)的 最大值;
2 2

(2)证明:当 0<b<a 时,求证:f(a+b)﹣f(2a)<



(3)设 k∈Z,当 x>1 时,不等式 k(x﹣1)<xf(x)+3g′(x)+4 恒成立,求 k 的最大 值.

22.(本题满分 12 分) [文理科]已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 a>b>c,且 f(1)=0,证明 f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点; (2)在(1)的条件下,是否存在 m∈R,使得 f(m)=﹣a 成立时,f(m+3)为正数,若存 在,证明你的结论,若不存在,请说明理由; (3)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两 个不等实根,证明必有一个根属于(x1,x2).
2

衡阳八中 2016 年下期高三实验班第一次月考文数/理数参考答案 题号 答案 13. 14.[﹣ , ] 15.(﹣∞, 16.①②⑤ 17. (文科) (Ⅰ)当 m=3 时,A={x ﹣3x﹣10≤0}=[﹣2,5],B=(2, 7); 则 A∩B=(2, 5]. (Ⅱ)∵B? A, 当 B≠?时,
2

1 A

2 B

3 D

4 B

5 B

6 D

7 A

8 B

9 D

10 A

11 C

12 C





解得,﹣1≤m≤2; 当 B=?时,由 m﹣1≥2m+1 得,m≤﹣2; 故实数 m 的取值范围为{m|m≤﹣2 或﹣1≤m≤2}. (理科) (1)命题:“? x∈{x|﹣1≤x≤1},都有不等式 x ﹣x﹣m<0 成立”是真命题, 得 x ﹣x﹣m<0 在﹣1≤x≤1 恒成立, ∴m>(x ﹣x)max 得 m>2 即 B=(2,+∞) (2)不等式(x﹣3a)(x﹣a﹣2)<0 ①当 3a>2+a,即 a>1 时 解集 A=(2+a,3a), 若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件,则 A? B, ∴2+a≥2 此时 a∈(1,+∞).
2 2 2

②当 3a=2+a 即 a=1 时 解集 A=φ , 若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件,则 A? B 成立. ③当 3a<2+a,即 a<1 时 解集 A=(3a,2+a),若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件,则 A? B 成立, ∴3a≥2 此时 综上①②③: 18.(文理科) .

(1) 设 ( ,得 g(t)=t ﹣2λ t+3 ).
2

(﹣1≤x≤2)

当 (

时, ).

所以 .



所以 ,



故函数 f(x)的值域为[ ,

].

(2)由(1)g(t)=t ﹣2λ t+3=(t﹣λ ) +3﹣λ ( )

2

2

2

①当

时, ,

令 去;

,得

,不符合舍

②当

时, ,

令﹣λ +3=1,得 去;

2

,或

,不符合舍

③当λ >2 时,g(t)min=g(2)=﹣4λ +7,

令﹣4λ +7=1,得 去. 综上所述,实数λ 的值为 19. (文科)

,不符合舍



(1)当 a=2 时,函数 f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数, 故 f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6,f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2. (2)f(x)﹣g(x)>0,即 loga(1+x)>loga(1﹣x), ①当 a>1 时,由 1+x>1﹣x>0,得 0<x<1,故此时 x 的范围是(0,1). ②当 0<a<1 时,由 0<1+x<1﹣x,得﹣1<x<0,故此时 x 的范围是(﹣1,0). (理科) (1)当 x∈[0,1]时,总有 g(x)=x ≥0,满足①; 当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时, g(x1+x2)=(x1+x2) =
x 3 3

+

+3

?x2+3x1?



+

=g(x1)+g(x2),满足②,

所以函数 g(x)是不等函数. (2)h(x)=2 ﹣a(x∈[0,1])为增函数,h(x)≥h(0)=1﹣a≥0,所以 a≤1. 由 h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),得 ﹣a≥ ﹣a+ ﹣a,

即 a≥

+



=1﹣(

﹣1)(

﹣1).

因为 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 所以 0≤ 所以 0≤( ﹣1≤1,0≤ ﹣1)( ﹣1≤1,x1 与 x2 不同时等于 1, ﹣1)<1,所以 0<1﹣( ﹣1)( ﹣1)]max=1, ﹣1)( ﹣1)≤1.

当 x1=x2=0 时,[1﹣( 所以 a≥1. 综合上述,a∈{1}. 20. (文科)

(1)∵ 数, 由于 x≥2a 时,f(x)的对称轴为 x=a﹣ 1; x<2a 时,f(x)的对称轴为 x=a+1,

为增函

∴ 1;

解得﹣1≤a≤

(2)方程 f(x)﹣tf(2a)=0 的解即为方程 f(x)=tf(2a)的 解. ①当﹣1≤a≤1 时,f(x)在 R 上是增函 数, 关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)不可能有 3 个不相等的实数 根. ②当 a>1 时,2a>a+1>a﹣ 1,

∴f(x)在(﹣∞,a+1)上单调递增,在(a+1,2a)上单调递 减, 在(2a,+∞)上单调递增,所以当 f(2a)<tf(2a)<f(a+1) 时, 关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有 3 个不相等的实数根,即 4a<t4a<(a+1)
2



∵a>1,∴ .

设 2],

,因为存在 a∈[﹣2,

使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有 3 个不相等的实数 根,

∴1<t<h(a)max.又 h(a)在(1,2]递增,所以 .

,∴

③当 a<﹣1 时,2a<a﹣1<a+1,所以 f(x)在(﹣∞,2a)上单调递 增, 在(2a,a﹣1)上单调递减,在(a﹣1,+∞)上单调递 增, 所以当 f(a﹣1)<tf(2a)<f(2a) 时, 关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有 3 个不相等的实数 根, 即﹣(a﹣1) <t4a<4a.∵a<﹣1,∴ .
2

设 2],

,因为存在 a∈[﹣2,

使得关于 x 的方程 f(x)=tf(2a)有 3 个不相等的实数根,所以 1<t<g(a)
max



又可证 减,

在[﹣2,﹣1)上单调递

所以 . 综上, . (理科)

,所以

(Ⅰ)由题设,当 x∈(1,2]时,



∴ ∵函数 f(x)为二阶伸缩函数,



∴对任意 x∈(0,+∞),都有 f(2x)=2f(x). ∴ .

(Ⅱ)当 x∈(3 ,3 ](m∈N )时, 由 f(x)为三阶伸缩函数,有 f(3x)=3f(x). ∵x∈(1,3]时, ∴ .

m

m+1

*



. 令 ,解得 x=0 或 x=3 ,它们均不在(3 ,3 ]内.
m m m+1

∴函数

在(1,+∞)上无零点.

(Ⅲ) 由题设,若函数 f(x)为 k 阶伸缩函数,有 f(kx)=kf(x), 且当 x∈(1,k]时,f(x)的取值范围是[0,1).

∴当 x∈(k ,k ]时,

n

n+1




n

,所以
n+1 n



∴当 x∈(k ,k ]时,f(x)∈[0,k ). 当 x∈(0,1]时,即 0<x≤1, 则? k(k≥2,k∈N )使
*



∴1<kx≤k,即 kx∈(1,k],∴f(kx)∈[0,1). 又 ∵k≥2, ∴f(x)在(0,k ](n∈N )上的取值范围是[0,k ). 21. (文科)(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
n+1 * n

,∴

,即



f(x)=x +lnx﹣3x+1,f′(x)=2x+ ﹣3=

2



当 x>1 时,f′(x)>0,当 0<x< 时,f′(x)>0; 当 <x<1 时,f′(x)<0; 故 f(x)的单调减区间是( ,1),单调增区间是(1,+∞)和(0, );

(2)f′(x)=



当 a≥1 时,f′(x)>0,即 f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以 f(x)≥f(1)=﹣1, 当 0<a<1 时,f(x)在(1, )上单调递减, 所以,当 x∈(1, )时,f(x)≤f(1)=﹣1,不合题意, 当 a≤0 时,f′(x)<0,即 f(x)在[1,+∞)上单调递减, 所以 f(x)≤f(1)=﹣1,不合题意, 综上所述,实数 a 的取值范围是[1,+∞). (理科)(1)h(x)=f(x+1)﹣g′(x)=ln(x+1)﹣x+2,x>﹣1,

所以 h′(x)=

﹣1=



当﹣1<x<0 时,h′(x)>0;当 x>0 时,h′(x)<0. 因此,h(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 因此,当 x=0 时 h(x)取得最大值 h(0)=2;

(2)证明:当 0<b<a 时,﹣1<

<0,

由(1)知:当﹣1<x<0 时,h(x)<2,即 ln(x+1)<x.

因此,有 f(a+b)﹣f(2a)=ln

=ln(1+

)<



(3)不等式 k(x﹣1)<xf(x)+3g′(x)+4 化为 k<

+2

所以 k<

+2 对任意 x>1 恒成立.

令 g(x)=

+2,则 g′(x)=



令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),则 h′(x)=1﹣ = 所以函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 因为 h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0,

>0,

所以方程 h(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3,4). 当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g′(x)<0,当 x>x0 时,h(x)>0,即 g′(x)>0,

所以函数 g(x)=

+2 在(1,x0),上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.

所以[g(x)]min=g(x0)= 所以 k<[g(x)]min=x0+2∈(5,6). 故整数 k 的最大值是 5. 22.(文理科) (1)因为 f(1)=0, 所以 a+b+c=0, 又因为 a>b>c, 所以 a>0,且 c<0, 因此 ac<0,

+2=

+2=x0+2∈(5,6).

所以△=b ﹣4ac>0, 因此 f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点. (2)由(1)可知方程 f(x)=0 有两个不等的实数根,不妨设为 x1 和 x2, 因为 f(1)=0, 所以 f(x)=0 的一根为 x1=1, 因为 x1+x2=﹣ ,x1x2= , 所以 x2=﹣ ﹣1= , 因为 a>b>c,a>0,且 c<0, 所以﹣2<x2<0. 因为要求 f(m)=﹣a<0, 所以 m∈(x1,x2), 因此 m∈(﹣2,1), 则 m+3>1, 因为函数 y=f(x)在[1,+∞)上单调递增; 所以 f(m+3)>f(1)=0 成立. (3)构造函数 g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)], 则 g(x1)=f(x1)﹣ [f(x1)+f(x2)]= [f(x1)﹣f(x2)], g(x2)=f(x2)﹣ [f(x1)+f(x2)]= [f(x2)﹣f(x1)], 于是 g(x1)g(x2)= [f(x1)﹣f(x2)][f(x2)﹣f(x1)] =﹣ [f(x1)﹣f(x2)] , 因为 f(x1)≠f(x2), 所以 g(x1)g(x2)=﹣ [f(x1)﹣f(x2)] <0, 所以方程 g(x)=0 在(x1,x2)内有一根, 即方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]必有一根属于(x1,x2).
2 2

2


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