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数学:2.2.1《综合法和分析法》课件(3)(新人教A版选修2-2)


2.2

直接证明与间接证明

2.2.2

反证法

问题提出

1.综合法和分析法的基本含义分别 是什么? 综合法:利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理、性质、法则等,经过一系 列的推理论证,最后推导出所证结论成 立. 分析法:从所证结论出发,逐步寻求使 它成立的充分条件,直到归结为判定一 个显然成立的条件(已知条件、定义、 公理、定理、性质、法则等)为止.

2.综合法是从条件→结论的推理方 法,分析法是从结论→条件的推理方法, 二者都是直接证明的方法.当某些数学 命题难以直接证明时,我们可以采用一 种间接证明的方法 反证法.

探究(一):硬币翻转问题

【背景问题】桌面上有3枚正面朝上的硬 币,每次用双手同时翻转其中2枚硬币, 观察反面朝上的硬币数如何变化.
思考1:若双手各翻转1次,则反面朝上 的硬币数为多少? 2枚 思考2:若双手各翻转2次,3次。4次, 则反面朝上的硬币数分别为多少? 0枚或2枚

思考3:由归纳推理可得什么猜想? 猜想:无论怎样翻转,都不能使只有1枚 硬币反面朝上或3枚硬币全部反面朝上.

思考4:如何证明上述猜想?

假设经过若干次翻转可以使只有1枚硬币 反面朝上,因为每枚硬币从正面朝上变 为反面朝上,需要翻转奇数次,则这枚 硬币需要翻转奇数次,其余2枚硬币需要 翻转偶数次,所以翻转的总次数必为奇 数.但由于每次用双手同时翻转其中2枚 硬币,若干次翻转的总次数必为偶数, 所以翻转的总次数矛盾!故假设不成立, 即无论怎样翻转,都不能使只有1枚硬币 反面朝上.同理,也不能使3枚硬币全部 反面朝上.

探究(二):反证法的基本思想

思考1:上述证明方法叫做反证法,一般 地,反证法的的基本含义是什么? 假设原命题不成立(即在原命题的条件 下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立. 思考2:如何用反证法证明 2是无理数?

思考3:用反证法证题的核心问题是什么? 在正确的推理下得出矛盾. 思考4:在反证法应用中,矛盾的构设有 哪几种情形? (1)与已知条件矛盾; (2)与假设矛盾; (3)与定义、公理、定理、性质矛盾; (4)与客观事实矛盾. 思考5:反证法是否等同于证明原命题的 逆否命题?

理论迁移

例1 已知直线a,b和平面α ,如 果, a 颂a , b a ,且a//b,求证: a//α.
a

β
α
b

例2

设a,b,c为一个三角形的三

1 s = (a + b + c ),若s2=2ab, 边, 2 求证:s<2a.
例3 已知x,y>0,且x+y>2,

1 + x 1 + y 求证: 中至少有一个 , y x
小于2.

小结作业

1.反证法是一种间接证明的方法,是 解决某些“疑难”问题的有力工具,其 基本思路是: 假设结论不成立→构设矛盾→否定假设 肯定结论.

2.反证法主要适用于以下两种情形: (1)所证的结论与条件之间的联系不 明显,直接有条件推出结论线索不清晰; (2)从正面入手需要分成多种情形进 行讨论,而从反面证明,只要研究一种 或很少的几种情形.

作业: P91练习:1,2. P91习题2.2A组:1,4.

推理与证明习题课

的通项公式,并证明你的结论.

1 a1 ? 2, an ? 2 ? (n ? 2) ,试猜测数列 an ?1

例1 已知数列满足:

n ?1 an ? n

x 2 例2 过椭圆 + y = 1的左焦点F, 5
任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB. (1)若在x轴上存在点M,使得∠AMB被x 轴平分,求点M的坐标; (2)试根据合情推理给出椭圆性质的一 y 个猜想,并证明之.
B

2

5 M (- , 0) 2

M

A

F O

x

x y 猜想:过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b 的左焦点F,任作一条与两坐标轴都不垂 直的弦AB,椭圆的左准线与x轴的交点为 M,则∠AMB被x轴平分.
y D B F A

2

2

M C

O

x

例3 在△ABC中,求证:

sin A + sin B + sin C

2

2

2

9 4

例4 求证:面积为1的三角形不能被 面积小于2的平行四边形所覆盖.
D P
E N F B

C

K
M

A


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