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高考数学(文科)江苏版1轮复习课件:第2章 基本初等函数、导数的应用 6 第6讲 指数与指数函数_图文

第二章 基本初等函数、导数的应用 第6讲 指数与指数函数 1.根式的概念 如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,正 数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数;当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数. 2.幂的有关概念 (1)正分数指数幂:a = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1); (2)负分数指数幂:a = m= (a>0,m,n∈N*,且 n>1); a n n am (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aras=ar s(a>0,r,s∈Q); + m n n m -n 1 1 (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 4.指数函数的图象和性质 函数 y=ax(a>0,且 a≠1) 0<a<1 图象 a>1 图象特征 在 x 轴上方,过定点(0,1) 函数 定义域 值域 性 质 函数值变 化规律 单调性 y=ax(a>0,且 a≠1) R (0,+∞) 减函数 增函数 当 x=0 时,y=1 当 x<0 时,y>1; 当 x>0 时,0<y<1 当 x<0 时, 0<y<1; 当 x>0 时,y>1 1.设 x+x 1=3,则 x2+x - -2 7 的值为________ . [解析] 因为 x+x 1=3. - 所以(x+x 1)2=9,即 x2+x 2+2=9, - - 所以 x2+x 2=7. - ?-1,+∞? + - ? 5 ? . 2. 若 a>1 且 a3x 1>a 2x, 则 x 的取值范围为______________ [解析] 因为 a>1,所以 y=ax 为增函数, 又 a3x 1>a + -2x ,所以 3x+1>-2x, 1 即 x>- . 5 [0,4) 3.函数 y= 16-4 的值域是________. x [解析] 因为 4x>0,所以 0≤16-4x<16, 所以 16-4x∈[0,4). 4.用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0): (1)a2· a2;(2) 3 3 a a. 2 3 3 [解] (1)a2· a2=a2·a =a (2) a a= 3 2+3 2 =a . a =(a ) =a . 4 3 4 1 3 2 2 3 8 3 a·a = 1 3 49? ? 5.计算:(0.000 1) +27 -?64? . [解] 原式=(0.1 ) 4 1 - 4 - 1 4 2 3 1 - 2 7? ? ? ? +(3 ) - 8 ?? ? ? 2 3 3 1 2 -2 -1 7 8 125 -1 2 ? ? =0.1 +3 -?8? =10+9- = . 7 7 1.必明辨的 1 个易错点 指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关,一定要 分清 a>1 与 0<a<1. 2.常用的 2 个结论 a,n为奇数, ? n n ? ? (1) a =? ?a,a≥0, |a|=? n为偶数; ? ? ? ?-a,a<0, (2)( a) =a(注意 a 必须使 a有意义). 3.必会的 1 种方法 学会用换元法解决与指数函数有关的问题. n n n 1.已知 a>0,且 a≠1,若函数 f(x)=2ax-4 在区间[-1,2] 1 7或 上的最大值为 10,则 a=________. 7 [解析] (1)若 a>1,则函数 y=ax 在区间[-1,2]上是递增的, 当 x=2 时,f(x)取得最大值 f(2)=2a2-4=10, 即 a2=7, 又 a>1,所以 a= 7. (2)若 0<a<1,则函数 y=ax 在区间[-1,2]上是递减的, 当 x=-1 时,f(x)取得最大值 f(-1)=2a 1-4=10, - 1 所以 a= . 7 1 综上所述,a 的值为 7或 . 7 2.若指数函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实 (- 2,-1)∪(1, 2) 数 a 的取值范围是_______________________. [解析] 由题意知 0<a2-1<1,即 1<a2<2, 得- 2<a<-1 或 1<a< 2. 指数式的化简与求值 化简下列各式(其中各字母均为正数). (a · b ) ·a ·b (1) ; 6 a·b5 7? 10? -2 0 37 ? ? (2)?29? +0.1 +?227? -3π + . 48 0.5 - 2 3 2 3 -1 - 1 2 - 1 2 1 3 【解】 1 1 5 1 1 1 + - a ·b ·a ·b - - - 2 3 2 6·b 3 6=a-1. (1)原式= = a 1 5 a6·b6 1 2 - 2 3 - 1 3 1 2 - 1 2 1 3 25? 64? 1 37 5 9 37 ? ? (2)原式=? 9 ? + 2+?27? -3+ = +100+ -3+ 0.1 48 3 16 48 =100. 指数式的化简求值问题,要注意与其他代数式的化简规则相 结合,遇到同底数幂相乘或相除,可依据同底数幂的运算规 则进行,一般情况下,宜化负指数为正指数,化根式为分数 指数幂.对于化简结果,形式力求统一. 化简: (1)(0.027) - 1 2 1 - 3 1 -2 1 7 - ? +?2 ?2-( 2-1)0; -? ? 7? ? 9? - 1 3 ( 4 ab ) 1 ? · (2)? 1. ?4? - - 0.1 2(a3b 3)2 1 -2 27 1 25 ? -(-1)-2? ? +? ?2-1 [解] (1)原式=? ?1 000? ?7? ?9? - 1 3

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