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正弦定理(两课时)


正弦定理

正弦定理

引入
引例:

正弦定理

为了测定河岸A点到对岸C点的距 离,在岸边选定1公里长的基线AB, 并测得∠ABC=120o,∠BAC=45o,如 何求A、C两点的距离?

.C .A .B

正弦定理

在直角三角形ABC中的边角关系有:

a 形是否也有这个 b c c= , c = 关系? ,c = sin A sinB sinC

a b c sin A = , sinB = , sinC = 1 = 对于一般的三角 c c c
c

B a C

a b c A = = sin A sin B sin C

b

正弦定理

B
'

? ?BAB ? 90?, ?C ? ?B c ' ? sin C ? sin B ? 2R c A ? ? 2R sin C
'

c O b B/

a C

a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

正弦定理
A A C O b B` B b =2R sinB a b c = = =2R. sinA sinB sinC A b

B

O B`

b

C
B

O

C

正弦定理
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C

(1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;

(2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形 的其他的边和角.

正弦定理 定理的应用

已知两角和任意边, 求其他两边和一角

例 1 在△ABC 中,已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字)。 解: ∵ b
c ? sin B sin C

且 B ? 180? ? (A ? C) ? 105?

c ? sin B 10 ? sin 105? ∴ b= = sin C sin 30?

?

19

正弦定理 变式训练:
(1) 在△ABC中,已知b= 3,A= 45 ? ,B= 60 ?,求a。

b ? sin A a b 3 ? sin 45 ? = = 2 ? 解: ∵ ∴ a? sin B sin A sin B sin 60 ?
,A= 75 ?,B= 60 ?,求b。 (2) 在△ABC中,已知c= 3 解: ∵ C ? 1800 ? ( A ? B) = 180 ? ? (75 ? ? 60 ?) ? 45 ? b c 3 ? sin 60 ? 3 2 c ? sin B ? ∴b ? 又∵ ? ? sin B sin C sin 45 ? 2 sin C

例 2 在?ABC中,已知a=20,b=28,

A=40°,求B和c. b sinA 解: ∵ sinB= a ≈0.8999
∴ B1=64°,B2=116°

C

b 40° A B 2

B1

已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角.

在例 2 中,将已知条件改为以下几种 情况,结果如何? (1) b=20,A=60°,a=20√3 ;
(2) b=20,A=60°,a=10√3 ; (3) b=20,A=60°,a=15. A b 60° C

B

(1) b=20,A=60°,a=20√3
1 b sinA sinB= = 2 , a B=30°或150°, C 20 A 60° B 20√3

∵ 150°+60°> 180°,
∴ B=150°应舍去.

(2) b=20,A=60°,a=10√3

C

b sinA sinB= =1 , a
B=90°. A

20 60° B

(3) b=20,A=60°,a=15. b sinA sinB= = 2√3 , 3 a 20 2√3 ∵ > 1, 3
∴ 无解. A C

60°

已知边a,b和角A,求其他边和角.

正弦定理
C b A a B

A为锐角
C b A a C b a B1 A C

b

a




B2

a<bsinA 无解
C b A a

a=bsinA 一解
C b B A

bsinA<a<b 两解

a≥b 一解

A为直角或钝角
a

a>b 一解

a≤b 无解

正弦定理
△ABC中, (1)已知c=√3,A=45°,B=75°, 2 则a=√ ____. (2)已知c=2,A=120°,a=2√3,

则B=____. 30°
(3)已知c=2,A=45°,a= 2√6 3 75°或15° B=_____________. ,则

小结
1. 正弦定理 a b c = = =2R sinA sinB sinC

是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形:

(1)已知两角及一边;

(2)已知两边及其中一边的对角.


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