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2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第十节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本理


第十节

圆锥曲线的综合问题
A 组 基础题组

1.(2015 课标Ⅱ文,20,12 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,点 (2, (1)求 C 的方程;

)在 C 上.

(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M,证明:直线 OM 的斜 率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

2.已知椭圆的中心是坐标原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方 形的顶点.过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点. (1)求椭圆的方程; (2)在线段 OF 上是否存在点 M(m,0),使得|MP|=|MQ|? 若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

3.(2016 云南昆明两区七校调研)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左,右顶点分别为 A,B,其离心率 e= ,点 M 为椭圆上的一个动点,△MAB 面积的最大值是 2 (1)求椭圆的方程; (2)若过椭圆 C 的右顶点 B 的直线 l 与椭圆的另一个交点为 D,线段 BD 的垂直平分线与 y 轴交于点 P,当 · =0 时,求点 P 的坐标. .

B 组 提升题组

1

4.已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B, 交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程; (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E,证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标.

2

5.(2016 甘肃兰州实战考试)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P F1,F2 分别作直线 l1 与 l2,l1 交椭圆于 A,B 两点,l2 交椭圆于 C,D 两点,且 l1⊥l2. (1)求椭圆的标准方程; (2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围.

,过它的两个焦点

2

答案全解全析 A 组 基础题组

1. 解析 (1)由题意有

= , + =1,解得 a =8,b =4,所以椭圆 C 的方程为 + =1.

2

2

(2)证明:设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),把 y=kx+b 代入 + =1 得

(2k +1)x +4kbx+2b -8=0.故 xM=

2

2

2

=

,yM=kxM+b=

,于是直线 OM 的斜率 kOM= =- ,即 kOM·k=- ,所

以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 2. 解析 (1)椭圆的短轴长 2b=2? b=1,

因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,所以 b=c? a =b +c =2,故椭圆的方程为 +y =1. (2)存在.①若 l 与 x 轴重合,显然 M 与原点重合,m=0; ②若直线 l 的斜率 k≠0,则可设 l:y=k(x-1),设 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 的中点为 N,则

2

2

2

2

? x +2k (x -2x+1)-2=0,化简得(1+2k )x -4k x+2k -2=0.

2

2

2

2

2

2

2

x1+x2=

? PQ 的中点的横坐标为

,代入 l:y=k(x-1)可得:PQ 的中点 N 的坐标为

,由

|MP|=| MQ|得到 MN⊥PQ,则

=- ,整理得 m=

,所以 m=

=



.

综合①②得到 m∈

.

3. 解析 (1)由题意可知 e= = , ×2ab=2 解得 a=2,b= ,c=1,

,a =b +c ,

2

2

2

所以椭圆的方程是 + =1. (2)直线 l 的斜率存在.

3

由(1)知 B(2,0),设直线 BD 的方程为 y=k(x-2),D(x1,y1),把 y=k(x-2)代入椭圆方程 + =1,整理得 (3+4k )x -16k x+16k -12=0,
2 2 2 2

所以 2+x1=

? x1=

,

则D

,

所以 BD 中点的坐标为

,

则直线 BD 的垂直平分线的方程为 y-

=-

,令 x=0,y=

,故 P

.



·

=0,即

·

=0,

整理得

=0? 64k +28k -36=0,

4

2

解得 k=± .

故 P 的坐标为



. B 组 提升题组

4. 解析 (1)由题意知 F

.

设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点坐标为 又|FA|=|FD|,

.

则由抛物线的定义知,当点 A 的横坐标为 3 时,有 3+ = 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去).

,

此时,由题意得

=3,可得 p=2.
2

所以抛物线 C 的方程为 y =4x.
4

(2)由(1)知 F(1,0), 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,所以|xD-1|=x0+1, 结合 xD>0,x0>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0).

故直线 AB 的斜率 kAB=- . 因为直线 l1 和直线 AB 平行,

所以可设直线 l1 的方程为 y=- x+b,

与抛物线方程联立,消去 x 得 y + y- =0,

2

由题意可知 Δ = +

=0,得 b=- .

设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= ,

当 ≠4 时,kAE=

=-

=

,

可得直线 AE 的方程为 y-y0=

(x-x0),

结合 =4x0,整理可得 y= 则直线 AE 恒过点 F(1,0).

(x-1),

当 =4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0).

5. 解析 (1)由 = ,得 a=2c, ∴a =4c ,b =3c ,
2 2 2 2

将点 P

代入椭圆方程得 c =1,

2

5

故所求椭圆方程为 + =1. (2)若 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为 0,此时四边形的面积为 S=6.

若 l1 与 l2 的斜率都存在,设 l1 的斜率为 k(k≠0),则 l2 的斜率为- . 则直线 l1 的方程为 y=k(x+1),

设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去 y 整理得,(4k +3)x +8k x+4k -12=0, Δ =64k -4(3+4k )(4k -12)=144k +144>0,
4 2 2 2 2 2 2 2

∴x1+x2=-

,x1·x2=

,

∴|x1-x2|=

,

∴|AB|=

|x1-x2|=

,

同理可得|CD|=

,

∴S= |AB|·|CD|= 令 k =t∈(0,+∞),
2

,

∴S=

=

=6-

≥6- =

,

∴S∈

.

综上可知,四边形 ABCD 面积的取值范围是

.

6


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