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经济数学基础》试题





















《经济数学基础》练习测试题库

一、单项选择题:(从下列各题备选答案中选出最适合的一个答案。共 46

题,每题 3 分)

1. 下列函数中是偶函数的是

A. y ? sin ?
4

B. y ? ex

C. y ? ln x

D. y ? sin x

2. 若 f (x) 在[a,b] 上单调增加, g(x) 在[a,b] 上单调减少,则下列命题中错误的



A. f ( f (x))在[a,b] 上单调增加

B. f (g(x)) 在[a,b] 上单调减少

C. g( f (x)) 在[a,b] 上单调增加

D. g(g(x)) 在[a,b] 上单调增加

3. 下列极限正确的是

A. lim sin x ? 1
x?? x
C. lim 1 sin 1 不存在
x?? x x

B. lim x sin 1 ? 1

x??

x

D. lim sin x ? 1
x?? x

4. 已知 lim( x2 ? ax ? b) ? 0 ,则
x?? 2x ?1

A. a ? ? 1 ,b ? ? 1

2

4

C. a ? ? 1 ,b ? 1
24

B. a ? 1 ,b ? ? 1

2

4

D. a ? 1 ,b ? 1
24

5. 设 x ? 0 时, excosx2 ? ex 与 xn 是同阶无穷小,则 n 为

A. 5

B. 4

C. 5
2

D. 2

6.



f

(x)

?

?2x,

? ?

a,

x ?1,
x ?1

g(x)

?

? ??x

b, ? 3,

x ? 0 ,且 f (x) ? g(x) 在 (??, ??) 内连续,
x?0

则有 C

A. a ? 2,b 为任意实数,

B. b ? 2, a 为任意实数,

C. a ? 2,b ? 3

D. a ? 2,b ? 2

7. 与 f (x) ? 2x 完全相同的函数是

A. ln e2x

B. eln 2x

C. sin(arcsin 2x)

D. arcsin(sin 2x)

8. 若 f (sin x) ? cos 2x ,则 f (x) ?

A. 1? x2

B. 1? 2x2

C. x2 ?1

D. 2x2 ?1

9. 函数 f (x) ? sin 2x 在 x ? 0 处的导数是

A. 1

B. 2

C. 0

D. 2cos 2x

10.若 f (x) ? log2 x2 ,则 y? ?

A. 1
x2

B. 1
2x2

C. 2
x ln 2

11. f??(x) 与 f??(x) 都存在是 f ?(x) 存在的

D. 2
x2 ln 2

A. 充分必要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分也非必要条件

12. 已知可导函数

y

?

f

(x) 在点 x0 处

f

?(x0 )

?

1 2

,则当

x ? 0 时, dy 与 ?x

A. 是等价无穷小

B. 是同阶非等价无穷小

C. dy 比 ?x 高阶的无穷小

D. ?x 比 dy 高阶的无穷小

13.设可导函数 f (x) 有 f ?(1) ?1, y ? f (ln x) ,则 dy 为 |x?e

A. dx

B. 1
e

C. 1 dx
e

D. 1

14.设函数 f (x) 在U(0) 内有定义,若 x ?U (0) 时,恒有| f (x) |? x2 ,

则 x ? 0 一定是 f (x) 的

A. 连续而不可导点;

B. 间断点;

C. 可导点,且 f ?(0) ? 0 ;

D. 可导点,且 f ?(0) ? 0 。

15. y ? x3 ?1 在点 (1,0) 处的法线的斜率是

A. 3

B. ? 1
3

C. 2

16.若 f (sin x) ? cos 2x ,则 f ?(x) ?

D. ?2

A. ?2x

B. 1? 2x

C. x ?1

D. 2x ?1

17.函数 f (x) ? x 1? x 在[0,1] 使罗尔定理成立的? ?

A. 0

B. 1
2

C. 2
3

D. 2
3

18. f (x) ? ln x 在[1,e] 上使拉格朗日定理成立的? ?

A. e ? 1
2
A. 1

B. e ?1

B. 2

C.

19.函数 y ? 1 (ex ? e?x ) 在 (?1,1) 内
2

C.
?

e ?1
2
D. 1
2

D. e ?1
3

A. 单调增加

B. 单调减少

C. 不单调

D. 是一个常数

20. f ?(x0 ) ? 0 是可导函数 f (x) 在 x0 取得极值的

A. 必要条件

B. 充分条件

C. 充要条件

D. 无关条件

21.若 f ?(x0 ) ? 0 , f ??(x0 ) ? 0 ,则函数 f (x) 在 x0 处

A. 一定有极大值,

B. 一定有极小值,

C. 可能有极值

D. 一定无极值

22. y ? e?x 在定义域内是单调

A. 增加且的

B. 增加且的凸

C. 减少且的凸

D. 减少且的凸

23.曲线 y ? x4 ? 34x2 ? 6x 的凸区间为

A. (?2, 2)

B. (??, 0)

C. (0, ??)

D. (??, ??)

24.函数 f (x) 的一个原函数为 1 ,则 f ?(x) ?
x

A. ln x

B. 1
x

C. ? 1
x2

D. 2
x3

25.函数 f (x) 的一个原函数为 cos2x ,则 ? f ?(x)dx ?

A. cos 2x

B. cos 2x ? C

C. ?2sin 2x ? C

D. ?2sin 2x

26. 下列各项正确的是

A. [? f (x)dx]? ? f (x)

B. d[? f (x)dx] ? f (x)dx

C. ? f ?(x)dx ? f (x) ? C

D. ? dF(x) ? F(x)

27. 函数

F ( x)



f

(x)

的一个原函数,则

?

1 x2

f

(x)dx

?

A. F (1 )
x

B. ?F (1 )
x

C. F(1) ? C
x

D. ?F(1) ? C
x

28. 若

?

f

(x)dx

?

ln x x

?

C

,则

f

(x)

?

A. ln x ?1
x2

B. 1 ln2 x
2

C. ln ln x

29.若在 (a,b)内, f ?(x) ? g?(x) ,则下列成立的是

D. 1? ln x
x2

A. f (x) ? g(x) ,

B. f (x) ? g(x) ?1

C. [? f (x)dx]? ? [? g(x)dx]?

D. ? f ?(x)dx ? ? g?(x)dx

30.设 f (x) 的导数为 ln x ,则 f (x) 的一个原函数为

A. x2 ln x ? 3 x2 ? x ?1

2

4

C. x ln x ? x

A. arctan x

C. arctan x ? C

31. 下列各式中成立的是

B. 1
x

D. 1 ? x
x

B. 1
1? x2

D.

1 ?C

1? x2

? ? A. 2 x2dx ? 2 x3dx

1

1

? ? C. 2 x2dx ? 2 x3dx

1

1

? ? A.

1

2

1 ln xdx ? 1 ln xdx

2

? ? C.

1

2

? 1 ln xdx ? 1 ln xdx

2

32.

y

?

x
?0

(t

?

1)(t

?

2)dx

,则

y?(0)

?

A. ?2

B. 0

? ? B. 2 x2dx ? 2 x3dx

1

1

? ? D. 2 x2dx ? ? 2 x3dx

1

1

? ? B.

1

2

? 1 ln xdx ? 1 ln xdx

2

? ? D.

1

2

1 ln xdx ? 1 ln xdx

2

C. 1

D. 2

33. 若

1
?0

(2

x

?

k

)dx

?

2

,则

k

?

A. 0

B. 1

C. ?1

D. 1
2

A. 0

B. 1

C. 2

D. 5
2

34. 若

f

(x)

是连续函数,则

b
?a

f

( x)dx

?

b
?a

f

(a

?

b

?

x)dx

?

A. 0 ,

B. 1

C. [? f (x)dx]? ? [? g(x)dx]?

D. ? f ?(x)dx ? ? g?(x)dx

A. 2

B. ?1

C. a ?b

35. 若

m

?

1
?0

xdx



n

?

1
?0

ln(1

?

x)dx



A. m ? n

B.

D.
m? n

b
?a f (x)dx

C. m ? n

D. 以上都不对

41. 设

? x ?1,

?1 ? x ? 0

f

(

x)

?

? ?

1

. 则 lim f (x) =

??cos x ? x sin x , 0 ? x ? 1

x?0

A .= ? 1 ;

B .不存在 ;

C .?1 ; D .?0 .

42.

设 f / (x0 ) 存在,

则 lim f (x0 ? 2h) ? f (x0 ) ?

h?0

h

A . f / (x0 ) ;

B . ?2 f / (x0 ) ;

C . 2 f / (x0 ) ; D . ? f / (x0 )

43. 设 f (x) 在区间 (1, 4) 上有 f / (x) ? 0, f (3) ? 2. 则

A . f (x) 严格单调增加;

B. f (x) 严格单调减少;

C. f (x) ? 2 ;

D. f (x) ? 0 .

44. 函数 y ? x ? 2 为无穷小量, 当

A . x ? 2 时; B . x ? 2? 时; C . x ? 2? 时; D . x ? ? 时.

45. . ? (3e)xdx ?

A . (3e)x ? c ;

B . 1 (3e)x ? c;
3

46. 设 y ? xn (n 为正整数) , 则 y(n) (1) ?

C . 3ex ? c ;

D . (3e)x ? c .
1? ln 3

A. 0

B. 1

C. n

D . n!

47、设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x)]= ( )









A.1- ──

B.1+ ──

C. ────

D.x





1- x



48、x→0 时,xsin──+1 是 ( )



A.无穷大量

B.无穷小量

C.有界变量

D.无界变量

49、方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( )

A.平行于xoy面的平面

B.平行于oz轴的平面

C.过oz轴的平面

D.直线

50、下列函数中为偶函数的是 ( )

A.y=e^x

B.y=x^3+1

C.y=x^3cosx

D.y=ln│x│

51、设f(x)在(a,b)可导,a〈x_1〈x_2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)

使( )

A.f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)

B.f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)

C.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)

D.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)

52、设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的 ( )

A.充分必要的条件

B.必要非充分的条件

C.必要且充分的条件

D 既非必要又非充分的条件

二、填空题:(共 48 题,每题 3 分)

1. lim x( x2 ?1 ? x) ? x???
2. y ? 1 的定义域为
1? ln(x ? 2)
3. 若 f (ex?1) ? 3x ? 2 ,则 f (x) = 6. y ? x 的可去间断点为
tan x
7. f (x) ? x(x ?1)(x ? 2) (x ? 49) ,则 f ?(0) ?

8.

曲线的参数方程为

? ? ?

x ? sin t, y ? cos 2t,



t

?

? 4

处的法线方程为

9. 设 y ? cos x ? x2 ,则 y(50) |x?0 =

10.若 f (ex?1) ? 3x ? 2 ,则 f ?(x) =

11. y ? f (3x ? 2), f ?(x) ? arctan(x2 ),
3x ? 2
12.若 df (x) ? 2x ,则 f (x) ?

则 y? |x?0 ?

13.若 函 数 y ? f (x) 在 区 间 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 , 则 当

时,有? ?(a,b) ,使得 f ?(? ) ? 0 。

14.若函数 y ? f (x) 在区间 I 上连续,则当 f ?(x)

时,函数 y ? f (x) 在

区间 I 上单调减少。

15.若函数 y ? f (x) 在区间 I 上, f ?(x) ? 0,则函数 y ? f (x) 为



数。

16. f ??(x0 ) ? 0 ,则 x ? x0 是函数 y ? f (x) 拐点的

17.

y

?

2x 1? x2

的最小值为

18. y ? 3 x 的拐点是

条件

19. f (x) ? arctan x ? x 的单调减少区间是

20. ? ln xdx =
21. y ? sin x 在[0,? ]上与 x 轴围成的面积为

22.函数 f (x) 在[a,b] 上有界是 f (x) 在[a,b] 上可积的

条件

23.函数 f (x) 在[a,b] 上连续是 f (x) 在[a,b] 上可积的

24. 若

x
?1

f

( x)dx

?

x2

?

ln

x

? 1 ,则

f

(x)



25.若 y ? 1? x , 则 y/ ? .
1? x

26. f (x) ? 1 的连续区间是
1? ln x2

27.已知 F / (x) ?

f (x) ,

? 则

x
f (t ? a)dt ?

a

条件

28. f (x) ? 1 (ex ? e?x ) 的极小值为
2

29.

f

(x)



x

?

x0 时的右极限

f

(x0? )

及左极限

f

(x0? )

都存在且相等是

lim
x?x0

f

(x)

存在



条件.

30.曲线 y ? ex ? x 在点 (0, 1) 处的切线方程为

49 函数y=arcsin√1-x^2

+ ────── 的定义域为 _________
√1- x^2

_______________。

50 函数y=x+ex 上点( 0,1 )处的切线方程是______________。

51 设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是

____________。



52∫─────dx=_____________。

1-x^4



53lim Xsin───=___________。

x→∞



三、计算题:(共 30 题,每题 6 分)

1. 求 lim 3x3 ?4x2 ?2 ?
x?? 7x3 ?5x2 ?3

2.求 lim x2 ?9 ?
x?3 x ?3

3.求 lim sin x ?
x?0 x3 ?3x
4.若 f (x ?1) ? lim( n ? x)n ,求 f (x)
n?? n ? 2
5.若数列{xn} 满足: x1 ? 2 , xn?1 ?

2 ? xn (n ? 2,3,

)

,求

lim
n??

xn

6.若 y ? ln(x ? 1? x2 ) ,求 y?

7.

求函数

f

(x)

?

? 2x,

? ?

x2

?1,

0 ? x ?1的导数。
1? x ? 2

8. 若 f (x) 可导, y ? f (sin2 x) ? f (x2 ) ,求 y?

9.



y

?

y(x) 由方程 ex? y

?

xy

? 1确定,求

dy dx



dy dx

|x?0

10. 2cos(2x?1)dx?

11. lim xsin x x?0?
2
12. 求 y ? (x ? 2)2 (x ?1)3 的单调区间

13. 在区间(??? 0]和[2/3? ??)上曲线是凹的? 在区间[0? 2/3]上曲线是凸的? 点

(0? 1)和(2/3? 11/27)是曲线的拐点??

??。求 a 为何值时, f (x) ? a sin x ? 1 sin 3x 在 x ? ? 处取得极大值。

3

3

??。求 y ? x ? 33 1? x 在[?1, 2] 的最大值与最小值

??。

?

arc sin x dx
1? x2

?

??。求

?

1

1 ?e

x

dx

??。

?

1

x3 ?x

2

dx

?

??。 ?

dx ?
x (1? 3 x )

??。

?

dx x(1? x4

)

21.

4
?1

x(1

dx ?

x)

? 22. ? sin3 x ? sin5 xdx 0

?2
23. 2

x2

dx

0 1? x2

? 24.若 f (x) ? 1? x2 ? x2 1 f (x)dx ,求 f (x) 0

25.

4
?0

x?2 dx ?
2x ?1

26.设

? ?

x

? ln(1? t2 )

? y ? t ? arctan t

,



dy dx

,

d2y dx 2

27. y ? eex ? ln(x ? x2 ? a2 ), 求 y /

28.

lim
x?0

tan

x? x3

sin

x

29. ? xf / (2x)dx ,

其中 f (x) 的原函数为 sin x
x

? 30.

? 2 ?? 2

(

x3 sin2 x x2 ?1

?

cos

x

cos

2

x)dx

sin(9x^2-16)

31、求 lim ─────────── 。

x→4/3

3x-4

32、求过点 A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。 ___
33、设 u=ex+√y +sinz,求 du 。

x asinθ

34、计算 ∫ ∫ rsinθdrdθ 。
0 0? 四、证明题(共 12 题,每题 6 分)
1. 证明方程 x 3?4x 2?1?0 在区间(0? 1)内至少有一个根?

2. 证明 lim( 1 ? 1 ? ? 1 ) ? 1

n?? n2 ?1 n2 ? 2

n2 ? n

3. 若 f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 且 f (a) ? a, f (b) ? b 。 证 明 : 存 在 ? ?(a,b) , 使 得

f (? ) ? ? 。

4. 若?(x) ? a f 2(x) ,且 f ?(x) ? 1 ,证明??(x) ? 2?(x)
f (x) ln a

5. 若 f (x) 在 (??, ??) 内可导,且 F(x) ? f (x2 ?1) ? f (1? x2) 。证明: F?(1) ? F?(?1) 。

6.



e

?

a

?

b

?

e2

,证明

ln 2

b

?

ln 2

a

?

4 e2

(b

?

a)

7. 证明? 当 x?1 时? 2 x ?3? 1 ?
x

8. 证 设 f(x)?ln(1?x)? 显然 f(x)在区间[0? x]上满足拉格朗日中值定理的条件?

根据定理? 就有

f(x)?f(0)?f ?(?)(x?0)? 0<?<x。

由于 f(0)?0? f ?(x)? 1 ? 因此上式即为
1? x

ln(1?

x)

?

x 1??

?

又由 0???x? 有

x ? ln(1? x) ? x ?
1? x
9. 因为 f (x ?T ) ? f (x)

? ? ? ? 所以

a?T
f (x)dx ?

0
f (x)dx ?

T
f (x)dx ?

a?T
f (x)dx

a

a

0

T

10. 令 2 ? x ? 4

? ?? ? 0 , 令 7 x ?3 ? ? , 即 x ? 3 ? ?
7
取? ? ? , 当 x?3 ?? 时
7
有 x2 ? 9 ? ? 成立

故 lim x2 ? 9 x?3

11. 用反证法, 设方程有四个根 x1, x2, x3, x4 . 又设 f (x) ? ex ? (ax2 ? bx ? c)

则有 ?1 ?? x1, x2 ?,?2 ?? x2, x3 ?,?3 ?? x3, x4 ? ,

使得 f ?(?1) ? f ???2 ? ? f ???3 ? ? 0

? ? 同理有?1 ?

? 1

,

?2

,?2 ???2,?3 ? ,

使得 f ????1? ? f ????2 ? ? 0

存在? ???1,?2 ? , 使得 f ????? ? ? 0

而 f ???? x? ? ex ? 0

故方程不可能有四个根, 也不可能有四个以上的根, 得证.

12. 证 作 g(x)? 1[ f (x)? f (?x)] ? h(x)? 1[ f (x)? f (?x)] ? 则 f(x)?g(x)?h(x)?

2

2



g(?x)? 1[ f (?x)? f (x)]? g(x) ?

2

h(?x)? 1[ f (?x)? f (x)]?? 1[ f (x)? f (?x)]??h(x) ?

2

2


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