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全国优秀教学设计:二次函数图像和性质

二次函数的图象和性质(3)教学设计

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《二次函数的图象和性质(3) 》教学设计
北京市三帆中学 陈立雪

一、教学内容解析
1. 本章的内容和地位 在《义务教育数学课程标准(2011 年版) 》中,对《二次函数》的课程内容 做出了以下五点要求: (1)通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义. (2)会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质. (3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y=a(x-h)2+k 的形式,并能 由此得到二次函数的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴,并能 解决简单实际问题. (4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. (5)*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数. 从内容上看, 学生在八年级时学习了 《一次函数》 、 《反比例函数》 两章内容, 《二次函数》一章编排于九年级下册,此后,在《普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 1》的课程中,学生将继续学习和研究指数函数、对数函数、幂函数 等基本初等函数的性质. 从方法上看,在研究一次函数和反比例函数时,教材侧重于通过观察函数图 象来直观了解函数的性质. 而进入高中后,教材则侧重于通过分析解析式来研究 函数性质. 因此,在《二次函数》一章的教学中,我引导学生将研究方法从图象 逐步向解析式转移,让学生在体会数形结合思想的同时,初步经历代数说理的过 程,也为下一学段的学习做好过渡. 2. 本课的内容和地位 在教学中,本章内容共安排了 13 个课时,其中第 26.1 节“二次函数及其图 象”包含了 7 个课时. 教学中为了突出学生的主体地位,适应学生的认知需求, 在本章起始课上,我让学生从已有知识和经验出发,自己定义出一类可称为 “二 次函数”的新函数,并探讨对这类函数的进一步研究设想 . 结合一次函数的研究 经验,依据从特殊到一般的原则,部分学生提出了如下的研究思路: y=ax2+c(a≠0) y=ax2(a≠0) y=ax2+bx(a≠0) 为顺应学生的研究思路,我尝试对第 26.1 节的内容做了调整,安排如下:
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y=ax2+bx+c(a≠0)

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课时 第 1 课时 第 2 课时

原来的教学安排 26.1.1 二次函数 26.1.2 二次函数 y=ax2 的图象 26.1.3 二次函数 y=a(x-h)2+k 的

我调整后的内容安排 (本课是第 5 课时) 26.1.1 二次函数 26.1.2 用待定系数法求二次函数 的解析式(1)——利用三点求二 次函数的解析式

第 3 课时

图象 (1) ——形如 y=ax2+c(a≠0) 的二次函数 26.1.3 二次函数 y=a(x-h)2+k 的

26.1.3 二次函数的图象和性质 (1) ——形如 y=ax2(a≠0)的二次函数 26.1.3 二次函数的图象和性质 (2) ——形如 y=ax2+c(a≠0)的二次函数 26.1.3 二次函数的图象和性质 (3) —— 形 如 系数) 26.1.3 二次函数的图象和性质 (4) ——二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的 一般规律 26.1.4 用待定系数法求二次函数 的解析式(2)——利用顶点坐标 或对称轴求解析式 y=ax2+bx(a≠0) 和 y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数 (数字

第 4 课时

图象 (2) ——形如 y=a(x-h)2 (a≠0) 的二次函数 26.1.3 二次函数 y=a(x-h)2+k 的

第 5 课时

图 象 ( 3 ) —— 形 如 y=a(x-h) +k(a≠0)的二次函数 26.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的 图象 *26.1.5 用待定系数法求二次函 数的解析式
2

第 6 课时

第 7 课时

原教学安排以抛物线的平移作为主线,知识间的逻辑关系清晰,先从特殊到 一般地研究形如 y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函数,最后提出形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的 二次函数,学生自然就能想到将后者配方变形为已学过的形式,这样的设计便于 突出重点、突破难点. 而我尝试对内容作调整则是立足于尊重学生的认知需求, 保护学生学习的主 动性. 此外,我校学生程度较好,具备一定的研究问题的能力,也乐于探究问题. 因此,我结合学生学情制定了本课的教学目标,并且对教学情境、问题设计、代 数说理等方面的内容和难度进行了反复推敲,进行这节课的尝试. 从学生的课后 反馈来看,取得了较好的教学效果.

二、学生学情分析
授课班级的学生程度较好,基础扎实,思维灵活,具备一定的探索数学问题
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的能力,并乐于探究具有一定挑战性的问题. 在知识基础方面,学生八年级时学习了一次函数和反比例函数,会用描点法 绘制函数图象,会用待定系数法求函数解析式,能够借助函数图象描述出函数的 简单性质,能够理解函数的解析式、图象和性质之间的内在联系. 通过《二次函数》一章前几课时的学习,学生已经了解到二次函数的图象是 抛物线, 会用不共线的三点坐标求出二次函数的解析式, 掌握了形如 y=ax2+c(a≠0) 的二次函数的图象和性质,并能从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特 征进行说明. 在研究能力方面,学生在七年级时参加了我校开展的研究性学习课程,具备 较强的解决问题的能力. 而在学习一次函数时,学生经历过自己提出问题、设计 方案、 解决问题的过程. 比如, 在学了正比例函数 y=kx 后, 研究一次函数 y=kx+b 时,学生就提出想要研究“b 对函数图象的影响”这样的问题,为解决问题,部 分学生针对性地设计出函数组 (如 y=2x+1, y=2x+2, y=2x-1; 或 y=x+1, y=2x+1, y=-x+1 等) ,还有一些学生从解析式中猜想出了直线的上下平移关系,最终从不 同解法中总结出“b 的几何意义”. 因此,学生们不仅能够适应本课教学内容的调整,还能够从中表现出更强的 自主性,获得更高的能力提升空间.

三、教学目标设置
1. 教学目标 (1)会将数字系数的二次函数的表达式化为 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并确定其 开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)经历从特殊到一般的研究过程,体会数与形的内在联系; (3)能利用二次函数的图象特征推测函数的性质,并利用二次函数的解析式对 其图象特征进行解释和判断; (4)感受数学的直观性、抽象性、严谨性,在方法迁移的过程中获得成功的体 验. 2. 教学重点、教学难点 教学重点:形如 y=ax2+bx(a≠0)的数字系数的二次函数的图象与性质. 教学难点:从解析式的角度对二次函数图象的对称性进行说理论证.

四、教学策略分析
1. 教学面临的问题 对本课而言,学生要掌握用配方的方法将数字系数的二次函数化为
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y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,这需要考虑以下问题: (1)在学生提出的研究思路中,y=ax2+bx(a≠0)和 y=ax2+bx+c(a≠0)两种形式 的二次函数所使用的方法本质上是一样的, 应当通过教学让学生意识到这种关系, 使知识融合为一体; (2)在研究以上两种形式的二次函数时,如果直接面对解析式,学生可能 在绘制图象时已经遇到障碍, 根据描出的有限几个点确定不出顶点或对称轴的位 置,让代数变形的探究缺乏支撑; (3)由于本课所研究的问题有一定难度,容易让学生感觉枯燥,所以问题 情境的设计要尽量新颖、浅显,保护学生的积极性。 2. 教学方法的选择 本课主要采用了教师启发讲授和学生探究相结合的方法, 包括教师的启发讲 授、提问、演示,以及学生的练习、展示、讨论等过程. 3. 教学情境的设计 为了让课堂更丰富,同时加强知识之间的联系,我将所研究的几个二次函数 用一个桥拱的情境串联起来,从图形入手,由浅入深地实现问题的引入、探究、 推广和提升. 如图是一座桥的抛物线形桥拱. 当水面在 BC 时, 拱顶离水面的距离 AD=2m,水面宽 BC=2m. 问题 1: 请建立适当的平面直角坐标系, 指出抛物线的 顶点坐标和对称轴, 并求出此时抛物线的解析式. (单 位:m) 问题 2: 某同学算出桥拱的解析式是 y4=-2x2+4x-2. 你知道他是怎么建 立坐标系的吗? 问题 3:在拱桥的问题中, (1)你发现 y1、y2、y3、y4 的图象之间有什么联系? (2)如果以 C 为原点,直线 BC 为 x 轴,你能直接写出桥拱所在抛 物线的解析式吗? (3)在(2)的条件下,桥拱在水中的倒影 y′也是抛物线,你能直接 写出它的解析式吗?想一想,你的依据是什么. 在问题 1 中,根据学生建系方式的不同,可以分别得到几类不同形式的二次 函数,这样就把几节课的知识巧妙地串联起来了. 同时能够很快得出新形式的二 次函数的对称轴和顶点坐标,为后面的探究确定了目标. 问题 2 在背景上看似问题 1 的延续,实则在思维上与问题 1 互逆,在方法上
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A 2m B D 2m C

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又是问题 1 的推广,让研究的对象过渡为形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数,这 两种二次函数在形式上有差异,但知识间是有联系的,因而解决问题的方法是一 样的. 问题 3 留给学有余力的学生在课下探究,希望他们通过观察和思考,找到抛 物线位置和开口方向的决定因素, 理解同一条抛物线在不同坐标系下所对应的不 同解析式之间的联系,其实这种联系是双向的:通过 y1 的平移可以得出 y2、y3、 y4 的图象;从更高层面理解,y2、y3、y4 的性质本质上就是由 y1 的性质得到的. 随 着理解的深入,学生对这些知识的理解经历着由感性到理性的过程. 如果去掉桥拱的问题背景,学生实际要研究的是以下三个二次函数:

y3 ? ?2x 2 ? 4x



y4 ? ?2x 2 ? 4x ? 2



y ? 2 x 2 ? 3x ? 1

这三个二次函数在形式和方法上由易到难. 函数 y3 是由图象得解析式,便于探究规律,形成方法. 函数 y4 容易配方, 也较容易绘制出图象, 还可以由前一个函数 y3 图象的平移得到这个函数的性质, 可以让学生在方法迁移的过程中体会知识之间的联系,并获得成功的体验. 最后 通过研究函数 y=2x2-3x-1,巩固本课所学方法,并梳理研究二次函数的方法和过 程. 4. 教学中的问题设计 本课教学中涉及到新方法的引入, 研究过程中也会面临一些思维难题, 因此, 针对教学中的某些环节,我通过设计启发性或阶梯性的问题来帮助学生突破难 点. (1)引入配方方法的三步引导 【环节 2】探究求解 ①对 y3=-2x2+4x,求证:当 x=1 时 ymax=2. 在环节 2 中证明函数最值时,需要引导学生对解析式进行配方变形. 由于本 章前几课时的研究中均没有出现配方,学生不容想到,所以需要给学生适当的引 导. 在这里,我设计了三步引导来完成证明过程: 第 1 步:联想 y=ax2+c(a≠0)的情形 当 a<0 时顶点(0,c)是最高点,这是因为 ax2≤0,从而 y=ax2+c≤c, 且当 x=0 时函数有最大值 c,所以(0,c)是图象的最高点. 这是利用了 x2 的非负性,来确定函数的最值和取得最值的条件,同时确定图象的 最高或最低点. 第 2 步:确定解析式的变形目标 若能够将解析式 y3=-2x2+4x 也变形成 y=aM2+N 的形式,其中 M
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是含 x 的式子、N 是常数,那么就可以通过 M2 的非负性求出函数取 得最大或最小值的条件.
第 3 步:想到用配方的方法将解析式变形成需要的形式.

其实,如果不做前两步分析,仍然会有部分学生想到使用配方的方法. 但二 次函数存在最值,其本质是因为实数的平方具有非负性,所以我认为应该通过教 师的引导和分析使学生看到这层本质,而不是机械地使用配方的方法解题. (2)为研究函数对称性而设计的阶梯性问题 【环节 2】探究求解 ③二次函数 y3=-2x2+4x 的对称性. 对二次函数对称性的描述是本课的教学难点 . 除了前两课时教学中的适当 铺垫外,教学中我还设计了三个阶梯性问题,来帮助学生找到思路. 第 1 问:你能从图象上找出一组对称点吗? 第 2 问:为什么说它们关于直线 x=1 对称?它们的横坐标、纵坐标分 别有什么关系? 第 3 问: 推广到一般情形, 可以怎么证明函数的对称性? (换句话说, 这样的对称点可以怎么找出来?) 通过第 1 问和第 2 问,学生已经可以总结出:关于直线 x=1 对称的两点 M、 x ? xN ? 1 . 所以在第 3 问时学生的思路就顺畅多 N,其坐标应该满足 y M ? y N , M 2 了,在课堂上共提出了三种思路. 思路 1: 在抛物线上找两点 M、 N, 使 yM ? y N , 证明此时
xM ? x N ? 1. 2

思路 2:在抛物线上取一点 M(m,n),则它关于直线 x=1 的对称点为 N(2-m,n),证明点 N 也在抛物线上. 思路 3:对任意 m>0,在抛物线上取 M、N,使 xM=1-m,xN=1+m,证 明此时 yM=yN. 在高中必修 1 教材中,主要采用上面的思路 3 来论证二次函数的对称性,但 这里学生能够提出其它思路, 主要是从前面的引导提问及阶段性结论中受到了启 发. 5. 教具的设计和使用 在教学设计过程中,我开发了教学 ppt 和几何画板课件. 对预设中的问题,在 ppt 课件中都有一定的准备. 而对于课堂上可能出现的 预设外情况,则可以用交互性更强的几何画板课件进行演示. 此外,在学生可能需要绘制函数图象的环节,我将几何画板课件设计为输入
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横坐标后自动计算出纵坐标,并描出对应的点. 这样设计是为了在有限的时间内 更高效地展示出学生解决问题的不同思路,促进思维的碰撞.

五、教学过程设计
为达到教学目标,我为本课设计了四个教学环节,教学流程如下: 【环节 1】 温故求新 【环节 2】 探究求解 【环节 3】 推广迁移 【环节 4】 总结提升 1. 温故求新 在前两节课,我们研究了形如 y=ax2(a≠0)和 y=ax2+c(a≠0)的二次函数,其中 y=ax2 又可以看做 y=ax2+c 当 c=0 时的特殊情形,而 y=ax2+c 则可以看做由 y=ax2 向上或向下平移得到. 在研究中我们还了解到, 二次函数的解析式和图象特征之间存在着对应关系: 已知解析式可以得出对应图象的特点,反之,知道了图象的某些条件也可以求出 对应的解析式. 请看下面的问题. 如图是一座桥的抛物线形桥拱. 当水面在 BC 时,拱顶离水面的 距离 AD=2m,水面宽 BC=2m. 问题 1:请建立适当的平面直角坐标系,指出抛物线的顶点坐标和对 称轴,并求出此时抛物线的解析式. (单位:m) A A 2m B B D 2m C C 通过桥拱的问题 1,巩固已学过的两类特殊二次函 数的图象和性质,引出本课需要研究的问题. 从图象入手,寻求解析式与图象特征之间的联系, 找到研究二次函数 y=ax2+bx 的方法. 通过桥拱的问题 2, 将研究方法推广到形如 y=ax2+bx+c 的二次函数,体会知识和方法之间的联系.

对研究函数的一般思路和方法进行总结,并布置作业.

A 2m B D 2m C

分析与解:可以选取图中任意点作为坐标原点建系,求出的解析式各不相同. (选取有代表性的学生解答, 投影展示, 教师在黑板上画图以便总结、 比较. )
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y A x

解 1:如图,以 A 为原点,以直线 AD 为 y 轴建立坐标系. 则抛物线 顶点是 A(0,0),对称轴是 y 轴,且经过 B(-1,-2)、C(1,-2),设抛物线为 y1=ax2,解得 a=-2,所以 y1=-2x2. 解 2:如图,以 D 为原点,以直线 AD 为 y 轴建立坐标系. 则抛物线 顶点是 A(0,2),对称轴是 y 轴,且经过 B(-1,0)、C(1,0),设抛物线为 y2=ax +c,解得 y2=-2x +2. 解 3:如图,以 B 为原点,以直线 BC 为 x 轴建立坐标系. 则顶点是 A(1,2) ,对称轴是直线 x=1 ,且经过 B(0,0) , C(2,0). 设抛物线为 y3=ax2+bx+c,解得 y3=-2x2+4x.
B D C x
B D C

y A

B
y

D

Cx

2

2

A

在前两种解法中,分别用到了形如 y=ax2 和 y=ax2+c 两类特殊二次函数的图 象来求解析式. 反过来,对这两种特殊形式的二次函数,若知道了它们的解析式 也可找到顶点坐标和对称轴,并画出图象. 而在第三种解法中,由图象知道了此时抛物线的顶点坐标为(1,2),对称轴是 直线 x=1,并求出了解析式. 可如果仅知道抛物线的解析式 y3=-2x2+4x,能否确 定出它的顶点坐标和对称轴呢? 【设计说明】 通过桥拱的问题 1,复习已经学过的两类二次函数,并提出新形式的二次函 数——y=ax2+bx(a≠0). 在这个情境中,没有先给出函数解析式再绘图、研究,而是将同一条抛物线 放在不同的坐标系下求解析式,这样学生便于得到新函数的图象特征,为下一环 节的论证说理找到目标. 2. 探究求解 要研究这一问题,我们不妨先将这些图象特征转化为对应的代数特征,再寻 求它们与解析式之间的联系. (1)整理出抛物线 y3=-2x2+4x 的开口方向、顶点坐标、对称轴、趋势等图 象特征. (2)根据图象的特征,描述出二次函数 y3=-2x2+4x 的对应性质.

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图象特征
y A

函数性质

y3=-2x2+4x
B D C x

开口 方向 顶点 坐标 对称 轴

向下 当 x=1 时 ymax=2. (1,2) *对任意 m>0, 当自变量 x 分别 直线 x=1 在对称轴左侧图象从左到右 取 1-m 和 1+m 时, 对应的函数 值相等. 上升; 在对称轴右侧图象从左到右 下降. 当 x≤1 时 y 随 x 增大而增大; 当 x>1 时 y 随 x 增大而减小. 对称 性 最值

曲线 趋势

增减 性

(3)从解析式的角度对函数的性质进行论证. ①首先论证:当 x=1 时 ymax=2. 联想 y=ax2+c(a≠0)的情形:当 a<0 时顶点(0,c)是最高点,这是因为 ax2≤0, 从而 y=ax2+c≤c,且当 x=0 时函数有最大值 c,所以(0,c)是图象的最高点. 这是利 用了 x2 的非负性,来确定函数的最值和取得最值的条件,同时确定图象的最高 或最低点. 类似的,若能够将解析式 y3=-2x2+4x 也变形成 y=aM2+N 的形式,其中 M 是 含 x 的式子、N 是常数,那么就可以通过 M2 的非负性求出函数取得最大或最小 值的条件,确定图象的最高或最低点. 这个过程与解一元二次方程时使用的配方法比较类似, 不妨也试着对函数解 析式的二次项、 一次项进行配方: y3=-2x2+4x=-2(x2-2x)=-2(x2-2x+1)+2=-2(x-1)2+2, 由于(x-1)2≥0,所以 y3=-2(x-1)2+2≤2,且当 x=1 时,函数有最大值 2. ②其次来看这个函数的增减性. (说理) 由配方得到 y3=-2(x-1)2+2,所以(x-1)2 越大,y3 的值越小. 因此,当 x≤1 时, x 越小函数值越小,即 y 随 x 的增大而增大;当 x>1 时,x 越大函数值越小,即 y 随 x 的增大而减小. ③最后来分析二次函数 y3=-2x2+4x 的对称性.
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学生描述对称性时可能会遇到困难, 需要有教师的几步引导并配合课件演示: (A)找几组具体的对称点; (先从图象上具体的点入手,你能从图象上找出一 组对称点吗?) (B)总结这些点的坐标特点. (为什么说它们关于直线 x=1 对称?它们的横坐 标、纵坐标分别有什么关系?) (C)推广到一般情形,可以怎么描述?(这样的对称点可以怎么找出来?) 当自变量分别取 xM、xN 时,设对应的函数值分别为 yM、yN. 〖预案 1〗从横坐标入手:可以从(1,0)点向左右等距离地取两个点,把它们的横 坐标作为自变量,来判断图象上对应点的纵坐标是否相等. 对于任意实数 m>0: 取 xM=1-m,则 yM=-2(1-m)2+4(1-m)=-2m2+2; 取 xN=1+m,则 yN=-2(1+m)2+4(1+m)=-2m2+2. (若将横坐标代入配方后的解析式,计算更简便. ) 所以 yM=yN ,即点 (1-m,yM) 、 (1+m,yN) 关于直线 x=1 对称,所以二次函数 y3=-2x2+4x 图象的对称轴是直线 x=1. 〖预案 2〗从纵坐标入手:由于函数的最大值是 2,可以在直线 y=2 下方画一条 平行于 x 轴的直线,这条直线与抛物线有两个交点,求出交点的横坐标,判断它 们到直线 x=1 的距离是否相等. 比如:当 y=1.5 时,求出 x1=0.5,x2=1.5,它们到 直线 x=1 的距离都是 0.5,是关于直线 x=1 对称的. 令 y=n,则:-2x2+4x=n,用配方法解:-2(x-1)2=n-2,(x-1)2= 所以,当 n≤2 时, x1, 2 ? 1 ?
2?n , 2

2?n ,关于直线 x=1 对称. 2

〖预案 3〗从图象上任意点入手,证明其对称点也在抛物线上. 设 M(m,n)是抛物线上任意一点,则 n=-2m2+4m,作点 M 关于直线 x=1 的对 称点 N,则 N(2-m,n). 当 x=2-m 时,y=-2(2-m)2+4(2-m)=-2m2+4m=n,所以 N 也在抛物线上,因此 图象的对称轴是直线 x=1. 小结:从上面的研究中会发现,在二次函数的主要性质中,对称轴、顶点坐标、 最值三者是相互关联的,只要确定了其中之一,就能够很快地说出函数的其它性 质. 而对称轴和顶点是从函数的图象上得到的,最值则可以通过对解析式配方变 形求出来. 所以,在研究形如 y=ax2+bx 的二次函数时,无论是先知道了图象,还 是先知道解析式,都可以推导出函数的性质.
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函 数 解 析 式
【设计说明】

对称 轴 最值 顶点 坐标

函 数 图 象

这个环节从二次函数 y3=-2x2+4x 的图象特征入手, 通过函数性质由“形”到“数” 的转化,来寻求解析式与图象特征之间的联系,并从中找到通过解析式来求解二 次函数的对称轴、顶点坐标的一般方法. 3. 推广迁移 问题 2: 某同学算出桥拱的解析式是 y4=-2x2+4x-2. 你知道他是怎么建 立坐标系的吗? 分析:要知道这名同学建立坐标系的方法,就是要知道他把原点定在什么位置, 反过来看,也就是需要找出抛物线 y4 的顶点坐标. 〖预案 1〗在坐标系中描点、绘制抛物线 y4=-2x2+4x-2.
x y … … -2 -18 -1 -8 0 -2 1 0 2 -2 … …

从图象中观察出,对称轴是直线 x=1,所以顶点 A 的坐标为(1,0). 〖预案 2〗对解析式进行配方:y4=-2x2+4x-2=-2(x2-2x+1)=-2(x-1)2. 可得:当 x=1 时函数有最大值 0,所以 y4 的顶点坐标为(1,0),可 以得知坐标系的建立方法如图. 可以看出,对于形如 y=ax2+bx+c 的二次函数,用配方的方法同 样可以帮助我们求出函数的最值,从而确定顶点坐标和对称轴. 〖预案 3〗从解析式上分析,抛物线 y4=-2x2+4x-2 可以看做由抛物线 y3=-2x2+4x 向下平移 2 个单位得到,所以其顶点 A 的坐标为(1,0). 〖预案 4〗 设 B(a,b), 则 A(a+1,b+2), C(a+2,b), 代入抛物线的解析式, 解得 a=-2, b=-2,所以 B(-2,-2),由此可确定原点的位置. 小结:从大家的解法中不难发现,对形如 y=ax2+bx+c 的二次函数,同样可以通 过绘制图象或者对解析式配方来确定它的顶点坐标. 事实上,还有同学发现,这 一类二次函数可以由二次函数 y=ax2+bx 向上或向下平移得到,只要研究清楚二 次函数 y=ax2+bx 的性质,就容易研究出二次函数 y=ax2+bx+c 的性质,所以我们
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O y A x

B

C

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在问题 1 中使用的配方的方法在这里仍然可以适用. 【小试身手】试研究二次函数 y=2x2-3x-1 的性质. 解: (1)绘制图象:列表、描点,画出函数的图象
x y … … -2 13 -1 4 0 -1 1 -2 2 1 3 8 … …

描点后发现这些点能够反映出图象的大致走势,且开口向上,但还不足以准 确确定对称轴和顶点坐标. 〖预案〗可以再增加一些点(红色) ,汇总如下表:
x y
24

… …

-2 -1.5 -1 -0.5 0 13 8 4 1
24

0.5 -2

1 -2

1.5 -1

2 1

2.5 4

3 8
24

3.5 … 13 …

-1

加入新的点并连线后,能够看出抛物线开口向上,并且关于一条平行于 y 轴
3 22 的直线对称, 由一组对称点 (0,-1)22 、(1.5,-1),容易找到图象的对称轴是直线 x= . 22 4 20 20 20 3 17 3 17 18 18 x ? 时, y ? ? ,所以顶点坐标是 ( ,? ) . 当18 8 4 8 4 16 16 16
14 12 10 8 6 4 2

y

14 12 10 8 6 4 2

y

14 12 10 8 6 4 2
20

y

35 15

30 10

25 5

20 O 2
4

35 15 5

x

30 10 10

25 5 15

20 O 2
4

15 5

x

1010

5 15

O
2 4

20

5

x

10

15

20

(2)最值:
y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 3 3 2 3 ? ( ) ] ? 2 ? ( )2 ?1 4 4 4 3 17 ? 2( x ? ) 2 ? 4 8 ? 2[ x 2 ? 2 ? x ?
17 3 17 3 由于对任意实数 x,2( x ? ) 2 ? 0 , 因此 y ? ? . 只有当 x ? 时 y min ? ? . 4 8 4 8 3 17 所以图象的顶点坐标为 ( ,? ) ,是图象的最低点. 4 8

(2)对称性: 图象的对称轴是直线 x ?
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3 . 4

二次函数的图象和性质(3)教学设计

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3 3 对任意 m>0,当自变量 x 分别取 ? m 和 ? m 时,对应的函数值相等. 4 4

事实上,通过配方确定了抛物线的对称轴后,若利用对称性进行描点会更加 的方便. (3)增减性:
13 12

3 11 在对称轴左侧图象从左到右上升,即当 x ? 时 y 随 x 的增大而减小; 4 10 3 9 x 的增大而增大. 在对称轴右侧图象从左到右下降,即当 x ? 时, y 随 4 8

归纳:二次函数 y=2x2-3x-1 的图象与性质 函数性质

7 6 图象特征 5 4

y

20

18

16

y ? 2 x ? 3x ? 1 3 17 ? 2( x ? ) 2 ? 4 8
2

3 2 1 8 6 4 2

14

12

10

O
1 2

2

x4

6

8

10

12

向上 最值 当x?
3 17 时 y min ? ? . 4 8

开口 方向 顶点 坐标 对称 轴

3 17 ( ,? ) 4 8
3 4

对任意 m>0,当自变量 x 分别
3 3 对称性 取 ? m 和 ? m 时,对应的函 4 4

直线 x ?

数值相等. 当x? 增减性 小; 当x? 【设计说明】 在问题 2 中,让学生将前面用到的方法运用到形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的二次 函数中,体会知识之间的联系. 然后,再通过一个具体的数字系数的二次函数, 结合图象和解析式梳理研究二次函数性质的一般过程和方法.
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在对称轴左侧图象从左到右 3 时 y 随 x 的增大而减 下降; 4
3 时 y 随 x 的增大而增大. 在对称轴右侧图象从左到右 4 上升.

曲线 趋势

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二次函数的图象和性质(3)教学设计

4. 总结提升 这节课我们主要研究了形如 y=ax2+bx(a≠0)和 y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的 图象与性质. 【想一想】 (1)对于函数性质的研究,你有什么心得? (2)我们还能从哪些方面继续研究二次函数的性质呢? 从研究思路来看,在研究某一类函数的性质时,通常先从形式较简单的特殊 情形开始研究,比如在二次函数中我们先研究形如 y=ax2 的一类二次函数,再逐 渐过渡到一般形式的二次函数. 从研究方法来看,图象能帮助我们直观把握函数的一些特征,而通过分析解 析式能让研究的过程更严谨、 结论更可靠. 就像著名数学家华罗庚先生所说: “数 缺形时少直觉,形缺数时难入微. 数形结合百般好,隔离分家万事非. ” 今天我们主要对二次函数图象的对称性、 顶点是最值点两方面的图象特征进 行了说理论证. 其实,图象的升降趋势、开口方向等特征也同样可以从解析式中 找到依据,今后同学们在学习了其它相关知识后就可以对它们加以论证了. 【课后作业】 (1)试研究下列二次函数的性质,并作出图象: 1 1 ① y ? x 2 ? 2x ; ② y ? ? x2 ? x ? 2 . 4 2 (2)试用含 a、b、c 的式子表示二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 和顶点坐标,并确定其开口方向. (3) (选做)问题 3:在拱桥的问题中, ①你发现 y1、y2、y3、y4 的图象之间有什么联系? ②如果以 C 为原点,直线 BC 为 x 轴,你能直接写出桥拱所在抛物线 的解析式吗?和同学交流一下,看看谁的方法又快又好. ③在②的条件下,桥拱在水中的倒影 y′也是抛物线,你能直接写出它 的解析式吗?想一想,你的依据是什么. 【设计说明】 在总结提升环节,通过课堂小结让学生再次梳理研究的思路和方法,进一步 体会函数“数形结合”的特点. 课后作业的层次鲜明:第(1)题巩固本课的研究过程和方法;第(2)题让 学生试着将方法推广到一般情形,找出一般性规律;第(3)题给学有余力的学 生更高的思维空间, 让他们体会抛物线进行平移或对称变化时解析式的变化规律, 加深对二次函数图象与性质的理解.
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