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2018-2019版高中数学苏教版必修四课件:2.3.2 第2课时 平面向量数量积的坐标运算


第2章 §2.4 向量的数量积 第2课时 平面向量数量积的坐标运算 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量 积的坐标表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间 的距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量. 思考1 i· i ,j · j,i· j分别是多少? 答案 i· i=1×1×cos 0=1,j· j=1×1×cos 0=1,i· j=0. 答案 思考2 取i,j为坐标平面内的一组基底,设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 试将a,b用i,j表示,并计算a· b. 答案 ∵a=x1i+y1 j,b=x2i+y2 j, ∴a· b=(x1i+y1 j)· (x2i+y2 j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i· j+y1y2 j2=x1x2+y1y2. 思考3 若a⊥b,则a,b坐标间有何关系? 答案 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 答案 梳理 若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). 数量积 向量垂直 x1x2+y1y2 a· b=_________ a⊥b?x1x2+y1y2=0 __________________ 知识点二 平面向量的模 思考1 若a=(x,y),试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a=xi+yj,x,y∈R, ∴a2=(xi+yj)2=(xi)2+2xy i· j+(yj)2=x2i2+2xy i· j+y2j2. 又∵i2=1,j2=1,i· j=0, ∴a2=x2+y2,∴|a|2=x2+y2, ∴|a|= x2+y2. 答案 思考2 → 的模? 若A(x1,y1),B(x2,y2),如何计算向量 AB 答案 → → → ∵AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1), → ∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 答案 梳理 向量的模及两点间的距离 向量 a=(x,y) 模长 |a|= x2+y2 → → 以 A(x1,y1),B(x2,y2)为端点的向量AB |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 知识点三 向量的夹角 设 a,b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,则 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1· x2+y2 题型探究 类型一 平面向量数量积的坐标运算 例1 已知a与b同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求a的坐标; 解 设a=λb=(λ,2λ)(λ>0), 则有a· b=λ+4λ=10, ∴λ=2,∴a=(2,4). (2)若c=(2,-1),求a(b· c)及(a· b)c. 解 ∵b· c=1×2-2×1=0,a· b=10, ∴a(b· c)=0a=0,(a· b)c=10(2,-1)=(20,-10). 解答 反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算,灵活应用基本公式是前提,设 向量一般有两种方法:一是直接设坐标,二是利用共线或垂直的关系设 向量,还可以验证一般情况下 (a· b)· c≠a· (b· c) ,即向量运算结合律一般 不成立. 1 跟踪训练1

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