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北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从速度的倍数到数乘向量


从速度的倍数到数乘向量

1

复习提问: (1)向量加法的定义

? ? a ?b

? ? ? a ?b b

? a

? b

? ? a ?b

? a

? b

? a

2

? ? 3a = a
A

+

+

? a
D
3

? a

B

C

A

B

? a

? a ? ? - 3a= (- a ) + (-

? ) + (- a
C

)

D
4

复习提问: (2)实数乘法的运算律

1、交换律:ab=ba
2、结合律:a(bc)=(ab)c=b(ac)

3、分配律:a(b+c)=ab+ac

5

? a
? 2a

? 3(2a )

? 6a ? ? 3(2a ) = 6a

? ? 一般地: ? ( ?a ) ? (?? )a
6

? a
? 2a

? 5a ? 3a
? ? ? (2 ? 3)a ? 2a ? 3a

? ? ? 一般地: (? ? ? )a ? ?a ? ?a
7

? a
? ? a ?b

? b
? ? 2( a ? b )

? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? 2b
? 2a

一般地:

? ? ? ? ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
8

? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )

? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b

? ? (1)( ?3) ? 4a ? ?12 a

例1:计算

? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c

9

? ? 定理:向量 b 与非零向量 a 共线 的充要条件是有且只有一 ? ? 个实数? , 使得 b ? ?a. ? ?

? ? 思考:若去掉a ? 0, b ? ?a 是 ? ? a // b 的充分不必要 条件 _________

应用:该定理是证明三点共线或直
线平行的重要依据。
10

例2:已知向量 AD ? 3 AB, ? 3BC, DE 试判断 AC与 AE 是否共线. E C A B D
11

变:证明A、C、E三点共线

? ? e 例3:设 e , 是不共线的向量,而 ? ?4? k ? ? ? e1 e 2和 e e 共线,求实数
1 2
1 2

? ? ? ? 解: ? e1 ? 4 e 2 和k e1 ? e 2 共线
? ? ? ? ?( ? ? 4 ? ) ? ke e e e ? ? ? (1 ? 4? ) ? ? 0 ? (k ? ? ) e 1 e2 ? , ? 不共线 ?e e
1 2 1 2

k的值

??

1

2

1 ? k ?? ?? 4 1 ? 4? ? 0
k ?? ? 0

12

小结:
(1)实数与向量 的积
(2)实数与向量积的运算律

? ?) (3)向量共线的充要条件(强调 a ? 0
? ? ? ? ? ? a ? 0, a // b ? b ? ?a (?唯一)
退出
13

补充练习: (1)若 a ? b ? c 则化简

3(a ? 2b) ? 2(3b ? c) ? 2(a ? b) ? ? a (2)已知 e1, e2 是不共线向量, a ? e1 ? ? e2 b ? 2e1 ? e2 则 a 与 b 共线的充要条件
是实数

??

1 ? 2

14

作业:习题2.3 A组第4、5、6、7题.

课后反思:

15


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