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拓展课程-高中数学基本解题方法(1)


方法阐述
**对于一些具有明显特征的集合可以将集合中的元素一一列举 出来,然后从中寻找符合条件的元素,这种解决集合问题的方法 就是列举法. **列举法既是表示集合的方法之一,也是解决集合问题的一种 最为基本方法.利用列举法研究集合问题时,将集合中的元素一 一列举出来,元素的个数、元素的类型也就都直接地表示了出 来.描述法虽然也是表示集合的方法之一,由于它是用文字或数 学符号表述集合的公共属性,不免显得抽象,不便于问题的研究. 若能将描述法转化为列举法,则就能化抽象为具体,使研究元素 的公共属性和几个有限的个体一览无余地展现在你的面前,给 研究和解决问题带来极大的便利. **利用列举法解决问题时应注意: (1)集合中元素之间的互异性和无序性; (2)子集和真子集的区别; (3)不要忘记全集和空集这两种情况的可能性.

课本溯源
**在高中课本第一章的“集合与命题”的“集合的运算”一节中, 交集的运算就是先用列举法将所需研究的集合中的元素分别列 举出来,再直观地找出集合A、B中所有公共元素组成集合,进而 观察出它们与集合C的关系.

例题讲解 例题1
1 1 若已知集合 M ? ? ,3, x?, N ? x ,1 , M ? N ? ? ,3, x?,
2

? ?

则满足条件的x的个数有( ). (A) 1 ;(B) 2 ;(C) 3 ;(D) 4 . *思路剖析* *在考虑集合中元素的互异性和无序性的条件下,将 两集合的元素一一列出,并进行分类研究. *解法点评* *解决本题的关键在于考虑集合中元素的互异性,将 集合的元素一一列出进行判断.当集合中的元素较 少时,列举法是解决问题的最直接和有效的方法.
1

例题讲解 例题2 已知 M ? ? x x ? k? ? ? , k ? Z ?, N ? ? x x ? k? ? ? , x ? Z ?, ? ? ? ?
(A) M ? N (C) M ? N ? *思路剖析**集合M、N虽然是无限集,但由于k为正数,故可取k 的若干数值(…-2,-1,0,1,2,…),将集合M、N中的 元素分别一一列出,就可以方便地比较出两集合中 元素的差异. ? ? 3? 5? 7? ? ? M ? ?...,? , , , , ,...?, 4 4 4 4 4 ? ? ? ? ? 3? 5? 3? 7? ? ? N ? ?...,? ,0, , , , ? , , , ,...?. 4 4 2 4 4 2 4 ? ? *解法点评* *注意在使用列举法解决无限集的问题时,应尽可能 地多举出一些具有代表性的元素,如此方能容易地 发现集合之间元素的关系.

? 则满足有(

2

4

?

?

).

2 ? ;(B) M ? N ; ? ;(D) M ? N ? ?. 4

例题讲解 例题3 已知集合 M ? ?x ax ? 6 ? 0?, N ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 ,
2

?

?

且满足 M ? N ,试求实数a的值. ? *思路剖析* *由于集合M是集合N的真子集,故可先将集合N的元 素一一列举出来,然后把集合M是其真子集的所有可 能分别列出,从而求得适合条件的a的值.

*解法点评* *解决本题时,请务必注意不能忽视空集?也是集合N 的的真子集.一般当所研究的集合中的元素较少时, 用列举法研究集合中元素的性质是非常有效的.
2

例题讲解 例题4 已知集合 A ? ?0,1,2?, B ? ?x x ? A, x ? N * ?, C ? ?x x ? A?,
试探究出集合A∪B与集合C之间的关系. *思路剖析* *由题设条件可知三个集合中的元素的表示形式都 是不同的,所以关系并不明显,若用列举法把集合B 和C的元素也列举出来,然后研究它们之间的关系, 则A∪B与C的关系便可一目了然.

C ? ??, ?0?, ? ?, ?2?, ?0,1?, ?0,2?, ? ,2?, ?0,1,2?? 1 1 ? A ? B ? C.
*解法点评* *在研究集合问题时,首先应明确每个集合中元素的 公共属性是什么,在此基础上方可进一步研究集合 之间的关系或进行集合运算.注意本题中的集合C事 实上是一个以集合为元素的集合.

解法感悟

**列举法适用于具有明显列举特征的简单集合的相关问题,一 般适用于解答有限集问题,但对于一些与自然数有关,规律简单 的无限集问题也适用列举法研究,可多找出一些具有代表性的 元素发现其规律性,利用特殊到一般进行不完全归纳解决问题.

训练问题
**附资料** (一)

考题链接

**附资料** (二)
3

**训练问题**

1.设全集是实数集 R,M= x x ? 1 ? 2 , x ? R ,N= ? ,2,3,4?,则 CUM∩N 等于( 1 (A) ?4?; (B) ?3,4?; (C) ?2,3,4?; (D) ? ,2,3,4?. 1
?

?

?

)

2.已知集合 M= x x 2 ? 1 ,集合 N= ?x ax ? 1? ,若 N ? M 那么 a 的值为( (A) 1; (B) -1; (C) 1 或-1; (D) 0 , 1 或-1.

?

?

).

3.设集合 A= ? 3, x ? 1, x 2 ,集合 B= x ? 5,2 x ? 1, x 2 ? 1 ,若 A∩B= ?? 3?,那么实数 x 的值为( ). (A) 2; (B) 2 或-1; (C) -1; (D) 不存在. ). (A)

?

?

?

?

4.若集合 A= ? ,2,3?,则满足 A∪B= A 的集合集合 B 的个数是( 1 1; (B) 2; (C) 7;
?

(D) 8.

5.设集合 U= ? ,2,3,4,5?,集合 A,B ? U,且 A∩B= ?4?,CUA∩B= ?2,5?,则满足条件 1 的集合 A 有( )个. (A) 4; (B) 3; (C) 2; (D)1. . . . 6.已知集合 A= ? ,3,2m ? 1?,集合 B= 3, m 2 ,若 B ? A,则实数 m= 1 7.若集合 A= x x 2 ? 2 x ? a ? 0, a ? R ? ? ,则 A 中所有元素的和是 8.集合 ?a, b, c?的所有子集是 ;真子集是 ;非空真子集是

?

?

?

?

9. 若一系列函数的解析式相同,值域也相同,但定义域不同,则称这些函数为 “同

1 族函数”,那么解析式为 y ? x 2 ,值域为 ? ,4? 的“同族函数”的个数有(

)个.

**考题链接**
1.(2004 高考.上海) 设集合 A= ?5, log2 (a ? 3)? ,集合 B= ?a, b? , A∩B= ?2?,则 A∪ B= . 2.(2001 高 考 . 上 海 ) 设 集 合 A= ?x 2 lg x ? lg(8x ? 15), x ? R? , 集 合
4

? ? x B= ? x cos ? 0, x ? R? , 则 A∩B 的元素个数为 2 ? ?

.

3. (2000 高考.全国) 设集合 A= ?x ? 10 ? x ? ?1, x ? Z?,集合 B= x x ? 5, x ? Z , 则 A∪B 中的元素个数为( ). (A) 11; (B) 10; (C) 16; (D) 15.

?

?

4. (2004 高考.江苏) 设集合 P= ? ,2,3,4? ,集合 Q= x x ? 2, x ? R , 则 P∩Q 等于 1 ( ). (A) ? , ? ; 12 (B) ?3, ?; 4 (C) ? ? ; 1 (D) ?? 2,?1,0,1, ?. 2

?

?

5. (2005 高 考 . 湖 北 ) 设 P,Q 为 两 个 非 空 实 数 集 合 , 定 义 集 合 P+Q= ?a ? b a ? P,, ? Q? ,若 P= ?0, , ? ,Q= ? , , ? , P+Q 中的元素个数为 25 126 ( ). (A) 9; (B) 8; (C) 7; (D) 6. ). (A) 6.(2002 高考.北京) 满足条件 M∪ ? ? = ? , , ? 的集合 M 的个数为( 1 123 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.

7.(1996 高考.全国) 已知全集 I=N,集合 A= ?x x ? 2n, n ? N?, B = ?x x ? 4n, n ? N?, 则( ). (A) I=A∪B; (B) I= CIA∪B; (C) I= A∪CIB; (D) I= CIA∪CIB .

? ? ? ? k 1 k 1 8.(2002 高考.全国)集合 M= ? x x ? ? , k ? Z ? ,N ? x x ? ? , k ? Z ? , 则有 2 4 4 2 ? ? ? ?
( ).(A) M=N; (B) M ? N; (C) M ? N; (D) M∩N=?.
?
?

123 9. (2005 高 考 . 浙 江 ) 设 f (n) ? 2n ? 1(n ? N ) ,P= ? , , ,4,5? ,Q= ?3,4,5,6,7? , 记

? ? ? ? ? ? P ? ?n ? N f (n) ? P?, Q ? ?n ? N f (n) ? Q? , (P ? CU Q) ? (Q ? CU P) ? (
(A) ?0,3?;

).

1 (B) ? ,2? ;

(C) ?3,4,5? ;

1 (D) ? ,2,6,7? .

10.(2001 高考.上海)对任意一个非零复数 z,定义集合 M= ? ? ? z 2 n ?1 , n ? N ,设 a 是方程 x ?
1 ? 2 的一个根,用列举法表示集合 Ma. x

?

?

5


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