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3.1.1变化率问题


3.1.1

变化率问题

3.1.1变化率问题
导数研究的问题 变化率问题

研究某个变量相对于另一个变量变化的 快慢程度.

? 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角 度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) ? ? r

3 3V 3 ? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) ? 4?

我们来分析一下:
3V r (V ) ? 4?
3

? 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0)
1? 0 ? 0.62(dm / L)

? 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 显然 气球的平均膨胀率为 r (2) ? r (1)
2 ?1 ? 0.16(dm / L) 0.62>0.16

思考?
? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数 h 关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?

请计算

o

t

0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :

请计算 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h

o

t

平均变化率定义:
?上述问题中的变化率可用式子

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

f(x2 ) ? f ( x1 ) 表示 x2 ? x1

? 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)

?f 则平均变化率为 ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

思考?
? 观察函数f(x)的图象
?y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 平均变化率 ?x
Y=f(x) y f(x2) B

表示什么?
直线AB的斜 率

f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O A x2-x1=△x x x1 x2

已知函数 f ( x) ? x 2,分别计算 f ( x) 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]。

做两个题吧!
? 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( D) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx ? 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx

练习:
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+?t)中 相应的平均速度为( A ) A. 6+?t C.3+?t 9 B. 6+?t+ ?t D.9+?t

? 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运 动,求在4s附近的平均变化率.

25 ? 3?t

小结:
? 1.函数的平均变化率

? f ( x) f(x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

? 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率

?f ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1


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