tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> >>

2016-2017学年人教A版必修五 2.5 等比数列的前n项和 课件 (11张)_图文

2.5 等比数列的前 n 项和

等比数列{an}的前n 项和公式:

? na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

( q ? 1) (q ? 1)

通项公式: an ? a1q 前n项和公式:

n?1

? na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1? q ? 1? q ?
两个公式共有5个基本量:

( q ? 1) ( q ? 1)

a1 , q, n, a n, S n 可知“三求二”.

例1.若数列{an}是各项为正的等比数列,前n项和为80, 其中最大项为54,前2n项和为6560,求 S100.
n a (1 ? q ) 解:由已知得, 1 ① Sn ? ? 80 , 1? q a1 (1 ? q 2 n ) S2n ? ? 6560 . ② 1? q n n 由②÷ ①得 1 ? q ? 82 , q ? 81 , a1 ③ ? ?1 , a1 ? q ? 1 , 代入①得: 1? q ? a n ? 0 , ? a 1 ? q ? 1 ? 0 , q ? 1 , ∴ {an}是递增数列. a1 n?1 ? 81 ? 54 , ④ ∴最大项为 an ? 54 , 即 a1q ? 54 , q a1 (1 ? q 100 ) 100 ? 3 ? 1. 解③④得 a 1 ? 2 , q ? 3 ,? S100 ? 1? q

1 an ? 1 ? S n , 例2. 数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1, 3 求:(I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式; (II)a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的值. 1 解: (I)由a1=1, an ? 1 ? S n , 得 3 1 1 1 1 1 4 a2 ? S1 ? a1 ? , a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? , 3 3 3 3 3 9 1 1 1 16 a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? , an ? S n ?1 , 3 3 27 3 1 1 由 an?1 ? an ? ( Sn ? Sn?1 ) ? an ,(n≥2) 3 3 4 1 得 an?1 ? an(n≥2) 又 a2 ? , n?1 ? 1 3 3 ? ? a ? ? 1 4 n? 2 n 1 4 n? 2 ( ) n≥ 2 ? an ? ( ) (n≥2) ? ?3 3 3 3

1 an ? 1 ? S n , 例2. 数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1, 3 求:(I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式; (II)a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的值. 1 解:(II)由(I)可知 a2 , a4 ,?, a2n 是首项为 , 3 4 2 公比为 ( ) , 项数为n的等比数列, 3 4 2n 1?( ) 3 4 2n 1 3 ? [( ) ? 1]. ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n ? ? 4 2 7 3 3 1?( ) 3

例3 数列{an}的前n项和记为Sn,已知
a1 ? 1, an?1 ? n ? 2 Sn (n ? 1,2,3?). n
Sn (1)数列 { n }是等比数列; (2) Sn?1 ? 4an .

证明:(1) ? an?1 ? Sn?1 ? Sn , an?1 ? n ? 2 Sn ,

n

? (n ? 2) Sn ? n( Sn?1 ? Sn ) , S n?1 整理得 nSn?1 ? 2(n ? 1) Sn , 即 n ? 1 ? 2. Sn n Sn 故 { } 是以2为公比的等比数列.
n

例3 数列{an}的前n项和记为Sn,已知
a1 ? 1, an?1 ? n ? 2 Sn (n ? 1,2,3?). n
Sn 求证:(1)数列 { n }是等比数列;(2) Sn?1 ? 4an .

S n S1 ? ? 2 n?1 ? 2n?1 , 证明: (2)由(1)得 n 1 ? Sn ? n ? 2n?1,

( n ? 1) ( n ? 1) ?1 ? S1 n? 2 an ? ? ?? ? ( n ? 1 ) ? 2 n? 2 n ?1 n? 2 S ? S ( n ? 2 ) ( n ? 1 ) ? 2 ( n ? 2 ) ( n ? 2) n ? 2 ? ( n ? 1 ) ? 2 n ?1 ? n ?

又 Sn?1 ? (n ? 1) ? 2n ? 4(n ? 1) ? 2n?2 ,

? Sn?1 ? 4an .

例4 已知数列{an} 满足 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,? , an ? an?1 ,?
是首项为 1,公比为1 的等比数列 . 3 ( 1 )求an 的表达式 ;

( 2 )设bn ? (2n ? 1)an , 求 {bn }的前n项和 Sn . n ?1 1 1 ( n ? 2) a ? a ? 1 ? ( ) ? a ? 1 , (1) 由已知得 1 解: n n ?1 3 3 n ?1 ? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 1 ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 3 (1 ? 1 ) ( n ? 2) ? n 2 3 3n 3 ?1 3n?2 3n?3

当n ? 1 时, a1 ? 1 也满足上式,

? an ? 3 (1 ? 1 ). n 2 3

(2) 由(1)知,an ? 3 (1 ? 1 ), 解: n 2 3 3 [(2n ? 1) ? 2n ? 1] ? ? bn ? (2n ? 1)an ? 3 (2n ? 1)(1 ? 1 ) 2 2 3n 3n ? Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? bn 5 ? ?? 2n ? 1 )] ? 3 [1 ? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ( 1 ? 3 ? 2 3 32 33 3n 5 ? ? ? 2n ? 1 , 则 令 Tn ? 1 ? 3 ? 2 3 n 3 3 3 3 1T ? 1 ? 3 ? ?? 2n ? 3 ? 2n ? 1 , 3 n 32 3 3 3n 3 n ?1 2n ? 1 两式相减得 2 Tn ? 1 ? 2( 12 ? 13 ? 14 ?? 1 ) ? n n ?1 3 3 3 3 3 3 3 1 ) ? 2n ? 1 ? T ? 1 ? n ? 1 . ? 1 ? 1 (1 ? n n 3 3 3 ?1 3 n ?1 3n 2 1? 1 ? 3 ? 5 ? ?? 2n ? 1 )] ? Sn ? 3 [ 31 ?? 5n ?? ? ( 2 n ? 1 ) ? ( (1 n? ? ) . 3 32 33 2 3n 3n

课后作业
1.习题2.5B组 2.《启迪》 2.5.2


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com