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第一部分 微专题训练——回归教材第4练 立体几何

第4练

立体几何

【方法引领】
第 4练
【方法引领】

立体几何

【回归训练】
【回归训练】 一、 填空题 1. 已知直线l⊥平面α ,给出以下几个判断: ①若m⊥l,则m∥α ; ③若m∥α ,则m⊥l; 其中正确的是 ②若m⊥α ,则m∥l; ④若m∥l,则m⊥α . .(填序号)

2. 在空间中,给出下列四个命题: ①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直; ②若平面外两点到平面的距离相等,则过两点的直线必平行于该平面; ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ④若两个平面相互垂直,则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的 无数条直线. 其中正确的命题是 .(填序号)

3. 若m,n为两条不同的直线,α ,β 为两个不重合的平面,则下列命题中正确的 是 .(填序号)

①若m,n都平行于平面α ,则m,n一定不是相交直线; ②若m,n都垂直于平面α ,则m,n一定是平行直线; ③已知α ,β 互相平行,m,n互相平行,若m∥α ,则n∥β ; ④若m,n在平面α 内的射影互相平行,则m,n互相平行.

4. 设l,m表示直线,m是平面α 内的任意一条直线.则“l⊥m”是“l⊥α ”成立的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)

5. 如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上 的射影H必在直线 上.

(第5题)

6. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 3 ,D为BC中点,则三棱锥 A-B1DC1的体积为 .

7. 已知平面α ,β ,γ ,直线l,m满足α ⊥γ ,γ ∩α =m,γ ∩β =l,l⊥m,那 么①m⊥β ;②l⊥α ;③β ⊥γ ;④α ⊥β 中,可由上述条件可以推出的结论 有 .(填序号)

8. 如图,若Ω 是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何 体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列 结论中不正确的 .(填序号)

(第8题) 3 EH∥FG; ③Ω 是棱柱; ②四边形EFGH是矩形; ④Ω 是棱台.

二、 解答题 9. 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于4,M,E分别是AB,AB1的中点,点F在 BC上且满足BF∶FC=1∶3. (1) 求证:BB1∥平面EFM; (2) 求四面体M-BEF的体积.

(第9题)

1 10. 如图,在四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC= 2 AD,E,F分别为
线段AD,PC的中点.

(1) 求证:AP∥平面BEF; (2) 求证:BE⊥平面PAC.

(第10题)

11. 如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥BC,E,F分别是A1B,AC1的中点. (1) 求证:EF∥平面ABC; (2) 求证:平面AEF⊥平面AA1B1B; (3) 若A1A=2AB=2BC=2a,求三棱锥F-ABC的体积.

(第11题)

【回归训练答案】
第 4练
1. ②③④ 对其他三个直接判断即可.

立体几何

【解析】①中m可能在α 内,根据线面垂直的定义和线面垂直的性质

2. ①④ 【解析】易知①④正确;对于②,过两点的直线可能与平面相交;对于 ③,垂直于同一条直线的两条直线可能平行,也可能相交或异面.

3. ② 【解析】①为假命题,②为真命题;在③中,n可以平行于β ,也可以在 β 内,故是假命题;在④中,m,n也可能异面,故为假命题.

4. 充要

【解析】由线面垂直的定义知,直线垂直于平面内的任意一条直线,则

直线与平面垂直,说明是充分条件.反之,直线垂直于平面,则直线垂直于平面内 任意一条直线,说明是必要条件,则“l⊥m”是“l⊥α ”成立的充要条件.

5. AB 【解析】由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1, 又AC?平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC. 所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.

6. 1 【解析】结合图形,三棱锥A-B1DC1的高为AD= 所以体积

3 ,底面面积 S? DB C = 3 ,
1 1

VAB1DC1

1 = 3×

3 × 3 =1.

7. ②④ 【解析】由条件知α ⊥γ ,γ ∩α =m,l?γ ,l⊥m,则根据面面垂直的 性质定理有l⊥α ,即②成立;又l?β ,根据面面垂直的判定定理有α ⊥β ,即④ 成立.

8. ④ 【解析】因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以EH∥B1C1. 又EH? 平面BCC1B1,所以EH∥平面BCC1B1. 又EH?平面EFGH,平面EFGH∩平面BCC1B1=FG, 所以EH∥FG,故EH∥FG∥B1C1,所以①③正确; 因为A1D1⊥平面ABB1A1,EH∥A1D1,所以EH⊥平面ABB1A1. 又因为EF?平面ABB1A1,故EH⊥EF,所以②也正确,故选④.

9. (1) 因为M,E分别是AB,AB1的中点,所以BB1∥ME. 又BB1? 平面EFM,ME?平面EFM,所以BB1∥平面EFM. (2) 因为B1B⊥底面ABC,且BB1∥ME,所以ME⊥平面MBF.

3 由已知得BF=1,BM=2,∠MBF=60°,所以S△BMF= 2 .

又EM=2,所以

VMBEF VEMBF
=

3 1 = 3 S△BMF·EM= 3 .

1 10. (1) 如图,设AC∩BE=O,连接OF,EC.因为E是AD的中点,AB=BC= 2 AD,

AD∥BC, 所以AE∥BC,AE=AB=BC, 所以四边形AECB是菱形, 所以O为AC的中点. 又在△PAC中,F为PC的中点,所以AP∥OF. 又OF?平面BEF,AP? 平面BEF,所以AP∥平面BEF.

(第10题) (2) 由题意知,ED∥BC,ED=BC, 所以四边形BCDE是平行四边形,所以BE∥CD. 又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE. 因为四边形ABCE是菱形, 所以BE⊥AC. 又AP∩AC=A,AP,AC?平面PAC,所以BE⊥平面PAC.

11. (1) 连接A1C,因为在直三棱柱A1B1C1-ABC中,四边形AA1C1C是矩形,所以点F在 A1C上,且为A1C的中点. 在△A1BC中,因为E,F分别是A1B,A1C的中点,所以EF∥BC. 又因为BC?平面ABC,EF? 平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2) 因为在直三棱柱A1B1C1-ABC中,B1B⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以B1B⊥BC. 因为EF∥BC,AB⊥BC, 所以AB⊥EF,B1B⊥EF. 因为B1B∩AB=B, 所以EF⊥平面ABB1A1. 又因为EF?平面AEF, 所以平面AEF⊥平面AA1B1B.

a 1 1 1 1 1 V (3) FABC = 3 ×S△ABC× 2 ×AA1= 3 × 2 a2× 2 ×2a= 6 .

3


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