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《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课件+Word版训练专题一 函数与导数、不等式第3讲


一、填空题 1 1.(2016· 苏州调研)函数 f(x)=2x2-ln x 的单调递减区间为________. 1 解析 由题意知, 函数的定义域为(0, +∞), 又由 f′(x)=x- x≤0, 解得 0<x≤1, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(0,1]. 答案 (0,1] 2.已知函数 f(x)=4ln x+ax2-6x+b(a, b 为常数), 且 x=2 为 f(x)的一个极值点, 则 a 的值为________. 解析 由题意知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 4 ∵f′(x)= x+2ax-6,∴f′(2)=2+4a-6=0,即 a=1. 答案 1 1 3.已知函数 f(x)=2mx2+ln x-2x 在定义域内是增函数, 则实数 m 的取值范围是 ____________. 1 解析 f′(x)=mx+ x -2≥0 对一切 x>0 恒成立, ?1?2 2 ∴m≥-?x? +x. ? ? 1 ?1?2 2 令 g(x)=-? x? + x,则当 x=1 时,函数 g(x)取最大值 1.故 m≥1. ? ? 答案 [1,+∞) a 4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a 在 x=1 处取得极大值 10,则b的值为 ________. 解析 由题意知 f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=0,f(1)=10,即 ?3+2a+b=0, ?a=-2, ? ? 解得 或 2 ?1+a+b-a -7a=10, ?b=1 ?a=-6, ?a=-6, a 2 ? 经检验? 满足题意,故b=-3. ?b=9, ?b=9 2 答案 -3 5.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1, +∞)上单调递增, 则 k 的取值范围是________.

1 解析 由于 f′(x)=k- x,f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)上单调递增?f′(x)=k 1 1 1 -x≥0 在(1,+∞)上恒成立,由于 k≥ x,而 0< x<1,所以 k≥1.即 k 的取值 范围为[1,+∞). 答案 [1,+∞) 6.(2016· 泰州期末)函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围 是________. 解析 f′(x)=3x2-3a=3(x2-a).当 a≤0 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,1)内单调递增,无最小值. 当 a>0 时,f′(x)=3(x- a)(x+ a). 当 x∈(-∞,- a)和( a,+∞)时,f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f(x)单调递减, 所以当 a<1,即 0<a<1 时,f(x)在(0,1)内有最小值. 答案 (0,1) 1 7.已知函数 f(x)=3x3+ax2+3x+1 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 f′(x)=x2+2ax+3.

由题意知方程 f′(x)=0 有两个不相等的实数根, 所以 Δ=4a2-12>0, 解得 a> 3或 a<- 3. 答案 (-∞,- 3)∪( 3,+∞)
3 ?x -3x,x≤a, 8.(2016· 北京卷)设函数 f(x)=? ?-2x,x>a.

(1)若 a=0,则 f(x)的最大值为________; (2)若 f(x)无最大值,则实数 a 的取值范围是________. 解析
3 ?x -3x,x≤0, (1)当 a=0 时,f(x)=? ?-2x,x>0.

若 x≤0,f′(x)=3x2-3=3(x2-1). 由 f′(x)>0 得 x<-1,由 f′(x)<0 得-1<x≤0.

∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0]上单调递减, ∴f(x)最大值为 f(-1)=2. 若 x>0,f(x)=-2x 单调递减,所以 f(x)<f(0)=0. 综上,f(x)最大值为 2. (2)函数 y=x3-3x 与 y=-2x 的图象如图. 由(1)知,当 a≥-1 时,f(x)取得最大值 2. 当 a<-1 时,y=-2x 在 x>a 时无最大值.且-2a>2. 所以 a<-1. 答案 (1)2 (2)(-∞,-1)

二、解答题 9.(2016· 北京卷)设函数 f(x)=xea-x+bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程 为 y=(e-1)x+4. (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 解 (1)f(x)的定义域为 R.

∵f′(x)=ea-x-xea-x+b=(1-x)ea-x+b.
a-2 ?f(2)=2e+2, ?2e +2b=2e+2, 依题设,? 即? a-2 ?f′(2)=e-1, ?-e +b=e-1.

解得 a=2,b=e. (2)由(1)知 f(x)=xe2-x+ex, 由 f′(x)=e2-x(1-x+ex-1)及 e2-x>0 知, f′(x)与 1-x+ex-1 同号. 令 g(x)=1-x+ex-1,则 g′(x)=-1+ex-1. 所以,当 x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 故 g(1)=1 是 g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值, 从而 g(x)>0,x∈(-∞,+∞), 综上可知,f′(x)>0,x∈(-∞,+∞). 故 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).

10.(2016· 全国Ⅱ卷)(1)讨论函数 f(x)= 2)ex+x+2>0;

x-2 x e 的单调性,并证明当 x>0 时,(x- x+2

(2)证明:当 a∈[0,1)时,函数 g(x)= 为 h(a),求函数 h(a)的值域. (1)解

ex-ax-a (x>0)有最小值.设 g(x)的最小值 x2

f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).

(x-1)(x+2)ex-(x-2)ex x2ex f′(x)= = ≥0, (x+2)2 (x+2)2 且仅当 x=0 时,f′(x)=0, 所以 f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)单调递增. 因此当 x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=-1. 所以(x-2)ex>-(x+2),即(x-2)ex+x+2>0. (2)证明 (x-2)ex+a(x+2) x+2 g′(x)= = x3 (f(x)+a). x3

由(1)知 f(x)+a 单调递增,对任意 a∈[0,1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0. 因此,存在唯一 xa∈( 0,2],使得 f(xa)+a=0,即 g′(xa)=0. 当 0<x<xa 时,f(x)+a<0,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 x>xa 时,f(x)+a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增. exa-a(xa+1) 因此 g(x)在 x=xa 处取得最小值,最小值为 g(xa)= = x2 a exa+f(xa)(xa+1) exa = . x2 xa+2 a 于是 h(a)=
x (x+1)ex exa ex ? e ? ,由?x+2?′= >0 , 单调递增. xa+2 (x+2)2 x+2 ? ?

所以,由 xa∈(0,2], 1 e0 exa e2 e2 得2= <h(a)= ≤ = . 0+2 xa+2 2+2 4
2 ex ?1 e ? , ? 因为 单调递增, 对任意 λ∈ 2 4 ?, 存在唯一的 xa∈(0, 2], a=-f(xa)∈[0, ? ? x+2 2 ?1 e ? 1),使得 h(a)=λ.所以 h(a)的值域是?2, 4 ?. ? ? 2 ?1 e ? 综上,当 a∈[0,1)时,g(x)有最小值 h(a),h(a)的值域是?2, 4 ?. ? ?

ex ?2 ? 11.设函数 f(x)=x2-k?x+ln x?(k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数). ? ? (1)当 k≤0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 解 (1)函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞). x2ex-2xex ? 2 1? -k?-x2+x? x4 ? ?

f′(x)=

xex-2ex k(x-2) (x-2)(ex-kx) = x3 - = . x2 x3 由 k≤0 可得 ex-kx>0, 所以当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数 y=f(x)单调递减, x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数 y=f(x)单调递增. 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (2)由(1)知,k≤0 时,函数 f(x)在(0,2)内单调递减, 故 f(x)在(0,2)内不存在极值点; 当 k>0 时,设函数 g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞). 因为 g′(x)=ex-k=ex-eln k, 当 0<k≤1 时, 当 x∈(0,2)时,g′(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增. 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点; 当 k>1 时,得 x∈(0,ln k)时,g′(x)<0,函数 y=g(x)单调递减. x∈(ln k,+∞)时,g′(x)>0,函数 y=g(x)单调递增. 所以函数 y=g(x)的最小值为 g(ln k)=k(1-ln k).

?g(ln k)<0, e 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当? 解得 e<k< 2 , g(2)>0, ?0<ln k<2,
g(0)>0,
2 2 ? e? 综上所述,函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为?e, 2 ?. ? ?


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