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高三一轮总复习理科数学新课标课时作业66


课后限时自测
A组 一、选择题 1.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为? 1 A.6 1 B.3 2 C.3 4 D.5 ) 基础训练

【解析】 设 AC=x,CB=12-x,所以 x?12-x)<32,解得 x<4 或 x>8.所以 4+4 2 P= 12 =3. 【答案】 C

S 2.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于4的概率 是? 1 A.4 ) 1 B.2 3 C.4 2 D.3

【解析】

1 1 如图,要使 S△PBC>4S△ABC,只需 PB>4AB.

3 4AB 3 故所求概率为 P= AB =4. 【答案】 C

3.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“sin x+ 3cos x≤1”发生的概率 为? ) 1 A.4 【解析】 1 B.3 1 C.2 2 D.3

? π? 1 由 sin x+ 3cos x≤1,得 sin?x+3?≤2, ? ?

π 由于 0≤x≤π,则2≤x≤π, 1 由几何概型概率公式得,所求概率 P= π =2. 【答案】 C π π-2

4.已知正三棱锥 S—ABC 的底面边长为 4, 高为 3, 在正三棱锥内任取一点 P, 1 使得 VP—ABC<2VS-ABC 的概率是? A. 7 8 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 4 )

【解析】

3 当点 P 到底面 ABC 的距离小于2时,

1 VP—ABC<2VS-ABC. ?1? 7 由几何概型知,所求概率为 P=1-?2?3=8. ? ? 【答案】 A

5.若利用计算机在区间?0,1)上产生两个不等的随机数 a 和 b, 则方程 x=2 2a 2b - x 有不等实根的概率为? 1 A.4 1 B.2 ) 3 C.4 2 D.5

【解析】

据题意基本事件空间 Ω={?a,b)|0<a<1,0<b<1}.

2b 若方程 x=2 2a- x ,即 x2-2 2ax+2b=0?x≠0)有两个不等实根,则有 8a -8b>0,b≠0?a>b. 记事件 A 表示{?a,b?|{0<a<1, 合表示点?a,b)对应的平面区域. 1 由几何概型,所求事件的概率 P?A)=2. 【答案】 B <b<1, a>b

},如图分别作出两集

二、填空题 ?1 ? ?1 ? 6.已知函数 f?x)=log2x,x∈?2,2?,在区间?2,2?上任取一点 x0,使 f?x0)≥0 ? ? ? ? 的概率为________. 【解析】 由 f?x0)≥0,得 log2x0≥0,∴x0≥1,

因此使 f?x0)≥0 的区域为[1,2], 故所求概率为 P= 2-1 2 1=3. 2-2

【答案】

2 3

图 10-6-4 7.已知直线 AB: x+y-6=0 与抛物线 y=x2 及 x 轴正半轴围成的阴影部分如 图 10-6-4 所示,若从 Rt△AOB 区域内任取一点 M?x,y),则点 M 取自阴影部 分的概率为________. 【解析】 从 Rt△AOB 区域内任意取一点,满足几何概型.

2 由{y=x , x+y-6=0. 求得点 C?2,4).

8 32 ∴S 阴影=?2x2dx+?6?6-x)dx=3+8= 3 . ?0 ?2 1 1 又 S△AOB=2|OA|· |OB|=2×62=18. 故所求的概率 P= 【答案】 16 27 S阴影 16 = . S△AOB 27

8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体内随机取点 M,使四 1 棱锥 M-ABCD 的体积小于6的概率是________.

【解析】

如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1.设 M-ABCD 的高为 h,

1 1 则3×SABCD×h<6, 1 又 SABCD=1,∴h<2,即点 M 在正方体的下半部分, 1 V 2 正方体 1 ∴所求概率 P= = . V正方体 2 【答案】 三、解答题 1 2

图 10-6-5 9.如图 10-6-5 所示,在单位圆 O 的某一直径上随机地取一点 Q,求过点 Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过 1 的概率. 【解】 3 弦长不超过 1,即|OQ|≥ 2 .

因 Q 点在直径 AB 上是随机的,记事件 A={弦长超过 1}. 3 2 ×2 3 由几何概型的概率公式得 P?A)= = . 2 2 3 ∴弦长不超过 1 的概率为 1-P?A)=1- 2 . 10.在区域{x+y- 2≤0, x-y+ 2≥0, y≥0 内任取一点 P, 求点 P 落 在单位圆 x2+y2=1 内的概率.

【解】

如图所示,不等式 2≤0, x-y+ 2≥0, y≥0 表示的平面区域是△ ABC 的内部

{x+y-
及其边界.

又圆 x2+y2=1 的圆心?0,0)到 x+y- 2=0 与 x-y+ 2=0 的距离均为 1, ∴直线 x+y- 2=0 与 x-y+ 2=0 均与单位圆 x2+y2=1 相切, 记“点 P 落在 x2+y2=1 内”为事件 A, 1 1 ∵事件 A 发生时,所含区域面积 S=2π,且 S△ABC=2×2 2× 2=2, 1 2π π 故所求事件的概率 P?A)= 2 =4. B组 能力提升 1.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f?x)=x2+2ax -b2+π 有零点的概率为? 7 A.8 3 B.4 ) 1 C.2 1 D.4

【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系,则试验的全部结果构成的区域 为矩形 ABCD 及其内部. 要使函数 f?x)=x2+2ax-b2+π 有零点,则必须有 Δ=4a2+4b2-4π≥0,即 S阴影 3π2 3 a +b ≥π,其表示的区域为图中阴影部分.故所求概率 P= = 2= . S矩形 4π 4
2 2

【答案】

B

2.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,

1 1 若此点到圆心的距离大于2,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于4,则去 打篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为________. 【解析】 记“小波周末去看电影”为事件 A,“小波周末打篮球”为事件 B,依题意,事件 A,B 互斥,且 A+B 表示“小波周末不在家看书”. 又全部试验区域的面积为 π·12=π,事件 A,B 发生所在区域面积分别为 S1 3 π ?1? ?1? =π-?2?2π=4π,S2=?4?2π=16, ? ? ? ? 3 π 4π 3 16 1 ∴P?A)= π =4,P?B)= π =16, 3 1 13 则 P?A+B)=P?A)+P?B)=4+16=16, 13 因此小波周末不在家看书的概率为16. 【答案】 13 16

3.已知向量 a=?2,1),b=?x,y). ?1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; ?2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.

【解】

?1)设“a∥b”为事件 A,由 a∥b, 得 x=2y.

基本事件空间为 Ω={?-1,-1),?-1,0),?-1,1),?0,-1),?0,0),?0,1), ?1,-1),?1,0),?1,1),?2,-1),?2,0),?2,1)},共包含 12 个基本事件; 其中 A={?0,0),?2,1)},包含 2 个基本事件. 2 1 1 则 P?A)=12=6,即向量 a∥b 的概率为6. ?2)因为 x∈[-1,2],y∈[-1,1],则满足条件的所有基本事件所构成的区域 如图为矩形 ABCD,面积为 S1=3×2=6. 设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,b 的夹角是钝角, 可得 a· b<0,即 2x+y<0,且 x≠2y.

1 事件 B 包含的基本事件所构成的区域为图中四边形 AEFD ,面积 S2 = 2 ?1 3? ×?2+2?×2=2, ? ? S2 2 1 则 P?B)=S =6=3.
1

1 即向量 a,b 的夹角是钝角的概率是3.


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