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2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第十五讲 导数的应用


第十五讲

导数的应用

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1 1.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x3+81x- 3 234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( A.13 万件 C.9 万件 B.11 万件 D.7 万件 )

1 解析:因为 y′=-x2+81,所以当 x>9 时,y′<0;当 x∈(0,9)时,y′>0,所以函数 y=- x3+81x 3 -234 在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以 x=9 是函数的极大值点,又因为函数在(0,+∞) 上只有一个极大值点,所以函数在 x=9 处取得最大值. 答案:C 2.(2011· 荆州质检题)函数 f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a 的取值为( A.[2,+∞) C.{4} B.[4,+∞) D.[2,4] )

解析:f′(x)=3ax2-3,当 a≤0 时,f(x)min=f(1)=a-2≥0,a≥2,不合题意; 当 0<a≤1 时,f′(x)=3ax2-3=3a?x+

?

1 ?? 1 x- ?,f(x)在[-1,1]上为减函数,f(x)min=f(1)=a-2≥0, a? ? a? 1? 2 =- +1≥0,解得 a=4.综上所述,a=4,故 ? a? a

a≥2,不合题意;当 a>1 时,f(-1)=-a+4≥0 且 f? 选 C. 答案:C

3.设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为 f(x)、g(x)的导函数,且满足 f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a) 解析:令 y=f(x)· g(x), 则 y′=f′(x)· g(x)+f(x)· g′(x), 由于 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0, )

所以 y 在 R 上单调递减, 又 x<b,故 f(x)g(x)>f(b)g(b). 答案:C π 1 4.函数 f(x)= ex(sinx+cosx)在区间?0,2?上的值域为( ? ? 2 1 1 π A.?2,2e2? ? ? π C.?1,e2? ? ? 1 1 π B.?2,2e2? ? ? π D.?1,e2? ? ? )

1 1 解析:f′(x)= ex(sinx+cosx)+ ex(cosx-sinx)=excosx, 2 2 π π 当 0≤x≤ 时,f′(x)≥0,且只有在 x= 时 f′(x)=0, 2 2 π ∴f(x)是?0,2?上的增函数, ? ? π 1 π ∴f(x)的最大值为 f?2?= e , ? ? 22 1 f(x)的最小值为 f(0)= . 2 π 1 1 π ∴f(x)在?0,2?上的值域为?2,2e2?.故应选 A. ? ? ? ? 答案:A 5.已知函数 f(x)=x2+2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0 或 a≤-4 D.a>0 或 a<-4 a 解析:∵f′(x)=2x+2+ ,f(x)在(0,1)上单调, x ∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(0,1)上恒成立, 即 2x2+2x+a≥0 或 2x2+2x+a≤0 在(0,1)上恒成立, 所以 a≥-(2x2+2x)或 a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立. 记 g(x)=-(2x2+2x),0<x<1,可知-4<g(x)<0, ∴a≥0 或 a≤-4,故选 C. 答案:C 6.(2010· 江西)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出 水面部分的图形面积为 S(t)(S(0)=0),则导函数 y=S′(t)的图象大致为( ) )

解析:由导数的定义知,S′(t0)表示面积函数 S(t0)在 t0 时刻的瞬时变化率.

如图,正五角星薄片中首先露出水面的区域 I,此时其面积 S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故 其瞬时变化率 S′(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的 S(t)应突然增大,然后增大速度减慢,但 仍为增函数,故其瞬时变化率 S′(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但 S′(t)>0(故可排除 B);当五角星薄 片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值 S′(t)最终应等于 0,符合上述特征的只有选项 A. 答案:A 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 9 7.函数 f(x)=x+ 的单调区间为________. x
2 9 x -9 解析:f′(x)=1- 2= 2 , x x

令 f′(x)<0, 解得-3<x<0 或 0<x<3,

故单调减区间为(-3,0)和(0,3). 答案:(-3,0),(0,3) 8.若函数 f(x)=x3-3x+a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. ∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减,
? ?f(-1)>0 ∴? ,∴-2<a<2. ? ?f(1)<0

答案:-2<a<2 9.函数 f(x)=x3-px2+2m2-m+1 在区间(-2,0)内单调递减,且在区间(-∞,-2)及(0,+∞)内单 调递增,则实数 p 的取值集合是________. 解析:由已知条件可知,f(x)在 x=0 和 x=-2 处分别取得极小值和极大值.∵f′(x)=3x2-2px=x(3x -2p), ∴3×(-2)-2p=0,∴p=-3.∴p 的取值集合是{-3}. 答案:{-3} π π 10.函数 y=sin2x-x,x∈?-2,2?的最大值是________,最小值是________. ? ? π π 答案: - 2 2 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.设函数 f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同实根,求实数 a 的取值范围; (3)已知当 x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数 k 的取值范围. 解:(1)f′(x)=3x2-6,令 f′(x)=0,解得 x1=- 2,x2= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0;当- 2<x< 2时,f′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞);单调减区间为(- 2, 2). 当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2; 当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2. (2)由(1)的分析知 y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示,当 5-4 2<a<5+4 2时,直线 y=a 与 y =f(x)的图象有三个不同交点,即方程 f(x)=a 有三个不同的解.

(3)f(x)≥k(x-1),即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1). 因为 x>1,所以 k≤x2+x-5 在(1,+∞)上恒成立. 令 g(x)=x2+x-5,此函数在(1,+∞)上是增函数. 所以 g(x)>g(1)=-3. 所以 k 的取值范围是 k≤-3. 评析:(1)利用导数求单调区间和极值.(2)由(1)的结论,问题转化为 y=f(x)和 y=a 的图象有 3 个不同 的交点,利用数形结合的方法求解.(3)将问题转化为不等式恒成立问题,利用分离参数法求解. 本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转化,对理性思 维能力要求较高. 12.已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数 a、b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值 3,最小值- 29?若存在,求出 a、b 的值;若不存在,请说明理由. 解:显然 a≠0. f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=4(舍去). (1)当 a>0 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) [-1,0) + 0 0 (0,2] -

f(x)

?

最大值

?

所以当 x=0 时,f(x)取得最大值,所以 f(0)=b=3. 又 f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2). 所以当 x=2 时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,a=2. (2)当 a<0 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x [-1,0) 0 (0,2]

f′(x )



0 最小



f(x)

?



?

所以当 x=0 时,f(x)取得最小值,所以 b=-29. 又 f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1). 所以当 x=2 时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,a=-2. 综上所述 a=2,b=3 或 a=-2,b=-29. 评析:本题综合运用了求极值、最值的方法确定系数 a、b,注意对 a 的讨论和最大值、最小值的确定. 13.已知函数 f(x)=x2e
-ax

(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.

分析:通过求导先判断单调性再求最值.在求最值时,对 a 的情况要进行讨论. 解:f(x)=x2e
-ax

(a>0), +x2· (-a)e
-ax -ax

∴f′(x)=2xe

-ax

=e

-ax

(-ax2+2x).

令 f′(x)>0,即 e

2 (-ax2+2x)>0,得 0<x< . a

2 ∴f(x)在(-∞,0),?a,+∞?上是减函数, ? ? 2 在?0,a?上是增函数. ? ? 2 ①当 0< <1,即 a>2 时,f(x)在(1,2)上是减函数, a ∴[f(x)]max=f(1)=e a. 2 2 2 ②当 1≤ ≤2,即 1≤a≤2 时,f(x)在?1,a?上是增函数,在?a,2?上是减函数, ? ? ? ? a 2 - - ∴[f(x)]max=f?a?=4a 2e 2. ? ? 2 ③当 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数, a ∴[f(x)]max=f(2)=4e
-2a -

.
-2a

综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 4a e , 当 a>2 时,f(x)的最大值为 e a.
- -2 -2



评析:求函数在闭区间上的最值,首先应判断函数的单调性,一般情况下是先利用导数求出单调区间,分 清单调区间与已知区间的关系,有时也需要分类讨论,分类时要不重不漏.


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