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必修五 第三章 不等式

必修五
一、选择题 1、已知实数 x, y 满足

第三章

不等式

,若 x>0,则 x 的最小值为( ) A. 2 B.4 C.6 D.8 2、若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( ) 1 A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 C.a1b2+a2b1 D.2 3、 已知 f(x)=3x+1,a,b (0,+ ∞), 若|x-1|<b,则 |f(x)-4|<a, 则 a,b 之间的关系为 ( A.3b≤a B. 3a≤b C.3b>a D.3a≥b 4、若 a>b>c 且 a+b+c=0,则下列不等式中正确的是( ) A.ab>ac B.ac>bc C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2



5、已知不等式

的解集为(-∞,-1 (0,3) ,则实数 a 的值为( A.-3 B. 3 C. –1 D.1 6、已知 a、b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( ) 1 1 b a A.a2<b2 B.a2b<ab2 C.ab2<a2b D.a<b 7、已知 a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( ) a a a a a a a a A.a> > 2 B. 2> >a C. >a> 2 D. > 2>a b b b b b b b b



8、不等式

的解集为( ) A.(-∞,-1) (1,+ ∞) B.(- ∞,-2) (2,+ ∞) 9、若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ) 1 1 a b A. < B.a2>b2 C. 2 > 2 a b c +1 c +1

C. (-1,1) D. (-2,2)

D.a|c|>b|c| ) D.b+a>0

10、设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是(
A.b-a>0 B.a +b <0
3 3

C.a -b <0

2

2

11、已知三个不等式: (1)ab>0 (2)

(3)bc>ad 以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成正确命题的个数为( A.1 B. 2 C. 3 D. 4 12、设 a+b<0,且 b>0,则( ) 2 2 2 A.b >a >ab B.a <b2<-ab C. a2<-ab<b2 D. a2>-ab>b2 则下列结论不正确的是( ) D. |a|+|b|>|a+b| )



13、若

A.a2<b2 B. ab<b2 C. 14、若 x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则( A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c

D.b<c<a

15、已知
2 2

则下列不等式一定成立的是(



A. a >b B. lga>lgb C. D. 2 2 2 16、已知 x1、x2 是方程 x -(k-2)x+k +3k+5=0(k∈R)的两个实数根,则 x2 1+x2的最大值为( ) 50 A.18 B.19 C. 9 D.不存在 17、设集合 A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合 A∩Z 中元素的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2 18、一元二次方程 ax +bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a<0 时,不等式 ax2+bx+c≥0 的 解集为( ) A.{x|x<-1 或 x>2} B.{x|x≤-1 或 x≥2} C.{x|-1<x<2} D.{x|-1≤x≤2} 2 19、不等式-6x -x+2≤0 的解集是( ) ? ? ? ? 2 1? 2 1? 1? 3? A.?x|-3≤x≤2? B.?x|x≤-3或x≥2? C.?x|x≥2? D.?x|x≤-2? ? ? ? ? ? ? ? ? 20、已知 a1>a2>a3>0,则使得(1-aix)2<1 (i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围是( ) 1 2 1 2 A.?0,a ? B.?0,a ? C.?0,a ? D.?0,a ? ? ? ? ? 1? 1? 3? 3?

?x -4x+6,x≥0, 21、设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解是( ?x+6, x<0,

2

)

A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 22、若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-2,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2) 23、 在 R 上定义运算⊙: a⊙b=ab+2a+b, 则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为( ) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 2 24、 对任意 a∈[-1,1], 函数 f(x)=x +(a-4)x+4-2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范围是( ) A.1<x<3 B.x<1 或 x>3 C.1<x<2 D.x<1 或 x>2 x2-2x-2 25、不等式 2 <2 的解集为( ) x +x+1 A.{x|x≠-2} B.R C.? D.{x|x<-2 或 x>2} 26、不等式(x-1) x+2≥0 的解集是( ) A.{x|x>1} B.{x|x≥1} C.{x|x≥1 或 x=-2} D.{x|x≤-2 或 x=1} x +5 27、不等式 ≥2 的解是( ) ?x-1?2 1 1 1 1 A.[-3,2] B.[-2,3] C.[2,1)∪(1,3] D.[-2,1)∪(1,3] x -2 28、不等式 >0 的解集是( ) x +3 A.(-3,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-3)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(3,+∞) 29、函数 y=lg(x2-4)+ x2+6x的定义域是( ) A.(-∞,-2)∪[0,+∞) B.(-∞,-6]∪(2,+∞) C.(-∞,-2]∪[0,+∞) D.(-∞,-6)∪[2,+∞)

2

30、 给出平面区域如图所示, 若使目标函数 z ? ax ? y (a ? 0) 取得最大值的最优解有无穷多个,
则 a 的值为( A. ) B.

1 4
y

3 5

C. 4

D.

5 3

? 22 ? C ?1, ? ? 5 ?
A(5, 2) B(11) ,

O

x

31、满足 | x | ? | y |≤ 2 的整点(横、纵坐标为整数)的个数是( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 ? x ? y ? 5 ≥ 0, ? 32、已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ? x ≤ 3. ?



A. 5 B. ?6 C. 10 D. ?10 33 、 下 列 二 元 一 次 不 等 式 组 可 用 来 表 示 图 中 阴 影 部 分 表 示 的 平 面 区 域 的 是 (



y

2

?2

?1

O

?1

1

1

2

3

x
? x ? y ? 1≥ 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? D. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2≥ 0

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ≥ 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ≤ 0 ? ? ? A. ? B. ? C. ? ? x ? y ? 1≥ 0 ? x ? y ? 1≥ 0 ? x ? y ? 1≤ 0 ? ? ? ?x ? 2 y ? 2 ≤ 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? x ? 4 y ≤ ?3, ? 34、已知目标函数 z ? 2 x ? y 中变量 x, y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25, 则( ? x ≥ 1. ?
A. zmax ? 12,zmin ? 3 C. zmin ? 3 ,无最大值 B. zmax ? 12 ,无最小值 D. z 无最大值,也无最小值



3

35、不等式 x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的平面区域在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 的(

) A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 36 、 能 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 二 元 一 次 不 等 式 组 是 (



y

2x ? y ? 2 ? 0
2

?1

1

y ?1
1

O
?1

x

?0 ≤ y ≤ 1 ? y ≤1 ?0 ≤ y ≤1 ? y ≤1 ? ? A. ? B. ? C. ? 2 x ? y ? 2 ≤ 0 D. ? x ≤ 0 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0 ?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ?x ≤ 0 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0 ? ? 37、某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项
2 目乙投资的 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 3 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这 两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元 38、已知点 (31) ) , 和 (?4, 6) 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( A. a ? ?7 或 a ? 24 B. a ? 7 或 a ? 24 C. ?7 ? a ? 24 D. ?24 ? a ? 7

? x ≤ 2, ? 39、若 ? y ≤ 2, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是( ? x ? y ≥ 2, ?
A. [2, 6] B. [2, 5] C. [3, 6]



D. [3, 5]

40、在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数 z=x+ay 取得最
小值的最优解有无数个,则 a 的一个可能值为( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1

41、下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是(
y



?2

?1 O

1

x

4

? x ? y ? 1≥ 0 ? x ? y ? 1≤ 0 ? x ? y ? 1≥ 0 ? x ? y ? 1≤ 0 B. ? C. ? D.? ?x ? 2 y ? 2 ≥ 0 ?x ? 2 y ? 2 ≤ 0 ?x ? 2 y ? 2 ≤ 0 ?x ? 2 y ? 2 ≥ 0 42、某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品,甲车间加工一箱
A. ?

原料需耗费工时 10 小时,可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车间加工 一箱原料耗费工时 6 小时,可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车 间每天共能完成至多 70 箱原料的加工, 每天甲、 乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱

?1 ? 43、 已知点 P 则在 3x ? 2 y ? 1≥ 0 表示的平面区域内的点是 ( ) 0) ,P2 (11) ,,P3 ? , 0? , 1 (0, ?3 ? A. P B. P C. P D. P 2 3 2,P 3 2 1, P 1, P 44、 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界), 若使目标函数 z=ax+y (a>0)
取得最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( 1 )A. 4 3 B. 5 C.4 5 D. 3

45、某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1、b1 千克,生产乙产品每千克需
用原料 A 和原料 B 分别为 a2、b2 千克,甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1、d2 元.月初 一次性购进本月用的原料 A、B 各 c1、c2 千克,要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克 才能使月利润总额达到最大.在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、y 千克,月利润总额为 z 元,那么,用于求使总利润 z=d1x+d2y 最大的数学模型中,约束条 件为( ) a x+a y≥c , ? ?b x+b y≥c , A.? x≥0, ? ?y≥0
1 1 2 2 1 2

a x+b y≤c , ? ?a x+b y≤c , B.? x≥0, ? ?y≥0
1 2 1 2 1 2

a x+a y≤c , ? ?b x+b y≤c , C.? x≥0, ? ?y≥0
1 2 1 1 2 2

a x+a y=c , ? ?b x+b y=c , D.? x≥0, ? ?y≥0
1 1 2 2 1 2

46、在 △ ABC 中,三顶点 A(2, 4) , B(?1, 2) , C (1, 0) ,点 P( x,y ) 在△ ABC 内部及边界运
动,则 z ? x ? y 最大值为( A. 1 B. ?3 ) D. 3 ) C. ?1

?( x ? y ? 5)( x ? y) ≥ 0 47、不等式组 ? 表示的平面区域是一个( ?0 ≤ x ≤ 3
A.三角形 B.直角梯形 C.梯形 48、不在 3x ? 2 y ? 6 表示的平面区域内的点是( A. (0, B. (11) C. (0, 0) , 2)

D.矩形 ) D. (2, 0) )

49、若 a ? R ,下列不等式恒成立的是 (

5

1 C. a 2 ? 9 ? 6a ?1 a ?1 50、若 0 ? a ? b 且 a ? b ? 1 ,则下列四个数中最大的是 ( 1 A. B. a 2 ? b2 C.2ab 2 1 51、设 x>0,则 y ? 3 ? 3x ? 的最大值为 ( ) x A.3 B. 3 ? 3 2 C. 3 ? 2 3

A. a 2 ? 1 ? a

B.

2

D. lg(a 2 ? 1) ? lg | 2a | ) D.a

D.-1

52、设 x, y ? R, 且x ? y ? 5, 则3x ? 3y 的最小值是(
A. 10 B. 6 3 C. 4 6

) D. 18 3

?4x+3y≤12, 53、不等式组?x-y>-1, ? y≥ 0

表示的平面区域内整点的个数是(

)

A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 54、如图所示,目标函数 z=kx-y 的可行域为四边形 OABC,点 B(3,2)是目标函数的最优 解,则 k 的取值范围为( ) 2 A.?3,2?

?

?

5 B.?1,3?

?

?

2? ? C.?-2,- ? 3? ?

4? ? D.?-3,- ? 3? ?

?x+3y-3≥0, 55、若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0, ?x-y+1≥0,
A.9 15 B. 7 C.1 D. 7 15

则 z=x+y 的最大值为(

)

? x ? y ? 5 ≥ 0, ? 56、已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( ? x ≤ 3. ?



A. 5 B. ?38 C. 10 D. 38 57、某产品的产量第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,设这两年平均增长率为 x,则有 p?q p?q p?q p?q A. x ? B. x ? C. x ? D. x ? 2 2 2 2 58、已知点(-1,2)和(3,-3)在直线 3x+y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( ) A.(-1,6) B.(-6,1) C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-6)∪(1,+∞) 59、如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是( )

6

y≥-2 ? ? A.?3x-2y+6>0 ? ?x<0

?y≥-2 B.?3x-2y+6≥0 ? x ≤0

?y>-2 C.?3x-2y+6>0 ?x≤0

y>-2 ? ? D.?3x-2y+6<0 ? ?x<0

60、若 x, y 是正数,且 ?
A.最大值 16

1 x

4 ? 1 ,则 xy 有( ) y 1 B.最小值 C.最小值 16 16

D.最大值

1 16

? ? ?y≥0 y ≤ x 61、 在坐标平面上有两个区域 M 和 N, 其中区域 M=??x,y?|? ?,区域 N={(x, ?y≤2-x ? ?
y)|t≤x≤t+1,0≤t≤1}, 区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f(t)表示, 则 f(t)的表达式为( 1 1 1 A.-t2+t+2 B.-2t2+2t C.1-2t2 D.2(t-2)2 )

?x+y≥0, 62、在平面直角坐标系中,不等式组?x-y+4≥0, ?x≤a

(a 为常数)表示的平面区域的面积是

9,那么实数 a 的值为( ) A.3 2+2 B.-3 2+2 C.-5 D.1 63、如图所示,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在的区域为(

)

64、若 a, b, c∈R,且 ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是
A. a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 B. ( a ? b ? c ) 2 ? 3 C.
1 a ? 1 b ? 1 c ?2 3



) D. a ? b ? c ?
3

65、若 x>0, y>0,且 x+y ? 4,则下列不等式中恒成立的是





7

1 1 1 ? ?1 ?1 C. xy ? 2 D. xy x y a?b 2ab 66、a,b 是正数,则 三个数的大小顺序是 ( ) , ab , 2 a?b a?b 2ab a ? b 2ab A. B. ab ? ? ab ? ? 2 a?b 2 a?b 2ab a?b 2ab a ? b C. D. ab ? ? ab ? ? a?b 2 a?b 2

A.

1 1 ? x? y 4

B.

?x+y-11≥0, 67、设不等式组?3x-y+3≥0, ?5x-3y+9≤0
域 D 上的点,则 a 的取值范围是( A.(1,3] B.[2,3]

表示的平面区域为 D.若指数函数 y=ax 的图象上存在区 ) C.(1,2] D.[3,+∞)

?x≥0, 68、 若不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4

4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3

则 k 的值是( ) 7 3 4 3 A.3 B.7 C.3 D.4 69、下列函数中,最小值为 4 的是( ) 4 4 (0 ? x ? ? ) A. y ? x ? B. y ? sin x ? sin x x C. y ? ex ? 4e? x D. y ? log 3 x ? 4log x 3

?x+y≤4, 70、已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≥x, ?x≥1,
A. 10 B.8 C.16 D.10

则 x2+y2 的最大值为(

)

?x≥1, 71、设不等式组?x-2y+3≥0 ? y ≥x

,所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 与 Ω1 关于直线 )

3x-4y-9=0 对称.对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B,则|AB|的最小值为( 28 12 A. B.4 C. D.2 5 5

8

?x-y+2≥0, 72、设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ?x+y-8≤0,
值分别为( ) A.3,-11 B.-3,-11

则目标函数 z=3x-4y 的最大值和最小

C.11,-3 )

D.11,

3

1 1 x+2y?2+?y+2x?2 的最小值是( 73、若 xy 是正数,则? ? ? ? ? A.3

7 9 B.2 C.4 D.2 74、若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集是 M,则对任意实常数 k,总有( ) A.2∈M,0∈M B.2?M,0?M C.2∈M,0?M D.2?M,0∈M 2 2 a+b a +b 2ab 75、已知 a>0,b>0,则 2 , ab, ) 2 ,a+b中最小的是( A. a+b 2 B. ab C. a2+b2 2 2ab D. a+b

1 1 (a>2),n=?2?x2-2 (x<0),则 m、n 之间的大小关系是( ) ? ? a-2 A.m>n B.m<n C.m=n D.m≤n 77、设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( ) 2 2 2 2 a +b a +b a2+b2 a2+b2 A.1≤ab≤ 2 B.ab<1< 2 C.ab< 2 <1 D. 2 <ab<1 1 a? + 78、已知不等式(x+y)? ?x y ?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( A.8 B.6 C.4 D.2 79、 已知正数 0<a<1,0<b<1, 且 a≠b, 则 a+b, 2 ab, 2ab, a2+b2, 其中最大的一个是( 2 2 A.a +b B.2 ab C.2ab D.a+b 80、设 0<a<b,且 a+b=1,在下列四个数中最大的是( ) 1 A.2 B.b C.2ab D.a2+b2 81、已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) 9 11 A.3 B.4 C.2 D. 2 2 x +5 82、函数 y= 2 的最小值为( ) x +4 5 A.2 B.2 C.1 D.不存在 x2-4x+5 5 83、已知 x≥2,则 f(x)= 有( ) 2x-4 5 5 A.最大值2 B.最小值4 C.最大值 1 D.最小值 1 84、已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则 2x+4y 的最小值为( ) A.2 2 B.4 2 C.16 D.不存在

76、已知 m=a+

) )

9

1 ? 85、函数 y=log2? ?x+x-1+5? (x>1)的最小值为( ? ?

)

A.-3 B.3 C .4 D.-4 2 86、若不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的最小值为( ) 5 A.0 B.-2 C.-2 D.-3 87、 在 R 上定义运算?: x?y=x(1-y), 若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立, 则( 1 3 3 1 A.-1<a<1 B.0<a<2 C.-2<a<2 D.-2<a<2

)

?x+y≤3, 88、设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ?y≥1,

则目标函数 z=4x+2y 的最大值为(

)

A.12 B.10 C .8 D.2 2 89、已知集合 M={x|x -3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则 M∩N 为( ) A.{x|-4≤x<-2 或 3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2 或 3≤x<7} C.{x|x≤-2 或 x>3} D.{x|x<-2 或 x≥3} 90、已知 a、b、c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( ) 2 2 A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.ab >cb D.ac(a-c)<0 1 1 91、不等式x <2的解集是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 92、下列各组不等式中,同解的一组是 (
2 A. x ? 0 与 x ? 0



C. log1 (3x ? 2) ? 0 与 3x ? 2 ? 1
2

( x ? 1)( x ? 2) ? 0与 x ? 2 ? 0 B. x ?1 x?2 x?2 ?1与 D. ?1 x ?1 x ?1
,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,

?x+y≥1 93、若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1 ?2x-y≤2

则 a 的取值范围是( ) A.(-1,2) B.(-4,2) C.(-4,0] D.(-2,4) 2 2 2 94、如果 a∈R,且 a +a<0,那么 a,a ,-a,-a 的大小关系是( ) 2 2 2 2 2 2 A.a >a>-a >-a B.-a>a >-a >a C.-a>a >a>-a D.a2>-a>a>-a2 ?x-y+1≤0, y 95、若实数 x,y 满足? 则 的取值范围是( ) x-1 ?x>0, B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-1) D.[1,+∞) 1 1 96、已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解是[-2,-3],则不等式 x2-bx-a<0 的解是( 1 1 1 1 A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) C.(3,2) D.(-∞,3)∪(2,+∞) 97、若 a<0,-1<b<0,则有( ) A.(-1,1) )

10

B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a 1 1 98、已知 x>1,y>1,且4ln x,4,ln y 成等比数列,则 xy( ) A.有最大值 e B.有最大值 e C.有最小值 e D.有最小值 e 99、设 M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则( ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 2 2 100、不等式 x -ax-12a <0(其中 a<0)的解集为( ) A.(-3a,4a) B.(4a,-3a) C.(-3,4) D.(2a,6a)

A.a>ab>ab2

1 1 101、设 a ? b ,则使 > 成立的充要条件是 ( ) a b (A) b ? 0 ? a (B) 0 ? b ? a (C) b ? a ? 0 (D) -1 ? b ? 0 ? a ? 1 102、若 a,b,c,d ,四个数满足条件: (1) d ? c ; (2) a ? b=c ? d (3) a ? d ? b ? c ,
则有 ( (A) b ? c ? d ? a (B) a ? d ? c ? b 103、已知 x ? y ? z , x ? y ? z ? 0 ,则 (A) xy ? yz ) (C) d ? b ? a ? c ( (D)x y >z y (D) b ? d ? c ? a )

(B) xz ? yz (C) xy ? xz

? ? ? ) ,β ∈[0, ],那么 2α - 的范围是( ) 2 2 3 5 ? 5 ? (A) (0, π ) (B) (- , π ) (C) (0,π ) (D) (- ,π ) 6 6 6 6 105、设 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不能成立的是 ( ) 1 1 1 1 4 4 (A) > (B) > (C) a > b (D)a >b a b a?b a 106、在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( )
104、设α ∈(0,
1 A.y=x+x
A. ?

1 π B.y=cos x+cos x (0<x<2)

C.y=

x2+3 x +2
2

4 D.y=ex+ex-2
( )

107、不等式 ax ? b 的解集不可能是 B. R

b C. ( ,?? ) a

b D. (?? ,? ) a
)

?x-y≥0, 108、设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤2, ?y+2≥0,

则目标函数 z=|x+3y|的最大值为(

A.4 B.6 C.8 D.10 109、若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式中恒成立的是( ) 1 1 1 1 1 1 A.ab>2 B.a+b≤1 C. ab≥2 D. 2 ≤ a +b2 8 x≤0 ?x+2, 110、已知函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)≥x2 的解集是( ?-x+2, x>0 B.[-2,2] C.[-2,1] D.[-1,2] 1 111、当 x>1 时,不等式 x+ ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( x-1 A.[-1,1] )

)

11

A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] 112、已知 a,b∈R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是( ) 1 1 a A.a2>b2 B.(2)a<(2)b C.lg(a-b)>0 D.b>1 113、若 a > b ,则下列不等式(1) a ? c ? b ? c ; (2) a ? c ? b ? c ; (3) ac ? bc ;
(4) (A)0

a b > ( c >0)其中恒成立的不等式个数为 c c
(B)1
2





(C)2

(D)3 ( )

114、 “ a ? b ? 0 ”是“ ab ? A.充分而不必要条件

a ?b ”的 2
2

B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

115、如果 | x ? 1 | ? | x ? 9 |? a 对任意实数 x 总成立,则 a 的取值范围是
A. {a | a ? 8} B. {a | a ? 8} C. {a | a ? 8}

D. {a | a ? 8} ( )

2 116、不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?

1 1 , ) ,则 a ? b 的值等于 2 3
C.-10 D.10

A.-14

B.14

117、不等式 x | x |? x 的解集是
A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1 或 x ? ?1} B. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | ?1 ? x ? 0, x ? 1}





118、若

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
B. ab ? b
2





b a ? ?2 D. | a | ? | b |?| a ? b | a b 2 2 119、若 f ( x) ? 3x ? x ? 1 , g ( x) ? 2 x ? x ? 1 ,则 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系为 ( ) A. f ( x ) ? g ( x ) B. f ( x ) ? g ( x ) C. f ( x ) ? g ( x ) D.随 x 值变化而变化 120、下列各式中最小值是 2 的是 ( )
2 2 A. a ? b

C.

A.

x y + y x


B.

x2 ? 5 x ?4
2

C.tanx+cotx

D. 2 ? 2
x

?x

121、若 x,y∈R ,且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为(
A.12 B.14 C.16 D.18

)
( D. a ? d ? b ? c ) D.0≤a≤2 )

122、设 b ? a , d ? c ,则下列不等式中一定成立的是
A. a ? c ? b ? d B. ac ? bd C. a ? c ? b ? d 123、原点和点(1,1)在直线 x+y=a 两侧,则 a 的取值范围是( A.a<0 或 a>2 B.0<a<2 C.a=0 或 a=2

?3x-y-6≤0, 124、设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ?x≥0,y≥0,

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为

12

2 3 12,则a+b的最小值为( 25 A. 6

)

8 11 B.3 C. 3 D.4 x-1 125、不等式 ≥2 的解为( ) x A.[-1,0) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] 2x+y≤40, ? ?x+2y≤50, 126、若变量 x,y 满足? x≥0, ? ?y≥0,

D.(-∞,-1]∪(0,+∞)

则 z=3x+2y 的最大值是(

)

A.90 B.80 C.70 D.40 127、设 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( ) a + b a A.a-b<0 B.0< <1 C. ab< D.ab>a+b b 2 128、设 a>1,b>1 且 ab-(a+b)=1,那么( ) A.a+b 有最小值 2( 2+1) B.a+b 有最大值( 2+1)2 C.ab 有最大值 2+1 D.ab 有最小值 2( 2+1) 1 1 129、设 a>b>0,则 a2+ + 的最小值是( ) ab a?a-b? A.1 B.2 C.3 D.4 1 130、函数 f(x)=x2-2x+ 2 ,x∈(0,3),则( ) x -2x+1 7 A.f(x)有最大值4 B.f(x)有最小值-1 C.f(x)有最大值 1 D.f(x)有最小值 1 131、甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行, 一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( ) A.甲先到教室 B.乙先到教室 C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定 ? 1? 132、若不等式 ax2+bx-2>0 的解集为?x|-2<x<-4?,则 a+b 等于( ) ? ? A.-18 B.8 C.-13 D.1 ?1 ??1 ??1 ? 133、设 M= a-1 b-1 c-1 ,且 a+b+c=1 (其中 a,b,c 为正实数),则 M 的取值范 ? ?? ?? ? 围是( ) 1 1 A.?0,8? B.?8,1? C.[1,8) D.[8,+∞) ? ? ? ?

二、填空题 134、 将下面用分析法证明
≥ab 的步骤补充完整: 要证 ≥ab, 只需证 a2+b2≥2ab, 2 2 也就是证____________,即证______________,由于______________显然成立,因此原不 等式成立. 135、设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a、b、c 的大小关系为________. 136、不等式 x(|x|-1)(x+2)<0 的解集为 。

a2+b2

a2+b2

13

137、若 x∈R,则

x 1 与 的大小关系为________. 1+x2 2 。 的解

138、 设当|x-2|<( a a>0) 成立时, |x2-4|<1 也成立, 则 a 的取值范围为 139、已知关于 x 的不等式
集为 的解集为(-∞,1) (2,+∞) ,则不等式 。 140、若 1≤a≤5,-1≤b≤2,则 a-b 的取值范围为________. 141、若 f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则 f(x)与 g(x)的大小关系是________.

142、 已知 x+2y=4, 且 x≥0, , 则满足 的 x 的取值范围为 。 143、设 n>1,n∈N,A= n- n-1,B= n+1- n,则 A 与 B 的大小关系为________. 144、若全集 I=R,f(x)、g(x)均为 x 的二次函数,P={x|f(x)<0},Q={x|g(x)≥0},则不等
? ?f?x?<0, 式组? 的解集可用 P、Q 表示为________. ?g?x?<0 ? 145、不等式(x2-x+1)(x2-x-1)>0 的解集是________________. 146、已知 x=1 是不等式 k2x2-6kx+8≥0 的解,则 k 的取值范围是______________. 147、如果 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围为________. 148、不等式-1<x2+2x-1≤2 的解集是________. 149、若不等式-x2+2x-a≤0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 150、二次函数 y=ax2+bx+c 的部分对应点如下表:

X y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 2 则不等式 ax +bx+c>0 的解集是______________. x-a 151、若关于 x 的不等式 >0 的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数 a=________. x+1 152、某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件 和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备 甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元.

?5x-11y≥-22, 153、某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 需满足约束条件?2x+3y≥9, ?2x≤11,
z=10x+10y 的最大值是________. x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 154、已知实数 x,y 满足? y≥0, ? ?x+2y-3≥0,
则 P 点坐标是 .



y 则x的最大值为________.

155、 点 P(a, 且在不等式 2 x ? y ? 3 表示的平面区域内, 3) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离等于 4 ,

14

156、原点 O(0, 0) 与点集 A ? {( x,y) | x ? 2 y ?1≥ 0,y ≤ x ? 2, 2 x ? y ? 5 ≤ 0} 所表示的平 面区域的位置关系是 ,点 M (11) . , 与集合 A 的位置关系是 a a 157、 设 a 是正数, 则同时满足下列条件: ≤ x ≤ 2a ; ≤ y ≤ 2a ;x ? y ≥ a ;x ? a ≥ y ; 2 2 边形. y ? a ≥ x 的不等式组表示的平面区域是一个凸 158、△ABC 的三个顶点坐标为 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),则△ABC 的内部及边界所对
应的二元一次不等式组是________________. 159、△ ABC 中,三个顶点的坐标分别为 A(2, 4) , B(?1, 2) ,C (1, 0) ,点 P( x,y ) 在 △ ABC 内部及边界运动,则 z ? x ? y 的最大值及最小值分别是 和 .

160、已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是________.

?x+y≥3, 161、 设变量 x, y 满足约束条件?x-y≥-1, ?2x-y≤3.

则目标函数 z=2x+3y 的最小值为________.

162、给出下面的线性规划问题:求 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值,使 x , y 满足约束条件
?5 x ? 3 y ≤ 15, ? 请你改造约束条件中一个不等式, ? y ≤ x ? 1, 要使题目中目标函数只有最小值而无最大值, ? x ? 5 y ≤ 3. ?
那么新的约束条件是
2



163、函数 y ? x 1 ? x 的最大值为 . 3 164、建造一个容积为 18m , 深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每 m2 的造价为 200
元和 150 元,那么池的最低造价为 元. . .

165、若直角三角形斜边长是 1,则其内切圆半径的最大值是 166、若 x, y 为非零实数,代数式

x2 y 2 x y ? 2 ? 8( ? ) ? 15 的值恒为正,对吗?答 2 y x y x

167、已知集合 A ? {( x,y) || x | ? | y |≤1} , B ? {( x,y) | ( y ? x)( y ? x) ≤ 0}, M ? A B ,
则 M 的面积是 . 168、原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式 2x-y+a>0 表示的平面区域内,则 a 的取值 范围为________.

?x≤0, 169、若 A 为不等式组?y≥0, ?y-x≤2

表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直

线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为________. 170、已知 x,y 为非负整数,则满足 x+y≤2 的点(x,y)共有________个.

15

x-y≥0, ? ?2x+y≤2, 171、 若不等式组? y≥0, ? ?x+y≤a

表示的平面区域是一个三角形, 则 a 的取值范围是_______

172、某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于 15 吨,已知生产甲产品 1 吨需
煤 9 吨,电力 4 千瓦,劳动力 3 个(按工作日计算);生产乙产品 1 吨需煤 4 吨,电力 5 千瓦,劳动力 10 个;甲产品每吨价 7 万元,乙产品每吨价 12 万元;但每天用煤量不 得超过 300 吨, 电力不得超过 200 千瓦, 劳动力只有 300 个, 当每天生产甲产品________ 吨,乙产品______吨时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大. x y 173、已知 x,y∈R+,且满足3+4=1,则 xy 的最大值为________. 174、函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 1 2 其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n

175、设正数 x,y 满足 x+ y≤a· x+y恒成立,则 a 的最小值是______. 176、若 lg x+lg y=1,则x +y 的最小值为________.
x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围为________. x +3x+1 1 178、若 a<1,则 a+ 有最______值,为________. a-1 179、建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方 米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________元. 180、已知正数 a,b 满足 a+b-ab+3=0,则 ab 的最小值是________. ?x+5??x+2? 181、设 x>-1,则函数 y= 的最小值是________. x+1 182、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存 储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=________吨. y2 183、若 x,y,z 为正实数,x-2y+3z=0,则xz的最小值为____. t2-4t+1 184、已知 t>0,则函数 y= 的最小值为____________. t 185、 对任意实数 x, 不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是_______ 2 2 186、 若关于 x 的不等式(2x-1) <ax 的解集中的整数恰有 3 个, 则实数 a 的取值范围是______ 187、若 A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则 A、B 的大小关系为________. 2 5

177、若对任意 x>0,

2

?x-y+5≥0, 188、 若不等式组?y≥a, ?0≤x≤2
190、不等式
2

表示的平面区域是一个三角形, 则 a 的取值范围是_____

189、若函数 f(x)= 2x2-2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.
x- 1 >0 的解集是______________________ x -x-30 191、已知 f ( x) 是奇函数,且在(- ? ,0)上是增函数, f (2) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的

16

解集是___

_ ____.

192、一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 400 v 千米,为了安全,两列货车的间距不得小于?20?2 千米,那么这批货物全部运到 B 市, ? ?
最快需要________小时.

193、函数 y ? lg

1 ? 2x 的定义域是 x ?1 1 1 1 ? 与 的大小关系是 a b a?b

.

194、若 a, b ? R ? ,则

.

2 195、若 60< a <84,28<b<33,则 的取值范围是 。 (a-2b) 196、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费

用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ?

吨.

197、设 x >1,-1< y <0,则 x , y ,- x ,- y ,- x y 由小到大的顺序为 198、已知 x∈R,且|x|≠1,则 x6+1 与 x4+x2 的大小关系是________. ? x,x ? 0 199、已知 f ( x) ? ? , 则不等式 f ( x ? 2) ? 3 的解集___ _ ____. ? ?1, x ? 0 200、如果 a>b,给出下列不等式:①a<b;②a3>b3;③ a2> b2;④2ac2>2bc2;
a b 三、解答题 201、设函数 f(x)=-4x+b,且不等式|f(x)|<c 的解集为(-1,2)
(1)求 b 的值;

1 1

⑤ >1;⑥a2+b2+1>ab+a+b,其中一定成立的不等式的序号是________.

(2)解关于 x 的不等式(4x+m)f(x)>0

(m

R)

202、已知实数 a,b 满足:关于 x 的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切 x∈R 均成立
(1)验证 a=-2 ,b=-8 满足题意; (2)求出满足题意的实数 a,b 的值,并说明理由; 2 (3)若对一切 x>2,都有不等式 x +ax+b≥(m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围。

17

203、解不等式

204、若 x, y

R ,且

+

,求 u=x+y 的最小值

205、设 x,y,z∈R,试比较 5x2+y2+z2 与 2xy+4x+2z-2 的大小.

206、设 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,其中 x>0 且 x≠1,试比较 f(x)与 g(x)的大小.

207、设 a>b>0,试比较

a2-b2 a-b 与 的大小. a2+b2 a+b

208、解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).

209、解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0.

18

210、若不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为?x|-3≤x≤2?,求关于 x 的不等式 cx2-bx+a<0 的
? ?

?

1

?

解集.

211、已知不等式 x2+px+1>2x+p,(1)如果不等式当|p|≤2 时恒成立,求 x 的取值范围;
(2)如果不等式当 2≤x≤4 时恒成立,求 p 的取值范围.

?x -x-2>0, 212、关于 x 的不等式组? 2 的整数解的集合为{-2},求实数 k 的取值 ?2x +?2k+5?x+5k<0
范围.

2

?x≥3 213、利用平面区域求不等式组?y≥2 ?6x+7y≤50

的整数解.

214、 是否存在常数 c,使得不等式
立?试证明你的结论.

x y x y ? ?c? ? 对任意正数 x, y 恒成 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y

19

215、若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于 P、Q 两点,且 P、Q 关于直线

?kx-y+1≥0 x+y=0 对称,则不等式组?kx-my≤0 ?y≥0

表示的平面区域的面积是多少?

216、用图表示不等式 ( x ? y ? 3)( x ? 2 y ? 1) ? 0 表示的平面区域.

?x+3y≥12 217、线性约束条件?x+y≤10 ?3x+y≥12

下,求 z=2x-y 的最大值和最小值.

?2x+y-2≥0 218、已知实数 x、y 满足?x-2y+4≥0 ?3x-y-3≤0

y+1 ,试求 z= 的最大值和最小值. x+1

219、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质 和 10 单位铁质,售价 3 元;乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质,售价 2 元.若 病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质.试问:应如何使用甲、乙原料,才能既 满足营养,又使费用最省?

??x-y+6??x+y-6?≥0 220、已知实数 x,y 满足? ,求 x2+y2-2 的取值范围. ?1≤x≤4

20

?2x+y-5≥0 221、已知?3x-y-5≤0 ?x-2y+5≥0

,求 x2+y2 的最小值和最大值.

222、已知正数 a, b 满足 a+b=1(1)求 ab 的取值范围;(2)求 ab ?

1 的最小值. ab

223、 有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输 效果见表. 方式

效果 种类

轮船运输量/

t
粮食 石油

飞机运输量/ t

300 250

150 100

现在要在一天内运输至少 2 000 t 粮食和 1 500 t 石油,需至少安排多少艘轮船和多少架飞机?

y

5 x ? 2 y ? 30 ? 0

x

21

?x ? 2 y ? 7 ≥ 0 ? 224、求 z ? x ? y 的最大值和最小值,使式中的 x , y 满足约束条件 ? 4 x ? 3 y ? 12 ≤ 0 . ?x ? 2 y ? 3≥ 0 ?
2 2

y
A
7 2

B

x ? 2y ? 7 ? 0

3 2

4 x ? 3 y ? 12 ? 0

?7

O
?4

3

C

x

x ? 2y ? 3 ? 0

225、预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子,并希望桌椅的总数尽可能多,但 椅子数不能少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍.问:桌、椅各买多少才合适?

? ?x ? 2 ≤ 0 ? 226、画出不等式组 ? x ? y ≥ 0 表示的平面区域,并求出此不等式组的整数解. ? 1 ? y ≥ x ?1 ? 2

227、某家具厂有方木料 90 m3,五合板 600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每
张书桌需要方木料 0.1 m3, 五合板 2 m2, 生产每个书橱需要方木料 0.2 m3, 五合板 1 m2, 出售一张方桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌,可获利润多少?(2)如果只安排生产书橱,可获利润多少? (3)怎样安排生产可使所得利润最大?

22

228、已知: x2 ? y2 ? a, m2 ? n2 ? b(a, b ? 0) , 求 mx+ny 的最大值.

1 1 1 229、设 a, b, c ? (0, ??), 且 a+b+c=1,求证: ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8. a b c

230、某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少 180 t 支援物资的任务.该公司有 8 辆载重 6 t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数 为 A 型卡车 4 次, B 型卡车 3 次;每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元, B 型为 504 元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?若只安排 A 型 或 B 型卡车,所花的成本费分别是多少?

231、a>b>c,n∈N 且

1 1 n + ≥ ,求 n 的最大值. a-b b-c a-c

232、某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设备
的维修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的 年平均费用最少)?

23

233、已知 a,b,c 为不等正实数,且 abc=1,求证: a+ b+ c<a+b+c.

1

1 1

234、设 a、b、c 都是正数,求证: a + b + c ≥a+b+c.
1 9

bc

ca

ab

235、已知 x>0,y>0,且x+y =1,求 x+y 的最小值. 236、解关于 x 的不等式 56x2+ax-a2<0.

237、若不等式(1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}.
(1)解不等式 2x2+(2-a)x-a>0;(2)b 为何值时,ax2+bx+3≥0 的解集为 R.

238、已知 a>0,b>0,且 a≠b,比较 b + a 与 a+b 的大小.

a2 b 2

239、证明不等式:a,b,c∈R,a4+b4+c4≥abc(a+b+c).

24

240、已知关于 x 的不等式

ax-5 <0 的解集为 M,(1)若 3∈M,且 5?M,求实数 a 的取值范 x2-a 围.(2)当 a=4 时,求集合 M.

241、已知 a,b,c∈(0,+∞).求证:(

a b c 1 )· ( )· ( )≤ . a+b b+c c+a 8

242、若 a<1,解关于 x 的不等式

ax >1. x-2

243、求函数 y=

x+2 的最大值. 2x+5

244、如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

25

245、设 a∈R,关于 x 的一元二次方程 7x2-(a+13)x+a2-a-2=0 有两实根 x1,x2,且 0<x1<1<x2<2,求 a 的取值范围.

246、当 x>3 时,求函数 y=

2x2 的值域. x-3

247、 (应用创新)已知 a > b , c > d ,且 a , b , c , d 中至少有三个同号( a b c d ≠0) , 试比较 a c 与 b d 的大小。

248、 (本题满分 13 分)已知 1≤lg

x x2 x3 ≤2,2≤lg ≤3,求 lg 的取值范围。 3 y y y

249、 (本题满分 12 分)已知 a > b > c > d >0,

a c = ,求证: a + d > b + c 。 b d

26

250、 (本题满分 12 分)设-2< a <7,1< b <2,求 a + b , a - b ,

a 的范围。 b

251、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 。 (1)若对任意的实数 x ,都有 f ( x) ? 2 x ? a ,求 b 的取值范围; (2)当 x ?[?1,1] 时, f ( x) 的最大值为 M,求证: M ? b ? 1 ;
(3)若 a ? (0, ) ,求证:对于任意的 x ?[?1,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是

1 2

a2 ? 1 ? b ? ?a. 4

252、(本小题满分 12 分)对任意 a ?[?1,1] ,函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于 零,求 x 的取值范围。
2

27

687、(本小题满分 12 分)已知 a ? b ? c ? 0 ,求证: ab ? bc ? ca ? 0 。

ax 688、 (本小题满分 13 分)已知 a ? 1 ,解关于 x 的不等式 ? 1. x?2

689、 (本小题满分 12 分)解不等式:

x ?2 x ? 8 x ? 15
2

28

690、某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳 动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示: 产品消耗量资源 甲产品 (每吨) 乙产品 (每吨) 资源限额 (每天) 9 4 360 煤(t) 4 5 200 电力(kw· h) 3 10 300 劳动力(个) 6 12 利润(万元) 问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨时,获得利润总额最大?

691、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,
E 为 PD 的中点
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(Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,

并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离

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2 692、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值 3 (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 2 (2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围
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29

以下是答案 一、选择题 1、B 解析:当 y=1 时,
∴当 y>1 时, 当 y<1 且 y≠0 时, ;当 y≠1 且 y≠0 时,由已知得

≥4(当且仅当

时等号成立;

不合题意,于是可知这里 x 的最小值为 4, 1 3 1 3 10 5 2、 A 解析 方法一 特殊值法.令 a1= ,a2= ,b1= ,b2= ,则 a1b1+a2b2= = , 4 4 4 4 16 8 6 3 6 3 5 1 3 a1a2+b1b2= = ,a1b2+a2b1= = ,∵ > > ,∴最大的数应是 a1b1+a2b2. 16 8 16 8 8 2 8 方法二 作差法.∵a1+a2=1=b1+b2 且 0<a1<a2,0<b1<b2,∴a2=1-a1>a1, 1 1 b2=1-b1>b1,∴0<a1<2,0<b1<2.又 a1b1+a2b2=a1b1+(1-a1)(1-b1)=2a1b1+1-a1-b1, 2 a1a2+b1b2=a1(1-a1)+b1(1-b1)=a1+b1-a2 1-b1,a1b2+a2b1=a1(1-b1)+b1(1-a1) 2 2 =a1+b1-2a1b1,∴(a1b2+a2b1)-(a1a2+b1b2)=a2 1+b1-2a1b1=(a1-b1) ≥0, ∴a1b2+a2b1≥a1a2+b1b2. ∵(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=4a1b1+1-2a1-2b1 1 1 =1-2a1+2b1(2a1-1)=(2a1-1)(2b1-1)=4?a1-2??b1-2?>0, ? ?? ? 1 1 ∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. ∵(a1b1+a2b2)- =2a1b1+ -a1-b1 2 2 1 1 1 1 1 =b1(2a1-1)- (2a1-1)=(2a1-1)?b1-2?=2?a1-2??b1-2?>0,∴a1b1+a2b2> . 2 2 ? ? ? ?? ? 综上可知,最大的数应为 a1b1+a2b2. 3、A 解析:为便于表述,令 A={x| |x-1|<b}, B={x| |f(x)-4|<a},则 A=(1-b,1+b), , 由题设知 A B, 故有 由此得 3b≤a, 由 a>b>c 及 a+b+c=0 知 a>0,c<0,又∵a>0,b>c,∴ab>ac.故选 A.

4、A 解析

5、B 解析:从不等式的等价转化切入:
x(x -2x-a) ≤0(x≠0)∴由已知不等式的解集知 x1=-1,x2=3 为方程 x -2x-a=0 的根 ∴由 x1·x2=-a 得 a=3 本题应选 B 6、C 解析 对于 A,当 a<0,b<0 时,a2<b2 不成立;对于 B,当 a<0,b>0 时,a2b>0,ab2<0, 1 1 1 b a a2b<ab2 不成立;对于 C,∵a<b, 2 2>0,∴ 2< 2 ;对于 D 当 a=-1,b=1 时, = =-1. ab ab a b a b a a 1 a a 7、D 解析 取 a=-2,b=-2,则b=1,b2=-2,∴b>b2>a.
2 2

30

8、D 解析:注意到 x
|x|<2 故应选 D

R, x2=|x|2 1

∴x2-|x|-2<0 1

|x|2-|x|-2<0 1 1

(|x|-2)(|x|+1)<0

|x|-2<0

9、 C 解析 对 A,若 a>0>b,则a>0,b<0,此时a>b,∴A 不成立;对 B,若 a=1,b=-2,
则 a2<b2,∴B 不成立;对 C,∵c2+1≥1,且 a>b,∴ a b > 恒成立,∴C 正确; c2+1 c2+1

对 D,当 c=0 时,a|c|=b|c|,∴D 不成立. 10、D 解析 由 a>|b|得-a<b<a,∴a+b>0,且 a-b>0.∴b-a<0,A 错,D 对. 可取特值,如 a=2,b=-1,a3+b3=7>0,故 B 错.而 a2-b2=(a-b)(a+b)>0,∴C 错. 11、C 解析:运用不等式性质进行推理,从较复杂的分式不等式(2)切入,去寻觅它与(1)
的联系。 (2) (沟通与(1) 、 (3)的联系)由此可知, (1) 、 (3) (2) ; (1) 、 (2) (3) ; (2) 、 (3) (1) ; 故可以组成的正确命题 3 个,应选 C 12、D 解析:注意到条件简明与选项的复杂,考虑运用特值法:取 a=-2, b=1, 2 2 则 a =4, b =1, ab=-2, -ab=2 由此否定 A,B,C, 应选 D 13、D 解析:以认知已知不等式入手:

由此断定 A,B,C 正确,应选 D 1 14、C 解析 ∵e<x<1,∴-1<ln x<0,令 t=ln x,则-1<t<0.∴a-b=t-2t=-t>0,∴a>b. c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),又∵-1<t<0,∴0<t+1<1,-2<t-1<-1, ∴c-a>0,∴c>a.∴c>a>b.

15、D 解析:从认知已知不等式入手:
其中 a,b 可异号或其中一个为 0,由此否定 A,B,C,应选 D 16、 A 解析 由已知方程有两实数根得,Δ≥0,即(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0,解得 4 2 2 2 -4≤k≤- ,又 x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=-(k+5) +19, 3 2 ∴当 k=-4 时,x1 +x2 2有最大值,最大值为 18.

17、C 解析 解不等式(x-1)2<3x+7,然后求交集.由(x-1)2<3x+7,
得-1<x<6,∴集合 A 为{x|-1<x<6},∴A∩Z 的元素有 0,1,2,3,4,5,共 6 个元素. b c 18、D 解析 由题意知,-a=1,a=-2,∴b=-a,c=-2a,又∵a<0,∴x2-x-2≤0, ∴-1≤x≤2. 1 2 19、B 解析 ∵-6x2-x+2≤0,∴6x2+x-2≥0,∴(2x-1)(3x+2)≥0,∴x≥2或 x≤-3. 20、B 解析 由(1-aix)2<1,得 1-2aix+(aix)2<1,即 ai· x(aix-2)<0,又 a1>a2>a3>0. 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴0<x<a ,即 x<a ,x<a 且 x<a ,∵a >a >a >0,∴0<x<a . i 1 2 3 3 2 1 1

31

21、A 解析 f(1)=12-4×1+6=3,当 x≥0 时,x2-4x+6>3,解得 x>3 或 0≤x<1;
当 x<0 时,x+6>3,解得-3<x<0,所以 f(x)>f(1)的解是(-3,1)∪(3,+∞). 22、B 解析 ∵mx2+2mx-4<2x2+4x,∴(2-m)x2+(4-2m)x+4>0. 当 m=2 时,4>0,x∈R;当 m<2 时,Δ=(4-2m)2-16(2-m)<0, 解得-2<m<2.此时,x∈R.,综上所述,-2<m≤2. 23、B 解析 ∵x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,∴x2+x-2<0.∴-2<x<1. 24、B 解析 设 g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0 恒成立且 a∈[-1,1] 2 ?g?1?=x -3x+2>0 ?x<1或x>2 ?? ?? ?x<1 或 x>3. 2 ?g?-1?=x -5x+6>0 ?x<2或x>3

25、A 解析 原不等式?x2-2x-2<2x2+2x+2?x2+4x+4>0?(x+2)2>0,∴x≠-2.
∴不等式的解集为{x|x≠-2}. 26、C 解析 当 x=-2 时,0≥0 成立.当 x>-2 时,原不等式变为 x-1≥0,即 x≥1. ∴不等式的解集为{x|x≥1 或 x=-2}. 1 2 ? ?-2≤x≤3, x+ 5 ?x+5≥2?x-1? 1 27、D 解析 ?? ∴x∈[-2,1)∪(1,3]. 2≥2?? ?x-1? ?x-1≠0 ? ?x≠1, x -2 28、C 解析 解不等式 >0 得,x>2 或 x<-3. x+3

?x -4>0, 29、B 解析 ∵? 2 ∴x≤-6 或 x>2. ?x +6x≥0, 30、B 31、C 32、B 33、C 34、C 35、B 37、B 解析 设投资甲项目 x 万元,投资乙项目 y 万元,

2

36、C

? ?x≥2 y, 可获得利润为 z 万元,则? 3 x≥5, ? ?y≥5,

x+y≤60,

z=0.4x+0.6,由图象知,目标函数 z=0.4x+0.6y 在 A 点取得最大值. ∴ymax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元). 38、C 39、A 40、 A 解析 当 a=0 时,z=x.仅在直线 x=z 过点 A(1,1)时,z 有最小值 1,与题意不符. 1 z 1 当 a>0 时,y=-ax+a,斜率 k=-a<0,仅在直线 z=x+ay 过点 A(1,1)时, 直线在 y 轴的截距最小,此时 z 也最小,与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛 1 z 1 盾.当 a<0 时,y=- x+ ,斜率 k=- >0,为使目标函数 z 取得最小值的最优解有

a

a

a

1 1 1 无数个,当且仅当斜率- =kAC.即- = ,∴a=-3. a a 3 42、B

41、A

32

解析

设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,由题意可知

x+y≤70, ? ?10x+6y≤480, ?x≥0, ? ?y≥0.

甲、乙两车间每天总获利为

z=280x+200y,画出可行域如图所示.点 M(15,55)为直线 x+y=70 和直线 10x+6y =480 的交点,由图象知在点 M(15,55)处 z 取得最大值. 43、C

44、B 解析 由 y=-ax+z 知当-a=kAC 时,最优解有无穷多个.∵kAC=-5,∴a=5. 45、C 解析 比较选项可知 C 正确. 46、A 47、C 48、D 49、A 50、B 51、C 52、D 53、C 解析 画出可行域后,可按 x=0,x=1,x=2,x=3 分类代入检验,符合要求的点
有(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)共 6 个. 54、C 解析 y=kx-z.若 k>0,则目标函数的最优解是点 A(4,0)或点 C(0,4),不符合题意. 2 ∴k<0,∵点(3,2)是目标函数的最优解.∴kAB≤k≤kBC,即-2≤k≤-3. 55、A 解析 画出可行域如图: 当直线 y=-x+z 过点 A 时,z 最大.

3

3

?2x-y-3=0, 由? 得 A(4,5),∴zmax=4+5=9. ?x-y+1=0 56、D 57、C 58、A 解析 由题意知,(-3+2-a)(9-3-a)<0,即(a+1)(a-6)<0,∴-1<a<6. 59、 C 解析 可结合图形, 根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行. 由 图知所给区域的三个边界中,有两个是虚的,所以 C 正确. 60、C 61、A 解析

?y≥0 作出不等式组?y≤x ?y≤2-x

所表示的平面区域.由 t≤x≤t+1,0≤t≤1,得

33

1 1 1 f(t)=S△OEF-S△AOD-S△BFC=1-2t2-2(1-t)2=-t2+t+2.

62、答案 D 解析 区域如图,易求得 A(-2,2),B(a,a+4),C(a,-a).

1 S△ABC=2|BC|· |a+2|=(a+2)2=9,由题意得 a=1.

63 、 B 解析

?x-y>0, 不等式 (x - y)(x + 2y - 2)>0 等价于不等式组 ( Ⅰ ) ? 或不等式组 ?x+2y-2>0

?x-y<0, (Ⅱ)? 分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域,再求并集, ?x+2y-2<0. 64、A 65、B 66、C

67、答案 A 解析 作出不等式组表示的平面区域 D,如图阴影部分所示. ?x+y-11=0, 由? 得交点 A(2,9). 对 y=ax 的图象, 当 0<a<1 时, 没有点在区域 D 上. ?3x-y+3=0, 当 a>1,y=ax 恰好经过 A 点时,由 a2=9,得 a=3,要满足题意,

需满足 a2≤9,解得 1<a≤3.

68、答案 A 解析 不等式组表示的平面区域如图所示.

4 4 4 由于直线 y=kx+3过定点?0,3?.因此只有直线过 AB 中点时,直线 y=kx+3能平分平

?

?

34

1 5 1 5 4 面区域.因为 A(1,1),B(0,4),所以 AB 中点 M?2,2?.当 y=kx+3过点?2,2?时, ? ? ? ? 5 k 4 7 = + ,所以 k= . 69、C 2 2 3 3 70、D 解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示:易得 A(1,1),|OA|= 2,B(2,2), |OB|=2 2,C(1,3),|OC|= 10,∴(x2+y2)max=|OC|2=( 10)2=10. 71、B 解析 如图所示.由约束条件作出可行域,得 D(1,1),E(1,2),C(3,3). 要求|AB|min,可通过求 D、E、C 三点到直线 3x-4y-9=0 距离最小值的 2 倍来求. |3×1-4×1-9| 经分析,D(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离 d= =2 最小, 5

∴|AB|min=4. 72、A 解析 作出可行域如图阴影部分所示,由图可知 z=3x-4y 经过点 A 时 z 有最小值, 经过点 B 时 z 有最大值.易求 A(3,5),B(5,3).∴z 最大=3×5-4×3=3,z 最小=3×3-4 ×5=-11.

1 1 1 1 1 x y x+ ? 2 ? y+ ? 2 2 2 ? + ? 73、答案 C 解析 ? ? 2y? +? 2x? =x +y +4?x2 y2?+y+x 1 1 x y 2 2 2 2 =?x +4x2?+?y +4y2?+?y+x?≥1+1+2=4,当且仅当 x=y= 2 或 x=y=- 2 时取等号. ? ? ? ? ? ?

74、答案 A 解析

k4+4 k4+4 ?1+k2?2-2?1+k2?+5 ∵(1+k )x≤k +4,∴x≤ ,∵ = 1+k2 1+k2 1+k2
2 4

5 =(1+k2)+ -2≥2 5-2,∴x≤2 5-2,M={x|x≤2 5-2},∴2∈M,0∈M. 1+k2 a+b a2+b2 75、 D 解析 方法一 特殊值法. 令 a=4, b=2, 则 2 =3, ab= 8, 2 = 10, a+b a2+b2 2ab 8 2ab 2ab 2 2 2ab =3.∴ 最小方法二 =1 1, 由1 1≤ ab≤ 2 ≤ 可知 最小. 2 a+b a+b a+b a+b + + a b a b 1 1 76、A 解析 ∵m=(a-2)+ +2≥2 ?a-2? +2=4,n=22-x2<22=4.∴m>n. a-2 a-2 a+b? 77、 B 解析 ∵ab≤? ? 2 ?2,a≠b,∴ab<1,又∵ ? ? a2+b2 a+b 2 > 2 >0,

35

a2+b2 a2+b2 ∴ 2 >1,∴ab<1< 2 . 1 a? ?1+a? + 78、答案 C 解析 只需求(x+y)? ? x y?的最小值大于等于 9 即可,又(x+y)?x y ? x y xy x y =1+a·+ +a≥a+1+2 a··=a+2 a+1,等号成立仅当 a·= 即可, y x yx y x 2 所以( a) +2 a+1≥9, 即( a)2+2 a-8≥0 求得 a≥2 或 a≤-4(舍去),所以 a≥4,即 a 的最小值为 4. 79、D 解析 因为 a、b∈(0,1),a≠b,所以 a+b>2 ab,a2+b2>2ab,所以,最大的只能 是 a2+b2 与 a+b 之一.而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又 0<a<1,0<b<1,所以 a -1<0,b-1<0,因此 a2+b2<a+b,所以 a+b 最大. a2+b2 a+b a2+b2 1 a+b? 1 1 80、 B 解析 ∵ab<? > >0,∴ > , ? 2 ?2,∴ab<4,∴2ab<2,∵ 2 2 2 2 ? ? 1 ∴a2+b2>2,∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2 =ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b 最大. x+2y 2 81、 答案 B 解析 ∵8-(x+2y)=2xy=x· (2y)≤( ) ,∴原式可化为(x+2y)2+4(x+2y) 2 -32≥0,∵x>0,y>0,∴x+2y≥4,当 x=2,y=1 时取等号. x2+5 1 1 1 82、B 解析 y= 2 = x2+4+ 2 ,∵ x2+4≥2,而 2 ≤2,所以不能用基 x +4 x +4 x +4 1 本不等式求最小值,用函数的单调性求最值,函数 y=x+ 在(1,+∞)上是增函数,∴ x 5 在[2,+∞)上也是增函数.∴当 x2+4=2 即 x=0 时,ymin= . 2 2 2 1 ? x -4x+5 ?x-2? +1 1? 83、答案 D 解析 f(x)= = =2??x-2?+x-2?≥1. 2x-4 2?x-2? ? ? 1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时等号成立. x -2

84、答案 B 解析 ∵点 P(x,y)在直线 AB 上,∴x+2y=3,∴2x+4y≥2 2x· 4y=2 2x+2y
3 3 =4 2(x=2,y=4时取等号).

85、B

?x+1?? 86、 B 解析 x2+ax+1≥0 在 x∈(0,1]上恒成立?ax≥-x2-1?a≥? ?-? x ??max.
1 1 ∵x+x ≥2,∴-?x+x?≤-2,∴a≥-2.

?

?

87、C 解析 (x-a)?(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1?-x2+x+(a2-a-1)<0 恒成立
1 3 ?Δ=1+4(a2-a-1)<0?-2<a<2. z

88、B 解析 画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数 z=4x+2y 可转化为 y=-2x+2,
z 作出直线 y=-2x 并平移,显然当其过点 A 时纵截距2最大.

36

?x+y=3, 解方程组? 得 A(2,1),∴zmax=10. ?y=1 89、A 解析 ∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-6>0}
={x|x<-2 或 x>3},∴M∩N={x|-4≤x<-2 或 3<x≤7}. 90、C 解析 ∵c<b<a,且 ac<0,∴a>0,c<0,而 b 与 0 的大小不确定,在选项 C 中,若 b=0,则 ab2>cb2 不成立. 1 1 1 1 2-x x-2 91、D 解析 < ? - <0? <0? >0?x<0 或 x>2. 92、B x 2 x 2 2x 2x 93、B 解析 作出可行域如图所示,直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值, a 由图象可知-1<-2<2,即-4<a<2.

94、B 解析 ∵a2+a<0,∴a(a+1)<0,∴-1<a<0.取 a=-2,可知-a>a2>-a2>a. 95、B 解析 可行域如图阴影,
y 的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率, x-1

1

y y 易求得 >1 或 <-1. x-1 x-1 b 5 1 1 96、 A 解析 由题意知, a<0, -a=6, ∴a=-6, b=5.∴x2-5x+6<0 的解是(2,3). a=-6, 97、D [∵a<0,-1<b<0,∴ab>0,ab2<0,∴ab>a,ab>ab2. ∵a-ab2=a(1-b2)=a(1+b)(1-b)<0,∴a<ab2.∴a<ab2<ab.] 98、C 99、A [∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=(2a2-4a)-(a2-2a-3)=a2-2a+3 =(a-1)2+2>0.∴M>N.] 100、B [∵x2-ax-12a2<0(a<0)?(x-4a)(x+3a)<0?4a<x<-3a.] 101、 (A) 102、 (D) 103、 (C) 104、 (D) 105、 (B) 106、D 解析 选项 A 中,x>0 时,y≥2,x<0 时,y≤-2;选项 B 中,cos x≠1,故最小 x2+3 x2+2+1 1 3 2 值不等于 2; 选项 C 中, 2 = = x2+2+ 2 , 当 x=0 时, ymin= 2 . 2 x +2 x +2 x +2 4 4 选项 D 中,ex+ x-2>2 ex·x-2=2,当且仅当 ex=2,即 x=ln 2 时,ymin=2,适合. e e

37

107、D 108、C [可行域如阴影,当直线 u=x+3y 过 A(-2,-2)时,
2 2 2 2 8 u 有最小值(-2)+(-2)×3=-8;过 B(3,3)时 u 有最大值3+3×3=3.

8 ∴u=x+3y∈[-8, ].∴z=|u|=|x+3y|∈[0,8].故选 C.] 3 109、D [取 a=1,b=3,可验证 A、B、C 均不正确,故选 D.] ?x>0 ?x>0 ? ? ?x≤0 ?x≤0 ? 110、A [f(x)≥x2?? 或? 2 2 ?? 2 2 或 ? ? ?-x+2≥x ?x +x-2≤0 ?x+2≥x ?x -x-2≤0
?x>0 ? ?x≤0 ?? 或? ?-1≤x≤0 或 0<x≤1?-1≤x≤1.] ? ?-2≤x≤1 ?-1≤x≤2

1 1 1 [∵x>1,∴x+ =(x-1)+ +1≥2 ?x-1?· +1=3.∴a≤3.] x-1 ?x-1? x-1 112、B [取 a=0,b=-1,否定 A、C、D 选项.故选 B.] 113、 (D)114、A 115、A 116、C 117、C 118、D 119、A 120、D
111、D

121、D 解析 由 2x+8y-xy=0,得 y(x-8)=2x,∵x>0,y>0,∴x-8>0,得到 y=
则 μ=x+y=x+

2x , x-8

?2x-16?+16 2x 16 16 =x+ =(x-8)+ +10≥2 ?x-8?· +10 x-8 x-8 x-8 x-8 16 =18,当且仅当 x-8= ,即 x=12,y=6 时取“=” . 122、C 123、B x-8 124、答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z(a>0, b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by 2 3 2 3 2a+3b (a>0,b>0)取得最大值 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而a+b=(a+b)· 6 =

13 b a 13 25 6 6 +(a+b)≥ 6 +2= 6 (a=b=5时取等号).
125、A

x-1 x-1 -x-1 x+1 ?x?x+1?≤0 ? ≥ 2 ? - 2 ≥ 0 ? ≥ 0 ? ≤ 0 ? ?-1≤x<0. x x x x ?x≠0

126、 答案 C 解析 作出可行域如图所示 .由于 2x+y=40、x+2y=50 的斜率分别为-2、 1 3 -2,而 3x+2y=0 的斜率为-2,故线性目标函数的倾斜角大于 2x+y=40 的倾斜角 而小于 x+2y=50 的倾斜角,由图知,3x+2y=z 经过点 A(10,20)时,z 有最大值,z

38

的最大值为 70. a+b

127、
a+b

C

128、答案 A 解析 ∵ab-(a+b)=1,ab≤( 2 )2,∴( 2 )2-(a+b)≥1,它是关于
a+b 的一元二次不等式,解得 a+b≥2( 2+1)或 a+b≤2(1- 2)(舍去).∴a+b 有 最小值 2( 2+1).又∵ab-(a+b)=1,a+b≥2 ab,∴ab-2 ab≥1,它是关于 ab 的一元二次不等式,解得 ab≥ 2+1,或 ab≤1- 2(舍去), ∴ab≥3+2 2,即 ab 有最小值 3+2 2. 1 1 1 1 1 1 129、 Da2+ + =a2-ab+ab+ + =a(a-b)+ +ab+ ≥2+2=4. ab a?a-b? ab a?a-b? ab a?a-b? 2 当且仅当 a(a-b)=1 且 ab=1,即 a= 2,b= 2 时取等号. 1 130、D [∵x∈(0,3),∴x-1∈(-1,2),∴(x-1)2∈[0,4),∴f(x)=(x-1)2+ -1 ?x-1?2 1 1 2 ≥2 ?x-1?2· ,且 x∈(0,3), 2-1=2-1=1,当且仅当(x-1) = ?x-1? ?x-1?2 即 x=2 时取等号,∴当 x=2 时,函数 f(x)有最小值 1.] 131、B [设甲用时间 T,乙用时间 2t,步行速度为 a,跑步速度为 b,距离为 s,则 s s 2 2 s a+b s 2s T=a+b=2a+2b=s× 2ab ,ta+tb=s?2t= , a+b s?a+b? ?a+b?2-4ab s?a-b?2 2s ∴T-2t= 2ab - =s× = >0,故选 B.] a+b 2ab?a+b? 2ab?a+b? 1 132、C 解析 ∵-2 和-4是 ax2+bx-2=0 的两根. 1 b -2+?-4?=-a ? ? ?a=-4 ∴ ,∴? ,∴a+b=-13. 1? -2 ?b=-9 ? ?-2?× -4 = a

? ? ? ? ?

?

?

133、D

1 1 1 ?a+b+c ??a+b+c ??a+b+c ? [M=?a-1??b-1??c-1?=? ? -1?? c -1? ? ?? ?? ? ? a -1? ?? b ?? ? b c ?a c? ?a b? bc ac ab + + =?a+a?· · 2 ·· 2 ·=8. a bb cc ? ? ?b b?· ?c c?≥2 a· 1 ∴M≥8,当 a=b=c=3时取“=” .]

二、填空题 134、a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0 135、a>c>b 解析:∵b=
4 7+ 3 ,c= 4 6+ 2 ,显然 b<c.而 a2=2,c2=( 6- 2)2

39

=8-2 12=8- 48<8- 36=2=a ,∴a>c,∴a>c>b. 136、 (-2,-1)∪(0,1)解析:
x(|x|-1)(x+2)<0 0<x<1 或-2<x<-1 ∴原不等式解集为(-2,-1)∪(0,1) 2 2 x 1 x 1 2x-1-x -?x-1? x 1 137、 解析 ∵ 2≤ 2- = 2 = 2 ≤0,∴ 2≤ . 2 2 1+x 1+x 2?1+x ? 2?1+x ? 1+ x 2

2

138、

解析: 设 A={x| |x-2|<a

(a>0) },

B={x| |x -4|<1} 则 A= (2-a, 2+a) , B得

2

,由题意得 A

B,注意到这里 a>0,∴由 A

139、 (-∞,0)∪[2,+∞) ,解析:立足于直面求解:
(x-1)[(a-1)x+1]<0①∴由已知解集得 a-1<0 且 因此,不等式

x(x-2) ≥0(x≠0) x<0 或 x≥2 ∴所求不等式的解集为(-∞,0)∪[2,+∞) 140、[-1,6]解析 ∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,又 1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6. 141、 f(x)>g(x)解析 ∵f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴f(x)>g(x).

142、

解析:由已知得

∴所求 x 的取值范围为

143、 A>B 解析 A=

1 n+ n-1

,B=

1 . n+1+ n

∵ n+ n-1< n+1+ n,并且都为正数,∴A>B.

144、P∩?IQ 解析 ∵g(x)≥0 的解集为 Q,所以 g(x)<0 的解集为?IQ,

40

? ?f?x?<0, 因此? 的解集为 P∩?IQ. ?g?x?<0 ? 1- 5 1+ 5 1 3 x-2?2+ >0,∴(x2-x-1)(x2-x+1)>0 145、{x|x< 2 或 x> 2 }解析 ∵x2-x+1=? ? ? 4 1 - 5 1+ 5 可转化为解不等式 x2-x-1>0,由求根公式知,x1= 2 ,x2= 2 . ? 1- 5 1+ 5? ? ∴x2-x-1>0 的解集是?x|x< 或 x > 2 2 ? ? ? 1- 5 1+ 5 ? ?. ∴原不等式的解集为?x|x< 或 x > 2 2 ? ? 146、k≤2 或 k≥4 解析 x=1 是不等式 k2x2-6kx+8≥0 的解,把 x=1 代入不等式得 k2-6k+8≥0,解得 k≥4 或 k≤2. ?a>0 ? 147、0≤a≤4 解析 a=0 时,A=?;当 a≠0 时,A=??ax2-ax+1≥0 恒成立?? ?Δ≤0 ? ?0<a≤4,综上所述,实数 a 的取值范围为 0≤a≤4. 2 ?x +2x-3≤0, 148、{x|-3≤x<-2 或 0<x≤1}解析 ∵? 2 ∴-3≤x<-2 或 0<x≤1. ?x +2x>0,

149、a≥1 解析 ∵Δ=4-4a≤0,∴a≥1. 150、 {x|x<-2 或 x>3} 151、4 解析
x- a >0?(x+1)(x-a)>0?(x+1)(x-4)>0∴a=4. x+ 1 5x+6y≥50, ? ?10x+20y≥140, 设需租赁甲种设备 x 台,乙种设备 y 台,则? x∈ N , ? ?y∈N .
* *

152、2 300 解析

目标函数为 z=200x+300y.作出其可行域,易知当 x=4,y=5 时, z=200x+300y 有最小值 2 300 元. 153、90 解析

11 9 该不等式组表示平面区域如图阴影所示,由于 x,y∈N*,计算区域内与点? 2 ,2?最近

?

?

的整点为(5,4),当 x=5,y=4 时,z 取得最大值为 90. x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 画出不等式组? y≥0, ? ?x+2y-3≥0 y y-0 对应的平面区域 Ω,x= 表示平面区 x-0

154、 2 解析

41

y 域 Ω 上的点 P(x,y)与原点的连线的斜率.A(1,2),B(3,0),∴0≤x≤2.

155、 (?3, 3)

156、 O 在区域外, M 在区域内

157、六

158、答案

?x+2y-1≥0 ?x-y+2≥0 ?2x+y-5≤0

解析

如图直线 AB 的方程为 x+2y-1=0(可用两点式或点斜式写出). 直线 AC 的方程为 2x+y-5=0,直线 BC 的方程为 x-y+2=0, 把(0,0)代入 2x+y-5=-5<0,∴AC 左下方的区域为 2x+y-5<0.

?x+2y-1≥0 ∴同理可得△ABC 区域(含边界)为?x-y+2≥0 ?2x+y-5≤0

159、1 , ?3

?-1<x+y<4, 160、 (3,8)解析 由? 得平面区域如图阴影部分所示. ?2<x-y<3

?x+y=-1, ?x=1, ?x+y=4, ?x=3, 由? 得? 由? 得? ∴2×3-3×1<z=2x-3y< ?x-y=3 ?y=-2. ?x-y=2 ?y=1. 2×1-3×(-2),即 3<z<8,故 z=2x-3y 的取值范围是(3,8). 161、 7 解析 作出可行域如图所示.

42

由图可知,z=2x+3y 经过点 A(2,1)时,z 有最小值,z 的最小值为 7.

? x ? y ? 3 ≤ 0, ? 1 162、答案: ? y ≤ x ? 1, 163、 2 ? x ? 5 y ≤ 3. ?

164、3600

165、

2 ?1 2

166、对

167、 1 168、 答案 -1<a≤0 解析 根据题意,分以下两种情况:
?a>0 ? ①原点(0,0)在该区域内,点(1,1)不在该区域内.则? .无解. ?a+1≤0 ?

?a≤0 ②原点(0,0)不在该区域内,点(1,1)在该区域内,则? ,∴-1<a≤0. ?a+1>0 综上所述,-1<a≤0. 7 169、答案 4 解析

如图所示,区域 A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形,当 a 从-2 连 1 3 续变化到 1 时扫过的区域为四边形 ODEC 所围成的区域.又 D(0,1),B(0,2),E?-2,2?, ? ? 1 7 C(-2,0).S 四边形 ODEC=S△OBC-S△BDE=2- = . 4 4

170、答案 6 解析

?x∈N 由题意点(x,y)的坐标应满足?y∈N ?x+y≤2

,由图可知,整数点有(0,0),

(1,0),(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6 个.

171、答案 0<a≤1 或 a≥3 解析

4

43

2 2 不等式表示的平面区域如图所示,当 x+y=a 过 A?3,3?时表示的区域是△AOB,

?

?

4 4 此时 a=3; 当 a>3时, 表示区域是△AOB; 当 x+y=a 过 B(1,0)时表示的区域是△DOB, 4 此时 a=1;当 0<a<1 时可表示三角形;当 a<0 时不表示任何区域,当 1<a<3时,区域 4 是四边形.故当 0<a≤1 或 a≥ 时表示的平面区域为三角形. 3 172、20 24 解析 设每天生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,总利润为 S 万元, 依题意约束条件为:

? ?4x+5y≤200, ?3x+10y≤300, x≥15, ? ?y≥15,
9x+4y≤300, 目标函数为 S=7x+12y.从图中可以看出,当直线 S=7x+12y 经过点 A 时,直线的纵 ?4x+5y-200=0, 截距最大,所以 S 也取最大值.解方程组? ?3x+10y-300=0, 得 A(20,24),故当 x=20,y=24 时,Smax=7×20+12×24=428(万元). x y xy x y 173、答案 3 解析 ∵x>0,y>0 且 1=3+4≥2 12,∴xy≤3.当且仅当3=4时取等号. 174、答案 8 解析 ∵A(-2,-1)在直线 mx+ny+1=0 上,∴-2m-n+1=0, 1 2 2m+n 4m+2n n 4m 即 2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0.∴m+n= m + n =2+m+ n +2≥4 n 4m n 4m 1 1 1 2 +2· m·n =8,当且仅当m= n ,即 m=4,n=2时等号成立.故m+n的最小值为 8. x+ y x+y 175、答案 2解析 ∵ 2 ≤ 2 成立,∴ x+ y≤ 2· x+y,∴a≥ 2. 176、答案 2 解析 ∵lg x+lg y=1,∴xy=10,x>0,y>0, 2 5 2 x ∴x +y=x +2≥2(x=2 时取等号).

44

x +3x+1 1 1 x ,+∞?解析 ∵x>0,∴ 2 177、答案 ? >0 ,易知 a >0. ∴ ≥a, x ?5 ? x +3x+1 1 1 1 ∴a≤x+x +3,∵x>0,x+x+3≥2 1 1 1 x· x +3=5(x=1 时取等号),∴a≤5.∴a≥5.

2

1 ? 1 178、 大 -1 解析 ∵a<1,∴a-1<0,∴-? ≥2 ?a-1+a-1?=(1-a)+ ? ? 1-a 1 1 (a=0 时取等号),∴a-1+ ≤-2,∴a+ ≤-1. a-1 a-1 179、答案 1 760 解析 设水池的造价为 y 元,长方形底的一边长为 x m,由于底面积为 4? 4 ?2x+2· ?x+4? 4 m2,所以另一边长为x m.那么 y=120· 4+2· 80· x?=480+320? x? ? 4 ≥480+320· 2 x·=1 760(元).当 x=2,即底为边长为 2 m 的正方形时,水池的造价 x 最低,为 1 760 元. 180、答案 9 解析 ∵a+b-ab+3=0,∴ab=a+b+3≥2 ab+3,令 ab=t,则 t2≥2t+3.解得 t≥3(t≤-1 舍).即 ab≥3.∴ab≥9.当且仅当 a=b=3 时,取等号. 181、答案 9 解析 ∵x>-1,∴x+1>0,设 x+1=t>0,则 x=t-1, ?t+4??t+1? t2+5t+4 4 4 4 于是有 y= = =t+ t +5≥2 t· t t t +5=9,当且仅当 t= t ,即 t=2 ?x+5??x+2? 时取等号,此时 x=1,∴当 x=1 时,函数 y= 取得最小值为 9. x+1 400 182、20 解析 该公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,则需要购买 x 次,运 费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为 400 400 1 600 ( x · 4+4x)万元, x · 4+4x≥160,当 x =4x 即 x=20 吨时,一年的总运费与总存 储费用之和最小. x+3z x2+9z2+6xz y2 183、答案 3 解析 由 x-2y+3z=0,得 y= 2 ,将其代入xz,得 ≥ 4xz 6xz+6xz y2 = 3 ,当且仅当 x = 3 z 时取 “ = ” ,∴ 4xz xz的最小值为 3. 2 t -4t+1 1 184、-2 解析 ∵t>0,∴y= =t+ t -4≥2-4=-2. t 185、-2<a≤2 解析 当 a=2 时,-4<0 恒成立,∴a=2 符合.当 a-2≠0 时, 则 a 应满足: ?a-2<0 ? 解得-2<a<2,综上所述,-2<a≤2. ?Δ=4?a-2?2+16?a-2?<0 25 49 186、( 9 ,16]解析 由(2x-1)2<ax2 成立可知 a>0,整理不等式可得(4-a)x2-4x+1<0,由 于该不等式的解集中的整数恰有 3 个,则有 4-a>0,即 a<4,故 0<a<4,解得不等式 2- a 2+ a 2- a 2+ a 1 1 1 有 <x < ,即 <x < ,亦即4< <x< , 4-a 4-a ?2+ a??2- a? ?2+ a??2- a? 2+ a 2- a 1 25 49 要使该不等式的解集中的整数恰有 3 个,那么 3< ≤4,解得 <a≤ . 9 16 2- a

45

187、A<B 188、5≤a<7 解析 先画出 x-y+5≥0 和 0≤x≤2 表示的区域,再确定 y≥a 表示的区域.

由图知:5≤a<7. 189、答案 [-1,0]解析 由 f(x)= 2x -2ax-a-1的定义域为 R.可知 2x2-2ax-a≥1 恒 成立,即 x2-2ax-a≥0 恒成立,则 Δ=4a2+4a≤0,解得-1≤a≤0. 190、{x|-5<x<1 或 x>6} 191、 {x | ?2 ? x ? 0, 或0<x<2} v 400+16?20?2 ? ? 400 16v 192、8 解析 这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 t,则 t= = v +400 v 400 16v 400 16v ≥2 × = 8( 小时 ) , 当且仅当 即 v=100 时等号成立, 此时 t=8 小时. v 400 v =400,
2

1 1 1 1 193、 ( ?1, ) 194、 ? ? 195、[0,784) 196、20 2 a b a?b 197、 -x ? y ? -y ? -xy ? x 198、答案 x6+1>x4+x2 解析 x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1),∵|x|≠1,∴x2-1>0,∴x6+1>x4+x2.

199、 (?? ,1 ] 200、②⑥解析 ①若 a>0,b<0,则a>b,故①不成立;②∵y=x3 在 x∈R 上单调递增,且
a>b.∴a3>b3,故②成立;③取 a=0,b=-1,知③不成立;④当 c=0 时,ac2=bc2 =0,2ac2=2bc2,故④不成立;⑤取 a=1,b=-1,知⑤不成立;⑥∵a2+b2+1- 1 (ab+a+b)= [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0,∴a2+b2+1>ab+a+b,故⑥成立. 2 1 1

三、解答题

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