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2018-2019届高三数学(文)一轮总复习(人教通用)课件:第8章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系_图文

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 相离 图形 方程观点 量化 几何观点 Δ__0 < d__ >r 相切 相交 Δ__0 = d= __r Δ__0 > d< __r 相离 外切 相交 内切 内含 图形 > r1 量的 d _____ 关系 + r2 ____ d=r1 _____ |r1-r2|< ________ d<r1+r2 ________ + r2 ____ <|r1-r2| d =|r1-r2| d _________ _________ 1.(教材习题改编)直线y=ax+1与圆x2+y2-2x-3=0的 位置关系是 A.相切 C.相离 B.相交 D.随a的变化而变化 ( ) 解析:∵直线y=ax+1恒过定点(0,1),又点(0,1)在圆 (x-1)2+y2=4的内部,故直线与圆相交. 答案:B 2.(教材习题改编)已知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5,则直线 l 的 方程为________. 答案:x+2y+9=0或2x-y+3=0 3.已知圆 C:x2+y2-6x+8=0,则圆心 C 的坐标为________; 若直线 y=kx 与圆 C 相切, 且切点在第四象限, 则 k=_______. 解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=1,故圆心坐标为(3,0); |3k| 2 由 2=1,解得 k=± 4 ,根据切点在第四象限,可得 k 1+k 2 =- 4 . 答案:(3,0) 2 -4 1.对于圆的切线问题,尤其是圆外一点引圆的切线,易忽 视切线斜率 k 不存在的情形. 2.两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形. 1.过点(2,3)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线的方程为_______. 解析:设圆的切线方程为y=k(x-2)+3, 由圆心(1,0)到切线的距离为半径1, 4 得k=3, 所以切线方程为4x-3y+1=0, 又直线x=2也是圆的切线, 所以直线方程为4x-3y+1=0或x=2. 答案:x=2或4x-3y+1=0 2.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数 a=________. 答案:± 2 5或0 解析 2.(易错题)(2016· 西安一模)直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R) 与圆 x2+y2-2x+2y-7=0 的位置关系是 A.相切 C.相离 B.相交 D.不确定 ( ) 解析 3.(2015· 大连双基测试)圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共 点的充要条件是________. 解析:法一:将直线方程代入圆方程,得(k2+1)x2+4kx + 3 = 0 ,直线与圆没有公共点的充要条件是 Δ = 16k2 - 12(k2+1)<0,解得 k∈(- 3, 3). 2 法二:圆心(0,0)到直线 y=kx+2 的距离 d= 2 ,直线 k +1 与圆没有公共点的充要条件是 d>1, 2 即 2 >1,解得 k∈(- 3, 3). k +1 答案:k∈(- 3, 3) 解析 2.(2015· 宜昌二模)若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay-6=0的 公共弦长为2 3,则a的值为 A. 2 C. 1 B. ± 2 D. ± 1 ( ) 解析:设圆 x2+y2=a2 的圆心为 O,半径 r=|a|,将 x2+ y2=a2 与 x2+y2+ay-6=0 联立,可得 a2+ay-6=0,即 公共弦所在的直线方程为 a2+ay-6=0,原点 O 到直线 a +ay-6=0 2 ?6 ? 的距离为?a-a?,根据勾股定理可得 ? ? a2=3 ?6 ? +?a-a?2,解得 ? ? a=± 2. 答案:B [由题悟法] 1.圆的切线方程的 2 种求法 (1)代数法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),与圆的方程 组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式 Δ=0 进而求得 k. (2)几何法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),利用点到直 线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d,然后令 d=r,进 而求出 k. [提醒] 若点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上,则过 M 点的 圆的切线方程为 x0x+y0y=r2. 2.弦长的 2 种求法 (1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得 到一个一元二次方程.在判别式 Δ>0 的前提下,利用根与 系数的关系,根据弦长公式求弦长. (2)几何方法:若弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l =2 r2-d2. [提醒] 代数法计算量较大,我们一般选用几何法. 解析 2.一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3)2 +(y-2)2=1 相切, 则反射光线所在直线的斜率为 ( 5 3 A.-3或-5 5 4 C.-4或-5 3 2 B.-2或-3 4 3 D.-3或-4 ) 解析 (2015· 合肥二模)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,则ab的最大值为 ( 6 A. 2 9 C. 4 3 B. 2 D. 2 3 ) [解析] =2+1=3, 由圆C1与圆C2相外切,可得 ?a+b?2+?-2+2?2 即(a+b)2=9, ?a+b? ? ?2 9 根据基本不等式可知ab≤? ? =4, ? 2 ? 当且仅当a=b时等号成立. [答案] C [越变越明] [变式 1] 母题条件不变,试求 a2+b2 的最小值. 解:由母题可知(a+b)2=9, 2 ? a2+b2 ? ? a + b ? a + b ?2 2 2 又由基本不等式 ≥? ,可知 a + b ≥ , ? 2 ? 2 2 ? ? 9 ∴a +b ≥ ,当且仅当 a=b 时“=”成立. 2 2

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