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正弦定理与余弦定理


第三章
三角函数、解三角形

?第21讲

正弦定理、余弦定理

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真 题 体 验
1.(2013 湖南卷理.3)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边 长分别为 a,b,若 2asinB= 3b,则角 A 等于( π A.12 π C. 4 π B.6 π D. 3 )

D 由正弦定理可得 2sinAsinB= 3sinB,又 sinB≠0,所以 3 π 可得 sinA= 2 ,又 A 为锐角,故 A=3,选 D.
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2.(2012 天津理.6)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边 分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=( 7 A.25 7 C.± 25 7 B.-25 24 D. 25 )

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A

本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公

式.考查学生分析、转化与计算等能力. ∵8b=5c,由正弦定理得 8sinB=5sinC,又∵C=2B,∴ 8sinB=5sin2B, 所以 8sinB=10sinBcosB, 易知 sinB≠0, ∴cosB 4 7 2 = ,cosC=cos2B=2cos B-1= . 5 25

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3.(2013陕西卷理.7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分 别为 a , b , c ,若 bcosC + ccosB = asinA ,则△ ABC 的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形
B

D.不确定

结合已知bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理代入

可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,sin(B+C)=sin2A,sinA= sin2A,sinA=1,故A=90°,故三角形为直角三角形.

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4.(2013 福建卷理.13)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 2 2 边上,AD⊥AC,sin∠BAC= 3 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为__________.

3

π π 2 设∠BAD=θ,则∠BAC=θ+ ,sin(θ+ )= 2,所 2 2 3 2 , △ ABD 中 , 由 余 弦 定 理 得 BD =

2 以 cosθ = 3

AB2+AD2-2AB· AD· cosθ= 3.
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5.(2013 江西卷文.17)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; 2π a (2)若 C= 3 ,求b的值.

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解: (1) 由已知得 sinAsinB + sinBsinC + 1 - 2sin2B = 1. 故 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B.因为 sinB 不为 0,所以 sinA+sinC =2sinB,再由正弦定理得 a+c=2b,所以 a,b,c 成等差数列. (2)由余弦定理,知 c2=a2+b2-2abcosC,得(2b-a)2=a2 2π a 3 +b -2abcos ,化简得 = . 3 b 5
2

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命 题 解 读 近5年高考 重要度 命题分值 ★★★ ★★

高频考点 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解 决一些简单的三角形度量问题. 2.能合理地选用正弦定理、余弦定 理,结合三角形的性质解斜三角

形;能解决与三角形相关的一些实
际问题.

★★★ ★★

12分

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考 点 梳 理

考点 1 正弦定理 a b c 其中 R 是三角形外接圆的半径. 由 sinA=sinB=sinC=2R, 正弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC; (2)a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C ; a b c (3)sinA= ,sinB= ,sinC= 等形式,以解决不同的 2R 2R 2R 三角形问题.
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考点 2 余弦定理

b2+c2-2bccos A , b2 = ________________ a2+c2-2accos B , c2 = a2 = ________________
2 2 2 b + c - a a2+b2-2abcos C . _________________ 余弦定理可以变形为: cos A= , 2bc

a2+c2-b2 a2+b2-c2 cos B= ,cos C= . 2ac 2ab

考点 3 解三角形 1 1 1 abc 1 S△ABC=2absin C=2bcsinA=2acsinB= 4R =2(a+b+c)· r(R 是三角形外接圆半径,r 是三角形内切圆的半径),并可由此计 算 R,r.
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考点4 三角形形状的判定
已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情 况.如已知a,b,A,则 A为锐角 图形 A为钝角 或直角

关系式
解的 个数

a< bsinA 无解

a= bsinA 一解

bsinA <a<b 两解

a≥b
一解

a>b
一解

a≤b
无解

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一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也 较大,正弦值较大的角也较大,即在△ ABC 中, A > B?a >

b?sinA>sinB.

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两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及

任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边
或角.情况 (2) 中结果可能有一解、两解、无解,应注意区 分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和

其他两角;(2)已知三边,求各角.
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1) 化边为角; (2) 化角为边,并常用正弦 ( 余弦 ) 定理实施 边、角转换.
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题型 1 利用正弦定理解三角形 【例 1】(2014 山东师大附中模拟)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列, 则 B=( π A.6 π C.3 ) π B.4 2π D. 3

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【解析】 因为 acosC, bcosB, ccosA 成等差数列, 所以 acosC + ccosA = 2bcosB ,根据正弦定理可得 sinAcosC + sinCcosA = 2sinBcosB,即 sin(A+C)=2sinBcosB,即 sinB=2sinBcosB,所 1 π 以 cosB=2,即 B=3,选 C.
【答案】C

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【例 2】 (2014 江西师大附中月考)在锐角△ABC 中, BC=1, AC B=2A, 则cosA的值等于________; AC 的取值范围为________.
【解析】 本题主要考查正弦定理和三角函数的取值范围. ∵ BC B = 2A ,所以 sinB = sin2A = 2sinAcosA ,由正弦定理得 = sinA AC BC AC AC sinB,即sinA=2sinAcosA,所以cosA=2BC=2,△ABC 为锐角 三角形,

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π π π π 则 0<A< ,且 0<B< ,即 0<2A< ,则有 0<A< ,且有 A+ 2 2 2 4 π π π π π 2 3 B=3A∈( ,π),所以 <A< ,故有 <A< ,∴ <cosA< ,所 2 6 3 6 4 2 2 以 2<2cosA< 3, 即 2<AC< 3, 故 AC 的取值范围为( 2, 3).
【答案】2 ( 2, 3)

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【点评】(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只 需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另

一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注
意.

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【变式训练 1】已知△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、 C 的对边,a= 2,b= 3,B=60° ,则 A=( A.135° C.135° 或 45° B.45° D.90° )

a b 2 3 【解析】 依题意, 由正弦定理sin A=sin B得, , sin A=sin 60° 2 解得 sin A= 2 ,又 b>a,∴A=45° ,故选 B.
【答案】B

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【变式训练 2】 若△ABC 的内角 A、 B、 C 满足 sinA∶sinB∶ sinC=2∶3∶3,则 cosB=( 1 A.4 1 C. 2 ) 1 B.3 2 D. 3

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【解析】 根据正弦定理知 sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=2∶ a2+c2-b2 3∶3,不妨设 a=2k,k>0,则 b=c=3k,所以 cosB= 2ac 4k2+9k2-9k2 1 = = ,选 B. 12k2 3

【答案】B

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题型 2 利用余弦定理解三角形 【例 3】(2014 九江七校联考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sinC=2 3sinB,则 A=________. 【解析】本题考查利用余弦定理解三角形.
由 sinC=2 3sinB 得,c=2 3b,由 a2-b2= 3bc 得,a2
2 2 2 b + c - a -b2= 3b2 3b,a2=7b2,由余弦定理得, cosA= 2bc

b2+12b2-7b2 3 π = = ,所以 A= . 2 6 2b2 3b π 【答案】6
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【例 4】在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, cosB b 且cosC=- . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

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cosB b 【解析】由 =- ,利用余弦定理转化为边的关系 cosC 2a+c 求解. a2+c2-b2 (1)由余弦定理知:cosB= , 2ac a2+b2-c2 cosC= . 2ab

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cos B b 将上式代入cos C=- 得: 2a+c a2+c2-b2 2ab b ·2 =- , 2ac a +b2-c2 2a+c 整理得:a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cosB= 2ac = 2ac =-2. 2 ∵B 为三角形的内角,∴B=3π.

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(2)将 b= 13,a+c=4, 2 B=3π 代入 b2=a2+c2-2accos B, 得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B,
? 1? ∴13=16-2ac?1-2?,∴ac=3. ? ?

1 3 3 ∴S△ABC= acsinB= . 2 4

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【点评】(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化 边进行变形是迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、

方程思想在解题过程中的运用.

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【变式训练 3】在△ABC 中,解 A、B、C 的对边分别为 a、 b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,则角 B 的值是( π A.6 π 5π C. 或 6 6 π 2π B.3或 3 π D. 3 )

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3ac 【解析】由(a +c -b )tanB= 3ac 得,a +c -b = , tanB
2 2 2 2 2 2

a2+c2-b2 a2+c2-b2 根据余弦定理得 cosB= 2ac ,所以 cosB= 2ac = 3 3 3 π 2π 2tanB,即 tanBcosB= 2 ,即 sinB= 2 ,所以 B=3或 B= 3 , 选 B.
【答案】B

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题型 3 利用正、余弦定理判断三角形形状 a b c 【例 5】在△ABC 中,若 = = ;则△ABC cos A cos B cos C 是( ) A.直角三角形 C.钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

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【解析】由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半径). sin A sin B sin C ∴cos A=cos B=cos C. 即 tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.
【答案】B

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【点评】判断三角形的形状的基本思想是;利用正、余弦 定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系 式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件

化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的
关系.

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【变式训练 4】 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的
和是( ) B.120° D.150° A.90° C.135°

52+82-72 【解析】 边 7 对角为 θ, 则由余弦定理可知 cosθ= 2×5×8 1 = ,所以 θ=60° ,所以最大角与最小角的和为 120° ,选 B. 2

【答案】B

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题型 4

正、余弦定理的综合应用

【例 6】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c, C 10 已知 sin 2 = 4 . (1)求 cosC 的值; 3 15 13 2 2 2 (2)若△ABC 的面积为 4 ,且 sin A+sin B=16sin C,求 a,b,c 的值.

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10 2 5 1 【解析】(1)cosC=1-2sin =1-2×( ) =1- =- 2 4 4 4 13 2 13 2 2 (2)∵sin A+sin B=16sin C,由正弦定理可得:a +b =16
2 2

2C

c2 1 15 2 由(1)可知 cosC=-4,0<C<π,∴sinC= 1-cos C= 4 1 3 15 S△ABC= absinC= ,得到 ab=6 2 4

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由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC 13 2 可得 c =16c +3c2=16,c>0,∴c=4
2 2 2 ? ?a +b =13 由? ? ?ab=6

? ?a=3 可得? ? ?b=2

? ?a=2 或? ? ?b=3



?a=3 ? 所以?b=2 ?c=4 ?

?a=2 ? 或?b=3 ?c=4 ?

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【点评】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三 角形都成立, 通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中, 通过解方程组获得更多的元素, 再通过这些新的条件解决问题.

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4 【变式训练 5】在△ABC 中,已知 A=45° ,cosB= . 5 (1)求 sinC 的值; (2)若 BC=10,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

4 3 【解析】(1)∵三角形中,cosB=5,所以 B 锐角∴sinB=5, 7 2 所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 10 .

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(2)三角形 ABC 中,由正弦定理得 AB BC sinC=sinA,∴AB=14, 又 D 为 AB 中点,所以 BD=7 在三角形 BCD 中,由余弦定理得∵ CD2 = BC2 + BD2 - 2BC· BD· cosB=37. ∴CD= 37.

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