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湖南省长沙市一中2015届高三上学期期末统考(数学理)

湖南省长沙市第一中学第六次月考数学问卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.已知向量 a、b 的夹角为 60° 且|a|=2,|b|=3,则 a2+a· b= ( A ) A. 7 B. 10 C.10 D.49

2.下列命题中,m,n 表示两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 表示三个不同的平面. ①若 m ? ? , n // ? , 则m ? n; ②若 a ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ;③若 m // a, n // ? ,则 m // n ; ④若 ? // ? , ? // ? , m ? ? , 则m ? ? .正确的命题是( C )

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 2 3.已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应法则 f:x→y=x -2x+2.若对实数 k∈B,在集合 A 中不存 在原象,则 k 的取值范围是 ( B ) A.k≤1 B.k<1 C.k≥1 D.k>1 4.函数 f(x)=sin2x+ 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是 , ?4 2? ?
C.

( C )

A.1

B.

1? 3 2

3 2

D.1+ 3

5. 如图 S 为正三角形 ABC 所在平面外一点, 且 SA=SB=SC=AB, E、 F 分别为 SC、AB 中点,则异面直线 EF 与 SA 所成角为(C) A.90? B.60? C.45? D.30? 6. 某外商计划在 5 个候选城市投资 3 个不同的项目, 且在同一个城市 投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( D ) A.60 种 B.70 种 C.80 种 D.120 种 7.已知某正项等差数列 ?an ? ,若存在常数 t ,使得 a 2 n ? ta n 对一切 n ? N 成立,则 t 的集
*

合是

(B) A. ? 1? B. ? 1,2? C. ?2? D. ? ,2?

?1 ? ?2 ?

8.已知长方形的四个顶点 A(0,0),B(2,0),C(2,1)和 D(0,1).一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后, 依次反射到 CD、 DA 和 AB 上的点 P2、P3 和P4 (入射角等于反射角).设 P4 的坐标为 (x 4 ,0).若1 ? x 4 ? 2, 则 tanθ 的取值范围是 ( C )

?1 ? ?1 2? A.? ,1? B.? , ? ?3 ? ?3 3?

?2 1? C.? , ? ?5 2?

?2 2? D.? , ? ?5 3?

2 x 9.已知 a ? 0 且 a ? 1 , f ( x) ? x ? a ,当 x ? ?? 1,1? 时均有 f ( x) ?

1 ,则实数 a 的取值 2

范围是 C
1

A. ? 0, ? ? ?2,??? 2

? ?

1? ?

B. [ ,1) ? (1,4]

1 4

C. [ ,1) ? (1,2]

1 2

D. (0, ] ? [4,?? )

1 4

10 .设 A 、 B 、 C 、 D 是半径为 R 的球面上的四点,且满足 AB ? AC , AD ? AC ,

AB ? AD ,则 S?ABC ? S?ABD ? S?ACD 的最大值是
A. R
2

( B D. 4 R
2



B. 2 R

2

C. 3 R

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 11.二项式 ( 3 x ?

2 15 ) 的展开式中,常数项为第 x

7

项。

12 某气象台预报每天天气的准确率为 0.8,则在未来 3 天中,至少有 2 天预报准确的概率是 为 。0.896 13.已知 F 是抛物线 C:y 2 ? 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A,B 两点.设

FA ? FB ,则 FA 与 FB 的比值等于

.3

?x ? y ? 6 ?x ? y ? 2 ? 14.已知变量 x 、 y 满足条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 ),仅在(4, x ? 0 ? ? ?y ? 0 2)处取得最大值,则 a 的取值范围是 _ a>1
15.设定义域为[x1,x2]的函数 y=f(x)的图象为 C,图象的两个端点分别为 A、B,点 O 为 → =(x ,y ) → =(x ,y ) → =(x,y) 坐标原点,点 M 是 C 上任意一点,向量OA ,OB ,OM ,
1 1 2 2

→ =λOA → +(1-λ)OB → ,现定义“函数 y=f 满足 x=λx1+(1-λ)x2(0<λ<1) ,又有向量ON → |≤k 恒成立,其中 k>0,k 为常数。根据 (x)在[x1,x2]上可在标准 k 下线性近似”是指|MN 上面的表述,给出下列结论:①A、B、N 三点共线;②直线 MN 的方向向量可以为→ a =(0, 5 1) ;③“函数 y=5x2 在[0,1]上可在标准 下线性近似”.④“函数 y=5x2 在[0,1]上可在标准 4 1 、○ 2 、○ 3 1 下线性近似”; 其中所有正确结论的序号为_______________.○ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 口袋中有大小、质地均相同的 8 个球,4 个红球,4 个黑球,现在中任取 4 个球. (1)求取出的球颜色相同的概率; (2)若取出的红球数不少于黑球数,则可获得奖品,求获得奖励的概率. 16.解: (1)取出 4 个球都是红球,
4 C4 1 ? ; ………………………………………(2 分) 4 C8 70

取出 4 个球都是黑球,

4 C4 1 ? ;………………………………………………………(4 分) 4 C8 70

2

∴取出 4 球同色的概率为

1 1 1 ? ? . ………………………………………………… (6 分) 70 70 35

(2)取出 4 个红球,

4 C4 1 ? ;…………………………………………………………(7 分) 4 C8 70

3 1 C4 C 8 取出 3 红 1 黑, 4 4 ? (9 分) ; ……………………………………………………………… 35 C8 2 2 C4 C4 18 ? ; ……………………………………………………………(11 分) C84 35

取出 2 红 2 黑,

∴获奖概率为

1 8 18 53 ? ? . ……………………………………………………(12 分) + 70 35 35 70

17. (本小题满分 12 分) △ ABC 中,角 A、B、 C 的对应边分别为 a,b, c,且满足

a 2 ? ab ? b 2 ? c 2 .
(1)求角 C; (2)若△ ABC 的周长为 2,求△ ABC 面积的最大值。

a2 ? b2 ? c2 1 ? 解:(1) cosC ? 2ab 2
(2)由 ?

?C ?

?
3

……………………4 分

?a ? b ? c ? 2
2 2 2 ?a ? ab ? b ? c

? 3ab ? 4 ? 4(a ? b) ……………………8 分
故 3ab ? 4 ? 8 ab 故当 a ? b ?

ab ? 2 (舍)或 ab ?

2 4 ? ab ? 3 9

2 3 时, S ?ABC最大值为 ………………12 分 3 9

18. (本小题满分 12 分) 如图 1, 在矩形 ABCD 中,AB ? 2, AD ? 1, E 是 CD 的中点, 以 AE 为折痕将 ?DAE 向上折起,使 D 为 D ? ,且平面 D?AE ? 平面 ABCE . (Ⅰ)求证: AD ? ? EB ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABD? 所成角的正弦值.

D

E

C

D?
E

C
B

A

B
图1
3

A

解(Ⅰ)在 Rt ?BCE 中, BE ? 在 Rt ?AD?E 中, AE ?
2 2 2

BC 2 ? CE 2 ? 2 ,

D?A2 ? D?E 2 ? 2 ,
2

∵ AB ? 2 ? BE ? AE , ∴ AE ? BE .……(2 分) ∵平面 AED ? ? 平面 ABCE ,且交线为 AE , ∴ BE ? 平面 AED? .……(4 分) ∵ AD ? ? 平面 AED? , ∴ AD ? ? BE .……(5 分) (Ⅱ)设 AC 与 BE 相交于点 F ,由(Ⅰ)知 AD ? ? BE , ∵ AD? ? ED? , ∴ AD ? ? 平面 EBD? , ∵ AD ? ? 平面 AED? , ∴平面 ABD ? ? 平面 EBD? ,且交线为 BD? , 如图 2,作 FG ? BD? ,垂足为 G ,则 FG ? 平面 ABD? , 连结 AG ,则 ?FAG 是直线 AC 与平面 ABD? 所成的角.……(8 分) 由平面几何的知识可知

EF EC 1 1 2 ? ? ,∴ EF ? EB ? .……(9 分) FB AB 2 3 3

在 Rt ?AEF 中, AF ?

AE 2 ? EF 2 ? 2 ?

2 2 5 ,……(10 分) ? 9 3

在 Rt ?EBD? 中,

FG D?E 2 6 ? ,可求得 FG ? .……(11 分) FB D?B 9

2 6 FG 30 ? 9 ? ∴ sin ?FAG ? .……(12 分) AF 2 5 15 3
∴直线 AC 与平面 ABD? 所成的角的正弦值为

30 . 15
A E D

19. (本小题满分 13 分) 一位救生员站在边长为 100 米的正方 形游泳池 ABCD 的 A 处(如图) ,发现 C 处有一位溺水者.他 跑到 E 处后, 马上跳水沿直线 EC 游到 C 处, 已知救生员跑步的

v 速度为米 v /分,游泳的速度为 米/分. 试问,救生员选择 2
在何处入水才能最快到达 C 处,所用的最短时间是多少?

B

C

4

解析:方法一: 设 AE=x(米) ,所用时间,
2 x 2 100 ? ?100 ? x ? t? ? .……(2 分) v v 2
2 2 令 y =x + 100 ? (100 ? x)

x ? (0, ??)

由 y’=0,得 1 ?

2(x-100) 1002 ? (100 ? x)2

? 0 ,……(8 分)

解得 x ? 100 ?

100 3 (“+”舍),……(10 分) 3 100 3 时,所用时间最少.……(12 分) 3 100 3 米处入水,才能最快到达 C 处,所用的最短时 3

所以 AE ? 100 ?

也即,救生员应该在 AB 边上距 B 点

间为 t ?

100 ? 100 3 . v
100 ,所以, sin ?

方法二:设 ?CEB ? ? ,则 AE ? 100 ? 100 cot ? , CE ?

t?

100 ? 100cot ? 200 100 ? 2 ? cos ? ? ? ? ?1 ? ? v v ? sin ? v ? sin ? ?

? ? 1 ? tan 2 ? 2 ? 2? ? ? 1 ? tan 2 100 ? 2 ? 1? ? v ? 2 tan ? 2 ? 2? ? 1 ? tan ? 2
?

? ? ? ? ? ? 1 ? 3 tan 2 ? 2 ? ? 100 ?1 ? ? ? v ? 2 tan ? ? 2 ? ? ?

? ? ? ? 100 50 ? 1 ?? ? ? ? 3 tan ? ?? v v ? tan ? 2? ? ? ? 2 ?

100 50 100 ? 100 3 ? ?2 3 ? v v v

等号当且仅当

1 tan

?
2

? 3tan

?
2

,即 tan

?
2

?

? 3 , 即 ? ? 时成立. 3 3

此时, AE ? 100 ?

100 ? 100 3 100 3 ,t ? . v 3
5

20. (本小题满分 13 分) 如图, 点 F 为双曲线 C 的左焦点, 左准线 l 交 x 轴于点 Q ,点 P 是 l 上的一点,已知 | PQ |?| FQ |? 1 ,且线段 PF 的中点 M 在双曲线 C 的左支 上. (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若过点 F 的直线 m 与双曲线 C 的左右 两支分别交于 A 、 B 两点,设 FB ? ? FA ,当
M

l
P
Q

y

F

A

O

x

B
m

? ? [6,??) 时,求直线 m 的斜率 k 的取值范围.

x2 y 2 a2 (Ⅰ)设所求双曲线为: 2 ? 2 ? 1 .其左焦点为 F(-c。0) ;左准线: x ? ? .…(1 分) c a b
由 | PQ |? 1 ,得 P( ?

a2 a2 b2 ? 1 ? ? 1 ? b 2 ? c.(1) (3 分) ,1) ;由 | FQ |? 1 ? c ? c c c
2

c2 ? a2 ? ? ? c2 ? a2 1 ? 1 , ? .代入双曲线方程: ? ?1 FP 的中点为 M ? ? 2 2 c 2? 4c a 4c ?

? ? c 2 ? a 2 ? ? a 2c ? 4c 2 a 2 ? ? c 2 ? a 2 ? ? a 2c ? b 4 ? a 2c
2 2

? 2 ? ……(5 分)

根据(1)与(2)c ? a ? b ,? c ?
2 2

a2 ? 1 ? 2 .所求双曲线方程为 x2 ? y 2 ? 2 .(6 分) c
由 FB ? ? FA ,得:

(Ⅱ)如图设 A(x1,y1) ,B (x2,y2).F(-2,0).

x 2 ? ? x1 ? 2(? ? 1) y2 ? ? y1

2 2 2 2 x1 ? y1 ? 2, x y? ……( 2 8 分) 2 -2

消元得 2? x1 ? 3? ? 1 ? 0 , ? ? 由 ? ? [6,??)

1 , ……(10 分) 2x1 ? 3
1 1 ? y1 ? ? …… (11 分) 2 12

?

3 17 1 1 2 2 ? x1 ? ? ,又 x1 ? y1 ? 2, 解得 ? y1 ? , 2 12 12 2

?

k=

y1 1? ?1 ? ? 得 k ? ? ?1 , ? ??? , 1? 7? ?7 ? x1 ? 2 ?
? ? 1? ? ?1 ? ? ?

所以直线 m 的斜率 k 的取值范围是 k ? ? ?1 , ? ??? , 1? .……(11 分) 7 7

6

21. (本小题满分 13 分)已知数列 (Ⅰ)求数列

?an ?满足

a1 ?

a n ? 1 1 a ? n ( n ? 2 , n ? N ) n ? ? ? 1 a ? 2 n ? 1 4, .

?an ?的通项公式 a n ;
S bn ?的前 n a n ,求数列 ? 项和 n ;
2

bn ?
(Ⅱ)设

1

( 2 n ? 1 ) ? c a sin n? n ? T N 2 ,数列 ?cn ?的前 n (Ⅲ)设 项和为 n .求证:对任意的 n? ,

Tn ?

4 7.

1 2 1 1 n n n ? 1 ? ? ( ? 1 ) ? ? ? ( ? 1 ) ? ( ? 2 )[ ? ( ? 1 ) ] a a a a n n ? 1 n n ? 1 解: (Ⅰ) , ,……(2 分)
?1 1 n? ? ?(? 1 ) ?3 ? ? ??1? ? a a ?是首项为 3,公比为 ?2的等比数列. 1 又 ,? 数列 ? n
1 1 n n ? 1 (? 1 )n? ? ( ? 1 ) ? 3 ( ? 2 ) a ? n n ? 1 a n 3 ?2 ? 1. ……(4 分) , 即
n ? 1 2 n ? 1 n ? 1 b ? ( 3 ? 2 ? 1 ) ? 9 ? 4 ? 6 ? 2 ? 1 n

(Ⅱ)



n n 1 ? ( 1 ? 4 ) 1 ? ( 1 ? 2 ) n n S ? 9 ? ? 6 ? ? n ? 3 ? 4 ? 6 ? 2 ? n ? 9 n 1 ? 4 1 ? 2 . ……(7 分)

n ? 1 ( ? 1 ) 1 ( 2 n ? 1 ) ? n ? 1 ? c ? ? n n ? sin ? ( ? 1 ) n ? 1 n ? 1 3 ( ? 2 ) ? ( ? 1 ) 3 ? 2 ? 1 2 (Ⅲ) , . (9 分)

1 1 1 1 T ?? ? ? ? ? n 2 n ? 1 3 ? 1 3 ? 2 ? 1 3 ? 2 ? 1 3 ? 2 ? 1 当 n?3时,则
n ? 2 1 1 [ 1 ? ( ) ] 1 1 1 1 1 11 12 2 ? ?2 ?3 ?n ? ? ? 1 1 4 7 1 ? 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 2 28 2 ? ……(10 分)

11 11 1 47 48 4 n ? 2 11 ? ? [ 1 ? ( ) ] ? ? ? ? ? 28 6 2 28 6 84 84 7 . ……(12 分)

? T T T 1? 2? 3



N, ? 对任意的 n?

?

Tn ?

4 7.

……(13 分)

7

8


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