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一轮复习配套讲义:第1篇 第1讲 集合及其运算


第1讲 [最新考纲] 1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系.

集合及其运算

2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

知 识 梳 理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. 2.集合间的基本关系 表示 关系 相等 集合间的 基本关系 真子集 空集 3.集合的基本运算 集合的并集 图形 语言 符号 语言 A∪B={x|x∈A,或 x∈ A∩B={x|x∈A,且 x∈ B} B} ?UA={x|x∈U, 且 x?A} 集合的交集 集合的补集 子集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 A 中任意一个元素均为 B 中的元素,且 B 中至少有一个 元素不是 A 中的元素 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 符号语言 A=B A?B

辨 析 感 悟 1.元素与集合的辨别 (1)若{ x , 1}={0,1},则 x=0,1.(×)
1
2

(2)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n,真子集个数是 2n-1,非空真子集的个数是 2n-2.( ) (3)若 A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则 A∩B={x|x∈R}.( ) 2.对集合基本运算的辨别 (4)对于任意两个集合 A,B,关系(A∩B)?(A∪B)总成立.( ) (5)(浙江卷改编)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T={x|-4≤x≤1}.( ) (6)(陕西卷改编)设全集为 R,函数 f(x)= 1-x2的定义域为 M,则?RM={x|x>1,或 x<-1}.( ) [感悟· 提升] 1.一点提醒 求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,

这是正确求解集合运算的两个先决条件.如第(3)题就是混淆了数集与点集. 2.两个防范 一是忽视元素的互异性,如(1);

二是运算不准确,尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心,如(6). 3.集合的运算性质:①A∪B=B?A?B;②A∩B=A?A?B;③A∪(?UA)=U;④A∩(?UA)=?.

考点一 【 【例 1】 】

集合的基本概念

【例 1】(1)(江西卷)若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( A.4 B.2 C.0 D.0 或 4

).

(2)(山东卷)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9
? ?

).

? ? b 【训练 1】已知 a∈R,b∈R,若?a,a,1?={a2,a+b,0},则 a2 014+b2 014=________.

考点二

集合间的基本关系

【例 2】 (1)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,求实数 m 的取值范围. (2)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,求 m 的值. 【训练 2】(1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的 集合 C 的个数为( A.1 B.2 C.3 ). D.4

(2)(郑州模拟)已知集合 A={-1,1},B={x|ax+1=0},若 B?A,则实数 a 的所有可能取值的集合为 ( ).

A.{-1} B.{1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}
2

\ 考点三 集合的基本运算 ).

? ? ? ??1? ? 【例 3】(1)(湖北卷)已知全集为 R,集合 A=?x??2?x≤1 ?,B={x|x2-6x+8≤0},则 A∩?RB=( ? ?? ? ? ? ?

A.{x|x≤0}

B.{x|2≤x≤4}

C.{x|0≤x<2,或 x>4} D.{x|0<x≤2,或 x≥4} (2)(唐山模拟)若集合 M={y|y=3x},集合 S={x|y=lg(x-1)},则下列各式正确的是( A.M∪S=M C.M=S B.M∪S=S ).

D.M∩S=? ).

【训练 3】(1)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

(2)已知全集 U=R,集合 A={x|-1≤x≤3},集合 B={x|log2(x-2)<1},则 A∩(?UB)=________.

数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法,解 题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工 具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决. 学生用书 第3页

创新突破 1——与集合有关的新概念问题 【典例】 已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为( A.3 B.6 C.8 【自主体验】 1.(广东卷)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,…,n}.令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x< y<z, y<z<x, z<x<y 恰有一个成立}. 若(x, y, z)和(z, w, x)都在 S 中, 则下列选项正确的是( A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 2.(浙江部分重点中学调研)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1?A, 那么称 k 是 A 的一个“好元素”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不
3

).

D.10

).

含“好元素”的集合共有( A.6 个 B.12 个 C.9 个

). D.5 个 对应学生用书 P219 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(新课标全国Ⅰ卷)已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|- 5<x< 5},则( A.A∩B=? B.A∪B=R C.B?A D.A?B ). ).

2.(广东卷)设集合 S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则 S∩T=( A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} 3.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 C.6 个 B.4 个 D.8 个 ). ).

4.(辽宁卷)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B=( A.(0,1) B.(0,2]

C.(1,2) D.(1,2] 5.设集合 A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为( ).

A.{x|x≥1}

B.{x|-4<x<2}

C.{x|-8<x<1} D.{x|1≤x<2} 二、填空题 6.(江苏卷)集合{-1,0,1}共有________个子集. 7.集合 A={0,2,a},B={1,a2},若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为________. 8.集合 A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为________. 三、解答题 9.已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若 A∩B={-3},求 A∪B. 10.设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}, (1)若 B?A,求 a 的值;
4

(2)若 A?B,求 a 的值. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( A.5 B.4 C.3 D.2 ). ).

2.(江西七校联考)设全集 U=R,集合 M={x|y=lg(x2-1)},N={x|0<x<2},则 N∩(?UM)=( A.{x|-2≤x<1} B.{x|0<x≤1}

C.{x|-1≤x≤1} D.{x|x<1} 二、填空题 3. 已知集合 A={x∈R||x+2|<3}, 集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B=(-1, n), 则 m=________, n=________. 三、解答题 4.已知集合 A={y|y=2x-1,0<x≤1},B={x|(x-a)[x-(a+3)]<0}.分别根据下列条件,求实数 a 的取值范围. (1)A∩B=A;(2)A∩B≠?.

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